实数.知识精讲(2014-2015)-教师版

中考内容
中考要求
A B C
有理数理解有理数的意义能比较有理数的大小
无理数了解无理数的概念能根据要求用有理数估计一个无理数的大致范围
平方根、算术平方根了解开方与乘方互为逆运算，
了解平方根及算术平方根的概
念，会用根号表示非负数的平
方根及算术平方根
会用平方运算求百以内
整数的平方根
立方根了解立方根的概念，会用根号
表示数的立方根
会用立方运算求百以内
整数（对应的负整数）的
立方根
实数了解实数的概念会进行简单的实数运算
数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点一一对应
相反数了解具有相反意义的量，借助
数轴理解相反数的意义，会求
实数的相反数
掌握相反数的性质
绝对值借助数轴理解绝对值的意义，
会求实数的绝对值
会利用绝对值的知识解
决简单的化简问题和计
算问题
有理数运算理解乘方的意义掌握有理数的加、减、乘、
除、乘方及简单的混合运
算（以三步以内为主）；
能运用有理数的运算解
决简单的问题
运算律理解有理数运算律能用运算律简化有理数运算
近似数和科学记数
法了解近似数的概念；会用科学
记数法表示数
在解决实际问题中，能按
问题的要求对结果取近
似值
中考大纲
实数
⎧⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪
⎪⎨⎪⎭⎪
⎪⎪
⎪⎪⎨⎩⎪⎪
⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎪
⎨
⎪
⎧⎨⎩⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩
正整数自然数整数0有理数负整数实数的分类正分数分数负分数正无理数无理数负无理数实数数轴、相反数、倒数、绝对值实数的相关概念平方根、算术平方根、立方根实数的运算法则：加、减、乘、除、乘方、开方实数的运算律
实数的相关计算实数的运算顺序实数的比较大小科学记数法与近似数和有效数字⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
一、
有理数
1、定义：整数和分数统称为有理数．整数包括：正整数、0和负整数；分数包括正分数和负分数．
2、分类： （1）按定义分：
⎧⎧⎫
⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪
⎨⎩⎪
⎧⎪⎨⎪
⎩⎩
正整数自然数整数0有理数负整数
正分数
分数负分数 （2）按正、负分：
⎧⎧⎪⎨
⎩⎪⎪
⎨⎪
⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正整数正数正分数有理数负整数负数负分数
知识精讲
知识网络图
3、任何一个有理数都可以表示成两个整数比的形式，也就是说任何分数都是有理数．
4、有限小数和无限循环小数都是都是有理数．
5、0既不是正数也不是负数．
6、非正数：负数和0统称为非正数．
7、非负数：正数和0统称为非负数．
【注意】0的特殊性：0 既不是正数也不是负数，但0是最大的非正数，最小的非负数．
二、无理数
1、定义：无限不循环小数叫做无理数．
2、分类：按正、负分
⎧⎨⎩
正无理数
无理数负无理数
3、常见的无理数： （1）字母型：π；
（2）构造型：0.1010010001； （3）根号型：235，，等； （4）三角函数型：sin45︒等．
【注意】1、只有无限小数中的无限不循环小数才是无理数．
2、不是所有的根号型与三角函数型都是无理数，例如2sin 30︒，都是有理数．所以在判断时要先
将根号和三角函数对应的值写出来，再判断它是否为无理数．
三、实数
1、定义：有理数和无理数统称为实数．
2、分类： （1）按定义分：
⎧⎧⎧⎫
⎪⎪⎬⎪
⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪
⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪
⎩⎩⎪
⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正整数自然数整数0有理数负整数实数正分数
分数负分数正无理数无理数负无理数
（2）按正、负分：
⎧⎧⎧⎪⎪⎨
⎨⎪⎩⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎪
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨
⎩⎪⎪
⎪⎩⎩
正整数
正有理数正实数正分数
正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数
四、数轴
1、定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
2、数轴上的点与实数是一一对应的．
3、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
五、相反数
1、代数定义：只有符号不同的两个数互为相反数．
2、几何定义：在数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的两个点表示的数互为相反数．
3、互为相反数的两个数和是0.
4、0的相反数是0，相反数等于本身的数只有0.
六、倒数
1、定义：乘积是1的两个数互为倒数．
2、0没有倒数．
3、倒数等于本身的数是1±．
七、绝对值
1、定义：数轴上的点a 到原点的距离，叫做这个点a 的绝对值，记作||a ．
2、一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即
(0)
||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
3、绝对值等于本身的数是一切非负数。

八、平方根与算术平方根、立方根
1、平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．即如果2x a =，那么x
叫做a 的平方根． （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．
2、算术平方根：规定正数的正的平方根叫做它的算术平方根．0的算术平方根是0.
3、立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3x a =则x 就叫做a 的立方根．
九、实数的运算法则
1、有理数的运算法则：
（1）加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）减法：减去一个数等于加上这个数的相反数；
（3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把 绝对值相乘； （4）除法：除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数；
（5）乘方：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． （6）开方：乘方的逆运算为开方，负数不能开偶次方． 2、实数的运算律：
（1）加法交换律：a b b a +=+ （2）加法结合律：()()a b c a b c ++=++ （3）乘法交换律：ab ba = （4）乘法结合律：()()ab c a bc = （5）乘法分配律：()a b c ab ac +=+ 3、实数的运算顺序：
在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．算式里，如果有括号，先进行括号内的运算；如果只有同一级运算，从左到右依次运算．
十、实数的大小比较
1、借助数轴比较大小：数轴右边的数都比左边的大；
2、正数都大于零；负数都小于零；两个正数，绝对值大的那个正数大；两个负数，绝对值大的那个负数反而小．
十一、科学记数法
1、科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<）
2、有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字
3、若近似数后带有“十、百、千、万、亿”等数词，则按这个近似数的最后一位在原数中的位置，在原数中处哪一位，则精确到哪一位，而有效数字的个数与这个量词无关
4、用科学计数法表示的近似数10n a ⨯，则看a 的最后一位在原数所处的位置，是哪一位就精确到哪一位，它的有效数字就是a 中的有效数字．
1、实数比较大小的基本方法与技巧：
（1）作差法：设a b ，
为两个实数，则 000a b a b
a b a b a b a b
->⇔>-=⇔=-<⇔< 【例题】比较315
-与1
5的大小 【答案】∵
311320555---=< ∴
31155
-< （2）作商法：作商法用于同号的两数比较大小，用商与1去比较大小． 【例题】比较
315
-与1
5的大小 【答案】∵31
531115
-=-<
∴
311
55
-< （3）平方法：无理数比较大小时，可以采用平方法将无理数变成有理数再进行比较． 【例题】比较32与23的大小 【答案】∵2(32)18=，2(23)12= ∴3223>
（4）估算法：设a b ，
为两个正实数，先估算出a b ，两数或两数某部分的取值范围，再进行比较。

【例题】比较
1338
-与1
8的大小 【答案】∵3134<< ∴1331-< ∴
1331
88
-< 解题方法技巧
（5）倒数法：设a b ，
为两个正实数，先分别求出a b ，的倒数，则 11
11
a b a b
a b a b
<⇔>>⇔<
【例题】比较20052004-与20042003-的大小 【答案】∵
12005200420052004
=+-，
12004200320042003
=+-
又∵2005200420042003+>+ ∴2005200420042003-<-
2、含有字母参数的绝对值化简：要先判断绝对值中的项的正负，如果是正的则可以把绝对值符号直接去掉，如果是负的，在去绝对值符号时则要把各项的符号都改变．
1、0的特殊性：0既不是正数，也不是负数。

相反数等于本身的数只有0． 绝对值最小的数是0． 0没有倒数。

2、有理数与无理数概念辨析：注意有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数。

3、解题时要注意题目问到的是平方根还是算术平方根。

0的算术平方根是0．
4、负数不能开偶次方根。

5、正数的偶次方根有两个，它们互为相反数。

6、任何数都有奇次方根，而且都只有一个奇次方根。

7、有理数运算去括号时，要注意括号前面的符号，如果是负号，则括号中的每一项都要变号。

易错点辨析。