山东省青岛市第二高级中学2019-2020学年高二数学理期末试题含解析

山东省青岛市第二高级中学2019-2020学年高二数学理
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；
其中错误的命题有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
参考答案：
B
【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】综合题．
【分析】对选项①④可利用正方体为载体进行分析，举出反例即可判定结果，对选项②③根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理进行判定即可．
【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立；
故选B
【点评】此种题型解答的关键是熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直和平行的判定及性质．
2. 对于函数，下列结论正确的一个是
A. 有极小值，且极小值点
B. 有极大值，且极大值点
C. 有极小值，且极小值点
D. 有极大值，且极大值点
参考答案：
C
略
3. 方程有两个不等实根，则k的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
4. 设，若直线与线段AB没有公共点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
5. 过抛物线的焦点所作直线中，被抛物线截得弦长为8的直线有（）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 不确定
参考答案：
B
6. 一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）
A. B. 4 C. D.
参考答案：
D
【分析】
由三视图还原几何体可知该四棱锥为正四棱锥，底面ABCD为边长为2的正方形，由几何体的表面积公式计算即可得到答案．
【详解】由三视图可知该几何体为为正四棱锥：
底面为边长为2的正方形，四个侧面为边长为2的等边三角形．
故．
故选：D．
【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查几何体的表面积的计算方法，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.
7. 已知函数若对任意，恒成立，则实数的取值范围（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
8. 定义运算=ad﹣bc，则（i是虚数单位）为（）
A． 3 B．﹣3 C．i2﹣1 D．i2+2
参考答案：
B
略
9. 已知，则函数的零点的个数为（）个.
（A）3（B）4 （C）5（D）6参考答案：
C
略
10. 如图所示为一平面图形的斜二测画法的直观图，则此平面图形可能是下图中的
（）
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，
），则点A到直线l的距离为．
参考答案：
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．
【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y ﹣x=1，
点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．
点A到直线l的距离为： =．
故答案为：．
12. 某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种（用数字作答）。

参考答案：
30
略
13. 若, 则从小到大的排列顺序是____________.
参考答案：
3y, 2x, 5z
14. 给定两个命题P：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a ＝0有实数根．如果P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，求实数a的取值范围．
参考答案：
解：命题P：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，则“a＝0”，或“a>0且a2－4a<0”．解得0≤a<4.
命题Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，则Δ＝1－4a≥0，得a≤.
因为P∧Q为假命题，P∨Q为真命题，则P，Q有且仅有一个为真命题，
故綈P∧Q为真命题，或P∧綈Q为真命题，则或解得a<0或<a<4.
所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(，4)．
略
15. 已知向量，向量，则的最大值是．
参考答案：
4
略
16. 某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则的最大值为
__________．
参考答案：
【分析】
由三视图还原几何体后，可根据垂直关系，利用勾股定理得到之间的关系：
；利用三角换元的方式可将问题转化为三角函数最值的求解，根据三角函数的值域可求得结果.
【详解】由三视图可得到三棱锥如下图所示：
其中，，
设，，
，其中且
当时，取得最大值：
本题正确结果：
【点睛】本题考查三视图还原几何体、利用圆的参数方程即三角换元法求解最值问题；解题关键是能够根据棱长关系得到所满足的关系式，从而利用三角换元将问题转化为三角函数值域问题的求解.
17. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,
E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上
折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的
体积为-________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=
（Ⅰ）求△ABC的周长；
（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．
参考答案：
【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．
【分析】（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；
（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．
【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，
∴c=2，
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．
（II）∵cosC=，∴sinC===．
∴sinA===．
∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．
【点评】本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．
19. 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，且|AB|=，求l的斜率．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，能求出C的极坐标方程．
（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为=0，圆心（﹣6，0）到直线l的距离
d==，由此能求出l的斜率k．
【解答】解：（Ⅰ）∵在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25，
∴x2+y2+12x+11=0，
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，
∴C的极坐标方程为ρ2+ρcosθ+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，
∴直线l的直角坐标方程为=0，
∵l与C交于A，B两点，且|AB|=，
∴圆心（﹣6，0）到直线l的距离d==，
解得cosα=，
当cosα=时，l的斜率k=tanα=2；当cosα=﹣时，l的斜率k=tanα=﹣2．20. 已知点M到点的距离比到y轴的距离大1.
（1）求点M的轨迹M的方程；
（2）设直线l：，交轨迹C于A，B两点，O为坐标原点，试在轨迹C的
AOB部分上求一点P，使得△ABP的面积最大，并求其最大值.
参考答案：
（1）因为点M到点F(1,0) 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x＝－1的距离……………2分
由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴
设轨迹C的方程为：，
轨迹C方程为：. 或……………5分
（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）, P（x0,y0）
直线l化成斜截式为
当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大……………6分
由图知P点在第四象限.抛物线在x轴下方的图象解析式：
，所以………7分
，解得，
所以P点坐标……………8分
P点到l的距离……………9分
A，B两点满足方程组
化简得.
x1,x2 为该方程的根. 所以
…………11分
……………12分
21. 已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．
（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；
（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满
足=r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．
【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）
∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1
设A（1，t），得，解之得t=（舍负）
∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）
因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|?|BO|=；
（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，
设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2
与椭圆的公共点，解之得=r2﹣1
设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足
x1=x2=?，或x1=?且x2=﹣?，
①当x1=x2=?时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；
②若x1=?且x2=﹣?，则x1+x2=0，
可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC
综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．
22. 已知曲线C上的动点P（）满足到定点A(-1,0)的距离与到定点B（1,0）距离之比为．
(1)求曲线C的方程．
(2)过点M(1,2)的直线与曲线C交于两点M、N，若|MN|=4，求直线的方程．
参考答案：
解：（1）由题意得|PA|=|PB|
故
化简得：（或）即为所求。

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
将代入方程得，
所以|MN|=4，满足题意。

当直线的斜率存在时，设直线的方程为+2
由圆心到直线的距离
解得，此时直线的方程为
综上所述，满足题意的直线的方程为：或。

略。