(全国通用)高考数学大二轮总复习 增分策略 专题六 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线名师课件

2 2.
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由点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离大于 c 恒成立，得 c≤ 22，
故
c
的最大值为
2 2.
答案
2 2
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4.(2014·安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0<b<1)的
左，右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点.若|AF1|
心率 e 与渐近线的斜率的关系.
例 2 (1)椭圆 Γ：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为 F1，
F2，焦距为 2c.若直线 y＝ 3(x＋c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满 足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于___3_－__1__. 解析 直线 y＝ 3(x＋c)过点 F1(－c,0)，且倾斜角为 60°， 所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2. 在 Rt△MF1F2 中，|MF1|＝c，|MF2|＝ 3c， 所以该椭圆的离心率 e＝22ac＝c＋2c 3c＝ 3－1.
解析 设 Pac2，y，线段 F1P 的中点 Q 的坐标为2bc2，2y，
当 kQF2 存在时，则 kF1P ＝a2＋cy c2， kQF2 ＝b2－cy2c2， 由 kF1P ·kQF2 ＝－1，得 y2＝(a2＋c2)c·(22c2－b2)，y2≥0，
但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0， 即 3c2－a2>0，即 e2>31，故 33<e<1.
A.30°
B.60° C.120° D.150°
解析 由题意得 a＝3，c＝ 7，所以|PF1|＝2.
在△F2PF1中，
由余弦定理可得
42＋22－(2 cos∠F2PF1＝ 2×4×2
7)2＝－12.
又因为cos∠F2PF1∈(0°，180°)，所以∠F2PF1＝120°.
(2)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是 y＝
答案 A
(2)(2015·天津)已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近 线过点(2， 3)，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2＝4 7x 的
准线上，则双曲线的方程为( )
A.2x12 －2y82 ＝1
B.2x82 －2y12 ＝1
C.x32－y42＝1
D.x42－y32＝1
解析 双曲线ax22－by22＝1 的渐近线方程为 y＝±bax， 又渐近线过点(2， 3)，所以2ab＝ 3，即 2b＝ 3a， ① 抛物线 y2＝4 7x 的准线方程为 x＝－ 7，
⇒b2－2ab－2a2＝0⇒(ab)2－2(ba)－2＝0⇒ba＝1＋ 3， 故双曲线的渐近线方程为 y＝±( 3＋1)x. 答案 C
思维升华
(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问 题的关键. (2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特 点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方 程或不等式求得离心率的值或范围.
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3.(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝
1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒
成立，则实数c的最大值为________.
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，
直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，
故两平行线的距离 d＝
|1－0| 12＋12＝
解析 由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，
∵|PF1|＝3，∴P在左支上，
∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，
∴|PF2|＝9，故选B.
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2.(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准 线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若F→P ＝4F→Q，则|QF|等于( )
当 kQF2 不存在时，b2－2c2＝0，y＝0， 此时 F2 为中点，即ac2－c＝2c，得 e＝ 33， 综上，得 33≤e<1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是 33，1. 答案 D
(2)(2015·重庆)设双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F，
右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，
思维升华
(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何 性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、 抛物线方程的不同表示形式. (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结 合草图确定.
跟踪演练 1 (1)(2014·大纲全国)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)
的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于
∴xD＝c＋a2(ab－4 c). ∴点 D 到 BC 的距离为a2(ab－4 c). ∴a2(cb－4 a)<a＋ a2＋b2＝a＋c，
∴b4&t;ba22<1.∴0<ba<1.
答案 A
热点三 直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常 用方法 (1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x， y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为 交点个数，方程组的解即为交点坐标； (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断 公共点个数.
专题六 解析几何
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
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1.(2015·福建)若双曲线 E：x92－1y62 ＝1 的左，右焦点分别为
F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( B )
A.11
B.9 C.5 D.3
＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________. 解析 设点B的坐标为(x0，y0). ∵x2＋by22＝1，∴F1(－ 1－b2，0)，F2( 1－b2，0). ∵AF2⊥x 轴，∴A( 1－b2，b2). ∵|AF1|＝3|F1B|，∴A→F1＝3F→1B，
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∴(－2 1－b2，－b2)＝3(x0＋ 1－b2，y0). ∴x0＝－53 1－b2，y0＝－b32. ∴点 B 的坐标为－35 1－b2，－b32. 将 B－53 1－b2，－b32代入 x2＋by22＝1，得 b2＝23. ∴椭圆 E 的方程为 x2＋23y2＝1. 答案 x2＋32y2＝1
7
5
A.2
B.2
C.3
D.2
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解析 ∵F→P＝4F→Q，∴|F→P|＝4|F→Q|，∴||PPQF||＝34. 如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′， 设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4， ∴||PPQF||＝|Q|AQF′| |＝34， ∴|QQ′|＝3,根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3,故选C. 答案 C
考情考向分析
1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何 性质(特别是离心率). 2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、 中点等).
热点分类突破 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
例 3 (2015·江苏改编)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已 知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为 22，且右焦点 F 到直 线 l：x＝－ac2的距离为 3.
(1)求椭圆的标准方程； 解 由题意，得ac＝ 22且 c＋ac2＝3， 解得 a＝ 2，c＝1，则 b＝1， 所以椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.
2.求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所 谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2， p的值.
例 1 (1)若椭圆 C：x92＋y22＝1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭
圆 C 上，且|PF2|＝4，则∠F1PF2 等于( C )
由ax22－by22＝1 可知 A(a,0)，F(c,0). 易得 Bc，ba2，Cc，－ba2.
b2 ∵kAB＝c－a a＝a(cb－2 a)，
a(a－c) ∴kCD＝ b2 .
b2 ∵kAC＝a－a c＝a(ab－2 c)，∴kBD＝－a(ab－2 c).
∴lBD：y－ba2＝－a(ab－2 c)(x－c)， 即 y＝－a(ab－2 c)x＋ac(ab－2 c)＋ba2， lCD：y＋ba2＝a(ab－2 c)(x－c)， 即 y＝a(ab－2 c)x－ac(ab－2 c)－ba2.
过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点 D，若 D 到
直线 BC 的距离小于 a＋ a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率
的取值范围是( )
A.(－1,0)∪(0,1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－ 2，0)∪(0， 2) D.(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)
解析 由题作出图象如图所示.
跟踪演练 2 (1)设 F1，F2 分别是椭圆ax22＋by22＝1 (a>b>0)的左，
右焦点，若在直线 x＝ac2上存在点 P，使线段 PF1 的中垂线
过点 F2，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.0，
2 2
B.0，
3 3
C. 22，1
D. 33，1
(2)已知双曲线ax22－by22＝1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F1 作圆 x2＋y2＝a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、
C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±3x
B.y＝±2 2x
C.y＝±( 3＋1)x
D.y＝±( 3－1)x
解析 由题意作出示意图， 易得直线 BC 的斜率为ab，cos∠CF1F2＝bc， 又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2| 可得|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a， |BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a， 故 cos∠CF1F2＝bc＝4a22＋×42ca2×－21c6a2
3x，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为( )
A.x22－y62＝1
B.x62－y22＝1
C.x2－y32＝1
D.x32－y2＝1
解析 双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝±abx，
故可知ba＝ 3，
又∵焦点坐标为(2,0)，∴c＝ a2＋b2＝2，
解得 a＝1，b＝ 3. ∴双曲线方程为 x2－y32＝1. 答案 C
(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分 别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程.
解 当 AB⊥x 轴时，|AB|＝ 2， 又|CP|＝3，不合题意. 当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线AB的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
由已知，得 a2＋b2＝ 7，即 a2＋b2＝7，
②
联立①②解得a2＝4，b2＝3，
所求双曲线的方程为x42－y32＝1，选 D. 答案 D
热点二 圆锥曲线的几何性质
1.椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为 e＝ac＝
1－(ba)2；
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为 e＝ac＝ 1＋(ba)2. 2.双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax.注意离
A、B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( )
A.x32＋y22＝1
B.x32＋y2＝1
C.1x22 ＋y82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
解析
由
e＝
33得ac＝
3 3.
①
又△AF1B 的周长为 4 3，
由椭圆定义，得 4a＝4 3，得 a＝ 3，
代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2， 故 C 的方程为x32＋y22＝1.