数据信息的表示方法

数据信息的表示方法
数据信息的表示方法
数值数据表示方法
数值数据是指该数据有确定的数值。

非数值数据是指文字、符号等。

o真值与机器数
对二进制数来说，真值与机器数的区别主要在符号的表示方法上。

数值前的正号用“+”号表示、负号用“－”号表示，这种形式的数称为真值。

数值前的正号用“0”表示，负号用“1”表示，这种形式的数称为机器数。

例如：
真值+0.1011 -0.1011
机器数（原码） 0.1011 1.1011
o数的机器码表示
在计算机中根据运算方式的需要,机器数的表示方法往往会不相同。

通常有原码、补码、反码和移码（增码）四种表示法。

正数原码＝反码＝补码。

负数原码符号位不变，数值位各位取反即得反码；反码末位加1即得补码。

不论是正数还是负数，其补码符号位取反，数值位不变即为该数的移码。

机器码公式见表2.1所示。

表2.1 机器码公式表
从中可以看出：
o正数的3 种表示法有相同的形式。

o负数的原码比较直观。

符号位为“1”，其数值部分与真值相同。

o负数的补码中，符号位为“1”，数值部分为原码的数值部分求反后末位加1。

o负数的反码中，符号位为“1”，数值部分为原码的数值部分各位求反的值。

补码与反码之间的关系为
[x]补=[x]反+2-n
补码与移码之间的关系为
将补码符号位求反即得该数的移码。

带符号二进制数的真值、原码、反码和补码之间的相互转换如图2.1所示。

o定点数与浮点数
（1）定点数
小数点位置固定不变的数即为定点数，通常表示成定点小数或定点整数。

小数点位置确定后，在运算中不再考虑小数点问题，因而小数点不占用存储空间。

定点数表示简单。

但是数的取值范围小、精度低。

（2）浮点数
小数点的位置不固定，可以浮动变化的数即为浮点数。

浮点数一般表示形式为
阶码E和尾数M均为有符号数。

阶码为整数，指明小数点的位置，表示数据的取值范围。

尾数通常表示成纯小数，它指明数据中有效数字的位数，表示数据的精度，尾数的符号位表示数的正负。

浮点数表示复杂，但是数的取值范围大、精度高。

为了增加有效数字的位数，进一步提高数据的精度，浮点数必须进行规格化。

浮点数参
与运算以及运算结果也应该是规格化的。

所谓规格化就是规定尾数小数点后第一位，即尾数值部分的最高有效位必须是有效数字。

规格化后的尾数M满足下列表示形式：
o十进制数的二进制编码（BCD码）
常用的BCD码有8421码、2421码、余三码和格雷码。

四种编码与十进制数的对应关系如表2.2所示。

表2.2 常用编码形式与十进制数的对应关系
上述编码的特点可归纳如下
（1）BCD码都是用四位二进制代码表示一位十进制数字，每种编码均有六种组合不允许出现。

8421码不允许出现1010～1111六种组合。

2421码不允许出现0101～1010六种组合。

余三码不允许出现0000～0010，1101～1111六种组合。

格雷码不允许出现0101，0111，1001，1011，1101，1111六种组合。

（2）BCD码与十进制数之间的转换是以四位对应一位，直接进行变换。

一个n位十进制数对应的BCD码一定是4n位。

（3）2421码和余三码均为“对9的自补代码”。

应该强调的是，BCD码不是二进制数，而是用二进制编码的十进制数。

非数值数据的表示法
o字符编码
ASCII码是国际通用的字符编码标准，是一种常用的字符代码。

在学习输入输出设备时要用到。

不一定要记住，但要学会查表。

o汉字表示法
汉字用数字和符号的组合来表示称为汉字编码。

一个汉字的编码通常用内码、字模码、外码来描述，内码（也称机内码）是用于汉字
的存储、交换等操作的计算机内部代码，一个汉字内码通常用两个字节表示，且这两个字节的最高位均为1 ，以区别英文的ASCII 码。

字模码是汉字的输出编码，字库中存放的就是字模码。

外码（输入码）是用来输入汉字的编码，常用的输入方法有键盘输入法、手写输入法、语音输入法等。

内码与汉字字符是一一对应的。

内码与外码是一对多的关系，表明一个汉字的输入方法有多种。

内码与字模码是一对多的关系，表明一个汉字的输出形式有多种。

数据信息的校验
为了提高数据在传输过程中的可靠性，常采用以下校验技术。

o奇偶校验
奇校验规则：待校验数据中1的个数为奇数时，其校验位为0，否则为1。

偶校验规则：待校验数据中1的个数为偶数时，其校验位为0，否则为1。

一般采用“异或”电路得到校验位。

这种方式只能发现错误，不能纠正错误。

o循环冗余校验码
循环冗余校验码是一种基于模2运算建立编码规律的校验码。

它可以通过模2运算来建立有效信息和校验位之间的约定关系，即要求K=N+R 位的某数能被某一约定的数除尽，其中N是待编码的有效信息，R是校验位。

当从目标部件取得校验码时，仍用约定的数去除，若余数为0，则表明该校验码正确；若余数不为0，则表明有错，再进一步由余数值确定哪一位出错，从而加以纠正。

由于它的功能较强，因此其逻辑线路也比较复杂。

定点运算方法
定点数的运算可以用原码、反码、补码、BCD码等各种码制进行。

由于在加、减运算中补码运算规则简单易于实现，因此在目前的计算机系统中普遍采用补码形式存储、传送、运算。

定点补码加、减法运算
这里采用变形补码运算，最左边一位加法器∑0是为判断溢出而设置的，V端是溢出指示端。

寄存器C寄存第一个符号位产生的进位，也就是变形补码的模。

以变形补码运算时，它自动丢掉。

定点乘法运算
定点乘法运算包括原码一位乘法，原码二位乘法，补码一位乘法，补码二位乘法等几种运算方法。

1. 原码一位乘法
与加、减法不同，乘法采用原码较为简单，其乘积的符号为两数符号按位加之和。

乘积为被乘数与乘数的绝对值的积。

原码一位乘法运算规则
注意：第④点很容易被忽视，从而得出错误结果。

结果的正确与否，通过将普通手算法算出结果与该结果进行比较来判断。

２. 补码一位乘法
因机器中的数均以补码传送、存储，若进行原码乘法，还需将补码换成原码，增加了麻烦与处理时间，故现在计算机中又多直接采用补码乘法。

运算规则如下：
3. 原码二位乘法
为了提高乘法的执行速度，可以考虑每次对乘数的两位进行判断
以确定相应的操作，这就是两位乘法。

运算规则：
① 符号位不参加运算，最后的符号。

② 部分积与被乘数均采用三位符号，乘数末位增加一位C，其初值为0。

③ 按表2.3所示的操作。

④ 若尾数n为偶数，则乘数用双符号，最后一步不移位；
若尾数n为奇数，则乘数用单符号，最后一步移一位。

4. 补码二位乘法
补码两位乘法的算法是在补码一位乘法的算法基础上拓展来，目的是为了减少运算步骤，提高运算速度。

定点除法运算
除法运算通常是将n位除转换成若干次“加、减移位”循环，然后通过硬件或软件来实现。

原码一位除法
原码一位除法介绍了两种算法：恢复余数法和加减交替法。

这两种算法的共同点是
运算过程中的加、减操作都是采用双符号位补码运算。

数值部分的运算规则及特点如下表所示：
加减交替法的硬件逻辑框图如图2.5所示。

图2.5 原码一位加减交替除法逻辑框图
补码一位除法
补码一位除法运算规则由比较上商规则、商的校正规则和余数校正规则组成：
（1）比较上商规则：
① 符号位参加运算，除数与被除数均用双符号补码表示。

② 若被除数与除数同号，用被除数减去除数得余数；若被除数与除数异号，用被除数加上除数得余数。

③ 若余数与除数同号，商上1，余数和商左移一位，将余数减去除数得新余数；若余数与除数异号，商上0，余数和商左移一位，将余数加上除数得新余数。

④重复规则(n＋1)次，最后一步不移位，除法完成。

（2）商的校正规则：
① 若除尽(即运算过程中任一步余数为0)，则除数为正，商不必校正；除数为负，商
加2-n进行修正。

② 若除不尽，则商为正时，不必校正；商为负，则商需要加2-n 进行修正。

3）余数校正规则：
① 若商为正，则余数与被除数异号时，将余数加上除数得正确的余数。

② 若商为负，则余数与被除数异号时，余数需要减去除数进行校正。

余数之所以需要校正，是因为在补码不恢复余数除法运算过程中先比较后上商的缘故。

可见，如果要保存余数必须根据具体情况对余数作相应处理，否则余数不一定正确。

定点运算器的组成与结构
加法器及其进位系统
串行加法器由一位全加器实现两个n位的数相加，其运算速度很低。

并行加法器中，参加运算的两个数各位同时并行输入，经相同位数的加法器运算后输出结果，但结果中的各位数并不是同时得出的。

其原因是存在进位延迟问题。

因此，并行加法器中最值得研究的是进
位问题。

串行进位加法器中，参加运算的两个数x和y从最低位相加，以后各位都有进位，而且高位的运算都要在低位的进位形成之后才能进行。

由于存在这种依赖关系，其运算速度受到很大影响。

这是串行进位加法器的主要缺点。

为了提高加法器的运算速度，可从各位进位产生的逻辑表达式中获得启示，从而产生了并行进位加法器（或称先行进位加法器）。

在先行进位加法器中，将一个字分成几个小组，组内由逻辑线路实现并行进位，而组与组之间可以串行，或者再增加有关逻辑线路实现组间并行进位。

这样就大大缩短因进位而产生的延时，从而提高了运算速度。

算术逻辑单元（ALU）
ALU是运算器的核心部件，具有多种算术运算和逻辑运算的功能．而且具有先行进位逻辑电路(如SN74182)，因而能实现高速运算，其逻辑结构原理如图2.6所示。

函数发生
器根据功能选择控制参数的不同状态组合，对输入数据Ai，Bi进行不同
的逻辑组合，产生不同的组合函数Xi，Yi，然后进行加法运算。

这样就实现了ALU的多种数据处理功能。

图2.6 ALU原理框图
定点运算器的基本结构
定点运算器的基本结构见图2.7。

其主要部件是ALU、通用寄存器组、输入选择电路、输出控制电路和总线，总线可以理解为传送数据
信息的一组传输线，数据按箭头所指的方向传送。

通用寄存器组的作用是暂存参加运算的数据、运算的中间结果或最后结果；锁存器的作用是对若干个数据的输入进行选择或控制；输出控制电路对加法器的输出进行控制；ALU 是运算器的核心，由它实现算术逻辑运算。

浮点运算方法和浮点运算器
浮点加法和减法
参与运算的浮点数首先要进行规格化。

若阶码和尾数均用补码表示，则采用双符号位进行运算可方便地进行规格化和溢出检测。

规格化浮点运算一般需要进行对阶、求和、规格化、舍入、判断溢出等工作。

（1）对阶
对阶的目的是使两操作数的小数点对齐，因而对阶后两数的阶码相等。

对阶的原则是小阶向大阶看齐。

（2）求和
对阶完成后，执行尾数相加减操作。

尾数相加减的方法与定点数的相同。

（3）结果规格化
结果规格化就是使运算结果成为规格化数。

为了运算处理方便，可让尾数的符号位扩展为两位，当运算结果的尾数部分不是
11.0××…×或00.1××…×的形式时，就要进行规格化处理。

规格化处理方法：
当运算结果的尾数符号位为01或10时，进行右规操作。

右规的方法是尾数连同符号位右移一位，和的阶码加1，右规处理后就可得到00.1××…×或11.0××…×的形式。

当运算结果的符号位和最高有效位为11.1或00.0时，进行左规操作。

左规的方法是尾数连同符号位一起左移一位，和的阶码减1，直到尾数部分出现11.0或00.1的形式为止。

（4）舍入
在对阶时或右规时，尾数的最低几位可能被移出丢掉，产生误差。

因此需舍入处理。

舍入处理方法：
恒舍：移出位一律丢掉，保留的尾数部分不作任何改变。

一般不用于补码。

恒置1：移出位一律丢掉，保留的尾数最末位置成1。

0舍1入：若最后移掉的位为0。

则舍去；若为1，则保留的尾数末位加1，如加1后尾数溢出，则须进行一次右规。

（5）溢出判断
当阶码的符号位出现01或10时，表示溢出。

浮点乘法运算
浮点乘法运算也可以分为如下三个步骤。

o阶码相加
两个数的阶码相加可在加法器中完成。

阶码和尾数两个部分并行操作时，可另设一个加法器专门实现对阶码的求和；串行操作时，可用同一加法器分时完成阶码求和、尾数求积的运算，并且先完成阶码求和运算。

阶码相加后有可能产生溢出，若发生溢出，则相应部件将给出溢出信号，指示计算机作溢出处理。

o尾数相乘
两个运算数的尾数部分相乘就可得到积的尾数。

尾数相乘可按定点乘法运算的方法进行。

o结果规格化
当运算结果需要规格化时，就应进行规格化操作。

规格化及舍入方法与浮点加、减法处理的方法相同。

浮点除法运算
浮点除法运算也可以分如下三步进行。

o检查被除数的尾数
检查被除数的尾数是否小于除数的尾数(从绝对值考虑)。

如果被除数的尾数大于除数的尾数，则将被除数的尾数右移一位并相应地调整阶码。

由于操作数在运算前是规格化的数，所以，最多只作一次调整。

这步操作可防止商的尾数出现混乱。

o阶码求差
由于商的阶码等于被除数的阶码减去除数阶码，所以，要进行阶码求差运算。

阶码求差可以很简单地在阶码加法器中实现。

o尾数相除
商的尾数由被除数的尾数除以除数尾数获得。

由于操作数在运算前已规格化并且调整了尾数，所以尾数相除的结果是规格化定点小数。

两个尾数相除与定点除法相类似，这里不再讨论。

请读者牢牢记住加、减、乘、除四则运算的运算规则，多做练习，还要特别细心，因为若运算中某一位出错，则最后结果会面目全非。

浮点运算器
浮点运算可用两个松散连接的定点运算部件来实现，这两个定点运算部件就是图2.8中所示的阶码部件和尾数部件。

图2.8 浮点运算器的一般结构图
尾数部件实质上就是一个通用的定点运算器，要求该运算器能实
现加、减、乘、除4种基本算术运算，其中，3个单字长寄存器：AC(累加器)、MQ(乘商寄存器)、DR(数据寄存器)用来存放操作数。

AC 和MQ 连起来还可组成左右移位的双字长寄存器AC-MQ，并行加法器用来完成数据的加工处理，其数据输入来自AC和DR，结果回送到AC。

MQ寄存器在做乘法时存放乘数，做除法时存放商数，所以称为乘商寄存器。

DR用来存放被乘数或除数，而结果(乘积或商与余数)则存放在AC-MQ中。

重点、难点与考点
重点：
o计算机中的数据表示，熟悉包括定点数、浮点数、字符、十进制数的表示方法；
o原码、补码、反码、移码等码制之间的关系以及各码制之间真值数的转换；
o补码的加减运算，定点原码一位乘、除运算，定点补码一位乘、除运算及其逻辑结构；
o变形补码、运算方法（尤其是补码）的理解，溢出、进位等问题的出现和解决方法；
o定点数的变形补码加减运算；
o原、补码乘法和除法运算；
o浮点运算方法和浮点数的规格化及其逻辑结构；
o运算器的基本结构和设计方法，了解已知芯片功能。

难点：
o各码制之间数值转换；
o对规格化数的理解；
o定点一位乘法、除法的运算过程，浮点数的规格化问题，加法器电路的认识，进位链的产生及处理方法。

o乘法运算、除法运算，浮点数的规格化。

o在充分理解运算方法的基础上设计逻辑框图、电路联接。

考点：
本章是计算机组成原理的重点章节之一，常见题型有填空题、选
择题、间答题、计算题、设计题，一般计算题占的比例较大，所以计算步骤需熟练掌握。

o填空题考点比较集中，一是数在各种进制下的表示方法，同一真值在原码、补码、反码、移码之间的互相转换，二是二进制原码、补码、反码的加减运算，
补码运算的溢出判断，变形补码，三是原码一位乘法，补码一位乘法，运算结
果对标志位的影响，四是简单运算的电路实现方式，加法器的类型、工作原理。

o对于运算方法，从基本概念的角度出发，以选择题形式出现的机会不多，一般都是计算为主，应该掌握的还是整型数、浮点数的运算规则和有关常识。

o简答题一般是考查给定了一定格式的数的表示范围，运算过程的掌握和运算器的内容，主要是对原码和补码的定点加减运算、定点一位乘法运算、定点一位
除法运算（主要是Booth方法）的描述和原理、性质的理解，运算溢出的判断，串行加法器，并行加法器，进位的产生，运算的实现。

o计算题常考各种形式的二进制数的运算，通常有：定点数的原码加减运算、补码加减运算（包括变形补码、溢出判断），定点原码一位（或二位）乘法、补
码一位（或两位）乘法，Booth乘法计算，定点原码除法运算，补码除法运算，对浮点数的规格化运算等。

对于设计题，一般包括了如下几个方面：对运算的溢出进行判断并设计出相应实现此功能的电路，定点乘法的实现逻辑图，全加器的电路理解、逻辑框图设计，利用已知集成电路芯片组合实现特定运算功能的ALU或全加器。

典型例题精选
例2.1 某机器字长16位，采用两位比较法进行补码乘法运算，此时并行加法器应该
是位加法器，应该进行次相加移位操作。

分析：
解：
正确答案为：17，16．
例2.2 多项选择：在下面每小题所列出的若干答案中，选取所有的正确答案（可能没有，也可以有一个或多个）。

补码加法规则如下：
o所有的操作数都用补码表示，结果也用补码表示。

o若两数同号做加法，异号则做减法。

o符号位和操作数一样参与运算。

o结果的符号为1，表示溢出。

分析：
补码加（减）法运算规则可归纳如下：参与运算的操作数用补码表示；符号位采用两位，即用变形补码表示；符号位作为数的一部分一起参与运算；运算结果以补码表示，若两符号位相同，结果正常，若符号位为01，表示正溢出，若符号位为10，表示负溢出。

解：正确答案为：A，C
例2.3 单选：某浮点机，采用规格化浮点数表示，阶码用移码表示（最高位代表符号位），尾数用原码表示。

下列哪个数的表示不是规格化浮点数。

A. 阶码：1111111 尾数：1.1000 (00)
B. 阶码：0011111 尾数：1.0111 (01)
C. 阶码：1000001 尾数：0.1111 (01)
D. 阶码：0111111 尾数：0.1000 (10)
分析：
因为规格化的浮点数，尾数有三种形式：
00.1xx……x（原码、补码、反码都是正数的形式）
11.0xx……x（补码、反码都是负数的形式）
11.1xx……x（原码是负数的形式）
选择项B不符合规格化的形式。

解：
正确答案是：B。

例2.4 设32位字长的浮点数，其中阶符1位，阶码7位，数符1位，尾23位。

分别写出机器数采用原码和补码表示时，所对应的最接近0的十进制负数。

分析：
计算机中的数据表示是二进制形式，本题中使用的32位浮点数据表示，阶码共8位，尾数共24位。

求最接近0的十进制负数的浮点表示就是数据表示中最大的负数，即绝对值最小的负数。

此时，该数的阶码为负，且绝对值最大；该数的尾数为负，且绝对值最小。

注意尾数不能为0。

例2.6 某机字长32位，浮点表示时，指数部分（即阶码）占8位
（含一位符号位），尾数部分占24位（含一位符号位），问o带符号定点小数的最大表示范围是多少？
o带符号定点整数的最大表示范围是多少？
o浮点表示时，最大正数是多少？
o浮点表示时，最大负数是多少？
o浮点表示时，最小的规格化正数是多少？
分析：
题目的关键是搞懂阶码是定点整数的移码表示，而尾数是定点小数的补码表示，其中的补码和移码的表示法一定要非常清楚。

阶码和
补码在形式上的唯一区别就是在表示同一个数时符号刚好相反。

解：
最大正数阶码：11111111（最左符号位，要最大当然阶码要大），尾数当然也要最大，为0111 11111 11111 11111。

绝对值最小的负数即是最大的负数，所以要阶码最达到负数的最小，绝对值的最大（即远离数轴原点的最左端），为00000000，而尾数应该达到负数的最大（即最靠近数轴原点的左端），为1011 11111 11111 11111（这里注意其中
的0是因为题目规定要用规格化数表示，这点很重要，否则就是1111 11111 11111 11111）。