江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数学试题四 含解析 精品

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{0，a ，2}，若A ∩B ＝{－1，0}，则a ＝____________．
2. 若复数z ＝1＋2i 3－i
(i 为虚数单位)，则z 的模为____________．
3. 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是_________．
(第3题)
(第4题)
4. 随机抽取100名年龄在[10，20)，[20，30)，…，[50，60)年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60)年龄段抽取的人数为____________．
5. 将函数f(x)＝2sin2x 的图象上每一点向右平移π
6个单位，得函数y ＝g(x)的图象，则
g(x)＝____________．
6. 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为____________．
(第8题)
7. 已知sin (α－45°)＝－
2
10
，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为____________． 8. 在圆锥VO 中，O 为底面圆心，半径OA ⊥OB ，且OA ＝VO ＝1，则O 到平面V AB 的距离为__________．
9. 设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为____________．
10. 对于数列{a n }，定义数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n (n ↔N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ↔N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a 1＝__________．
11. 已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为__________．
12. 过曲线y ＝x －1
x (x ＞0)上一点P(x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O
是坐标原点，若△OAB 的面积为1
3
，则x 0＝____________．
13. 已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA →·PB →
≤0，则线段EF 长度的最大值是____________．
14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x 3－2x 2
＋x|，x ＜1，
lnx ，x ≥1，
若对于 t ↔R ，f(t)≤kt 恒成立，则实数k
的取值范围是____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(sinB －sinC ，sinC －sinA)，n ＝(sinB ＋sinC ，sinA)，且m ⊥n .
(1) 求角B 的大小；
(2) 若b ＝c·cosA ，△ABC 的外接圆的半径为1，求△ABC 的面积．
16(本小题满分14分)
如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点．
(1) 若N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC；
(2) 若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．
在一个直角边长为10 m 的等腰直角三角形ABC 的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR 的花地，要求P ，Q ，R 三点分别在△ABC 的三条边上，且要使△PQR 的面积最小．现有两种设计方案：
方案一：直角顶点Q 在斜边AB 上，R ，P 分别在直角边AC ，BC 上； 方案二：直角顶点Q 在直角边BC 上，R ，P 分别在直角边AC ，斜边AB 上． 请问应选用哪一种方案？并说明理由．
18. (本小题满分16分)
已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为1
2，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆
N 的方程为(x －c)2＋y 2＝a 2＋c 2(c 为半焦距)，直线l ：y ＝kx ＋m(k ＞0)与椭圆M 和圆N 均只有一个公共点，分别设为A ，B.
(1) 求椭圆方程和直线方程； (2) 试在圆N 上求一点P ，使
PB
PA
＝2 2.
已知函数f(x)＝lnx ＋a ＋e －2
x (a ＞0)．
(1) 当a ＝2时，求出函数f(x)的单调区间；
(2) 若不等式f(x)≥a 对于x ＞0的一切值恒成立，求实数a 的取值范围．
20. (本小题满分16分)
已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝q(b n ＋1－b n )，n ↔N *. (1) 若b n ＝2n －3，a 1＝1，q ＝2，求数列{a n }的通项公式；
(2) 若a 1＝1，b 1＝2，且数列{b n }为公比不为1的等比数列，求q 的值，使数列{a n }也是等比数列；
(3) 若a 1＝q ，b n ＝q n (n ↔N *)，且q ↔(－1，0)，数列{a n }有最大值M 与最小值m ，求M
m 的
取值范围．
(四)
1. －1 解析：－1↔B ＝{0，a ，2}，a ＝－1.本题考查集合概念及基本运算，属于容易题．
2. 22 解析：z ＝1＋2i 3－i
＝1＋7i 10，z 的模为2
2.本题考查复数的基本运算，属于容易题．
3. 5 解析：当A ＝1时，S ＝3；当A ＝2时，S ＝7；当A ＝3时，S ＝15；当A ＝4时，S ＝31；当A ＝5时，S ＝63；则判断框中的整数M 的值是5.本题考查伪代码的知识，关键把握每一次循环体执行情况．本题属于容易题．
4. 2 解析：不小于40岁的人数为100×(0.015＋0.005)×10＝20，在[50，60)年龄段的
人数为100×0.005×10＝5，设在[50，60)年龄段抽取的人数为则820＝x
5
，则x ＝2.本题主要
考查了分层抽样的概念，频率分布直方图基础知识．本题属于容易题．
5. 2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3 解析：将函数f(x)＝2sin2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得函
数g(x)＝2sin2⎝
⎛⎭⎫x －π
6＝2sin(2x －π3)．本题主要考查三角函数的图象变换(平移变换)．本题
属于容易题．
6. 2
3
解析：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，共有6种取法；取出的数中一个是奇数一个是偶数共4种取法；则取出的数中一个是奇数一个是偶数的概率为2
3
.本题
考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数．本题属于容易题．
7. 725 解析：由sin (α－45°)＝－210，展开得sin α－cos α＝－1
5，又sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝35，cos α＝45，则cos2α＝cos 2α－sin 2α＝7
25
.本题考查了三角函数的和差角公式，
同角三角函数关系，二倍角公式．本题属于容易题．
8. 33 解析：设O 到平面V AB 的距离为h ，由V VOAB ＝V OV AB 得13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×1＝1
3
×⎝⎛⎭⎫12
×2×2×32×h ，则h ＝33.本题考查了等积法求点到平面的距离，属于容易题．
9. 1＋32
解析：设AB ＝BC ＝2，由题意知2c ＝2，23－2＝2a ，则c ＝1，a ＝3－1，
则双曲线的离心率为1＋3
2
.本题考查了双曲线的定义及离心率求法．本题属于容易题．
10. 8 解析：b 3＝a 4－a 3＝－1－1＝－2，由b 3－b 2＝1，则b 2＝－3，而b 2＝a 3－a 2＝－3，得a 2＝4.又b 2－b 1＝1，则b 1＝－4，而b 1＝a 2－a 1＝4－a 1＝－4，则a 1＝8.本题考查了利用列举法借助递推公式求数列中的项，属于容易题．
11. ⎝
⎛⎦⎤
0，233 解析：设△ABC 中，a ＝|β|＝1，A ＝60°，|α|＝c ，由正弦定理得a sinA ＝
c sinC ，则asinC sinA ＝c ，即c ＝233sinC.又0<sinC ≤1，即c 的取值范围为⎝
⎛⎦⎤0，233，则α的模的取值范围为⎝
⎛⎦⎤
0，233.本题考查了利用正弦定理将向量问题转化成解三角形问题，属于中等
题．
12. 5 解析：P(x 0，y 0)处的切线斜率为1＋1
x 20
，则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0－1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0) ，当x ＝0时，y ＝－2x 0；当y ＝0时，x ＝2x 0x 20＋1
.S △OAB ＝12×2x 0 ×2x 0x 20＋1＝1
3，则x 0＝ 5.
本题考查了导数的几何意义、直线方程，属于中等题．
13. 14 解析：因为圆心C 到直线l 的距离d ＝32
2
>2，所以直线l 与圆C 相离．因为
点P 在直线l 上，两点A ，B 在圆C 上，所以|PA →|>0，|PB →|>0.因为PA →·PB →＝|PA →|·|PB →
|·cos
θ≤0，所以cos θ≤0，所以PA →与PB →
的夹角∠APB 为钝角或直角．因为圆C 上存在两点A ，
B ，使得PA →·PB →
≤0，所以只要PA ，PB 分别与圆C 都相切时使得∠APB 为钝角或直角，此时点P 所在的线段长即为线段EF 长度的最大值．当PA ，PB 分别与圆C 都相切时，在Rt △CAP 中，当∠APB 为直角时，∠CPA ＝45°，CA ＝2，则PC ＝2 2.所以，线段EF 长度的最大值为2PC 2
－d 2
＝2
（22）2
－⎝⎛⎭
⎫
3222
＝14.本题考查了直线与圆的位置关系、向
量数量积等内容．本题属于难题．
14. ⎣⎡⎦⎤1e ，1 解析：① 当t ≥1时，f(t)＝lnt ，即lnt ≤kt 对于t ↔[1，＋∞)恒成立，所以
k ≥lnt t ，t ↔[1，＋∞)．令g(t)＝lnt t ，则g′(t)＝1－lnt t 2，当t ↔(1，e)时，g ′(t)>0，则g(t)＝
lnt
t
在t ↔(1，e)时为增函数；当t ↔(e ，＋∞)时，g ′(t)<0，则g(t)＝lnt
t
在t ↔(e ，＋∞)时为减函
数．所以g(t)max ＝g(e)＝1e ，所以k ≥1
e
.② 当0<t<1时，f(t)＝－t(t －1)2，即－t(t －1)2≤kt 对
于t ↔(0，1)恒成立，所以k ≥－(t －1)2，t ↔(0，1)，所以k ≥0.③ 当t ≤0时，f(t)＝t(t －1)2，
即t(t －1)2≤kt 对于t ↔(－∞，0]恒成立，所以k ≤(t －1)2，t ↔(－∞，0]，所以k ≤1.综上，
1
e
≤k ≤1.本题考查了分段函数、利用导数求最值，以及恒成立问题等内容，借助分类讨论使问题得到解决．本题属于难题．
15. 解：(1) 因为m ⊥n ，所以sin 2B －sin 2C ＋sinA(sinC －sinA)＝0，即sinAsinC ＝sin 2A ＋sin 2C －sin 2B.(2分)
由正弦定理得ac ＝a 2＋c 2－b 2
，所以cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12
.(4分)
因为B ↔(0，π)，所以B ＝π
3.(6分)
(2) 因为c·cosA ＝b ，所以b c ＝b 2＋c 2－a
2
2bc
，即b 2＝c 2－a 2.(8分)
又ac ＝a 2＋c 2－b 2，b ＝2RsinB ＝3，(10分) 解得a ＝1，c ＝2.(12分)
所以S △ABC ＝12acsinB ＝3
2
.(14分)
16. 证明：(1) 因为平面PAC ⊥平面ABC ，AC 为两平面的交线，AC ⊥BC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面PAC.(2分)
又PE ∥CB ，M 、N 分别为AE 、AP 的中点，所以MN ∥PE ，(3分) 所以MN ∥BC ，即MN ⊥平面PAC.(5分)
又MN ⊂平面CMN ，所以平面CMN ⊥平面PAC.(7分) (2) 因为PE ∥CB ，BC ⊂平面ABC ，PE ⊄ 平面ABC ， 所以PE ∥平面ABC.(9分)
设平面PAE 与平面ABC 的交线为l ，则PE ∥l.(10分) 又MN ∥平面ABC ，MN ⊂平面PAE ，所以MN ∥l.(11分) 所以MN ∥PE.(12分)
因为M 是AE 的中点，所以N 为PA 的中点．(14分)
17. 解：方案一：过Q 作QM ⊥AC 于M ，作QN ⊥BC 于N ， 因为△PQR 为等腰直角三角形，且QP ＝QR ， 所以△RMQ ≌△PNQ ， 所以QM ＝QN ，
从而Q 为AB 的中点，(2分) 则QM ＝QN ＝5 m ．(3分)
设∠RQM ＝α，则RQ ＝5
cos α
，α↔[0°，45°)，
所以S △PQR ＝12×RQ 2＝25
2cos 2α
，(4分)
所以S △PQR 的最小值为25
2
m 2.(6分)
方案二：设CQ ＝x ，∠RQC ＝β，β↔(0°，90°)，
在△RCQ 中，RQ ＝x
cos β
，(8分)
在△BPQ 中，∠PQB ＝90°－β，
所以QP sinB ＝BQ sin ∠BPQ
，
即x
2
2
cos β＝10－x sin （45°＋β），
化简得x cos β＝10
sin β＋2cos β
，(10分)
所以S △PQR ＝1
2×RQ 2
＝50
（sin β＋2cos β）2
. 因为(sin β＋2cos β)2≤5，所以S △PQR 的最小值为10 m 2.(13分) 综上，应选用方案二．(14分)
18. 解：(1) 由题意知⎩
⎨⎧
c a ＝12
，a
2c －c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝3，(2分)
所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2
3＝1，(4分)
圆N 的方程为(x －1)2
＋y 2＝5.(5分)
由直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆M 只有一个公共点，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，
y ＝kx ＋m ，
得(3＋4k 2)x 2＋8kmx
＋4m 2－12＝0， ①(6分)
所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0得m 2＝3＋4k 2. ②(7分)
由直线l ：y ＝kx ＋m 与N 只有一个公共点，得|k ＋m|
1＋k 2
＝5，
即k 2＋2km ＋m 2＝5＋5k 2， ③(8分) 将②代入③得km ＝1， ④
由②，④且k ＞0，得k ＝1
2
，m ＝2.(9分)
所以直线l ：y ＝1
2
x ＋2.(10分)
(2) 将k ＝1
2
，m ＝2代入①可得A ⎝⎛⎭⎫－1，32，(11分) 又过切点B 的半径所在的直线l′为y ＝－2x ＋2，所以得交点B(0，2)．(12分)
设P(x 0，y 0)，因为PB PA ＝22，则x 20＋（y 0－2）
2
（x 0＋1）2＋⎝⎛⎭
⎫y 0－322＝8， 化简得7x 20＋7y 2
0＋16x 0－20y 0＋22＝0. ⑤(13分)
又P(x 0，y 0)满足x 20＋y 2
0－2x 0＝4， ⑥
将⑤－7×⑥得3x 0－2y 0＋5＝0，解得y 0＝3x 0＋5
2
， ⑦(14分)
将⑦代入⑥得13x 20＋22x 0＋9＝0，解得x 0＝－1或x 0＝－9
13
，(15分) 所以P(－1，1)或P ⎝⎛⎭
⎫－913，19
13.(16分) 19. 解：(1) 当a ＝2时，函数f(x)＝lnx ＋e
x
，
所以f′(x)＝1x －e x 2＝x －e
x
2，(2分)
所以当x ↔(0，e)时，f ′(x)＜0，则函数f(x)在(0，e)上单调减；(3分) 当x ↔(e ，＋∞)时，f ′(x)＞0，则函数f(x)在(e ，＋∞)上单调增．(4分)
(2) 由题意知lnx ＋a ＋e －2
x
≥a 恒成立，
等价于xlnx ＋a ＋e －2－ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立，(6分) 令g(x)＝xlnx ＋a ＋e －2－ax ，则g′(x)＝lnx ＋1－a.
令g′(x)＝0，得x ＝e a －
1，(7分)
所以g(x)－1.(9分)
令t(x)＝x ＋e －2－e x －1，则t′(x)＝1－e x －
1，(10分) 令t′(x)＝0，得x ＝1，且
(11分)
所以当a ↔(0，1)时，g(x)的最小值t(a)＞t(0)＝e －2－1e ＝e （e －2）－1
e ＞0，(12分)
当a ↔[1，＋∞)时，g(x)的最小值为t(a)＝a ＋e －2－e a －
1≥0＝t(2)，(14分) 所以a ↔[1，2]．(15分) 综上，a ↔(0，2]．(16分)
20. 解：(1) 由b n ＝2n －3且q ＝2得a n ＋1－a n ＝4，所以数列{a n }为等差数列．(2分) 又a 1＝1，所以a n ＝4n －3.(4分)
(2) 由条件可知a n －a n －1＝q(b n －b n －1)，
所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝q(b n －b n －1)＋q(b n －1－b n －2)＋…＋q(b 2－b 1)＋a 1 ＝qb n －qb 1＋a 1＝qb n －2q ＋1.(6分)
不妨设{b n }的公比为λ(λ≠1)，则a n ＝2qλn －
1－2q ＋1，
由{a n }是等比数列知a 22＝a 1a 3
，可求出q ＝1
2
，(7分) 经检验，a n ＝2qλn －
1，此时{a n }是等比数列，所以q ＝12
满足条件．(8分)
(3) 由条件可知a n －a n －1＝q(b n －b n －1)，
所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1
＝q(b n －b n －1)＋q(b n －1－b n －2)＋…＋q(b 2－b 1)＋a 1＝qb n －qb 1＋a 1，
即a n ＝q n ＋1－q 2＋q ，a 2n ＝q 2n ＋
1－q 2＋q.(10分)
因为q ↔(－1，0)，所以a 2n ＋2－a 2n ＝q 2n ＋3－q 2n ＋1＝q 2n ＋
1(q 2－1)＞0，则{a 2n }单调递增；(11分)
a 2n ＋1－a 2n －1＝q 2n ＋
2－q 2n ＝q 2n (q 2－1)＜0，则{a 2n －1}单调递减．(12分)
又a 2n －a 1＝q 2n ＋
1－q 2＜0，
所以数列{a n }的最大项为a 1＝q ＝M ，(13分)
a 2n ＋1－a 2＝q 2n ＋2－q 3＝q 3(q 2n －
1－1)＞0，
所以数列{a n }的最小项为a 2＝q 3－q 2＋q ＝m ，(14分) 则M m ＝q q 3－q 2
＋q ＝1q 2－q ＋1
. 因为q ↔(－1，0)，所以q 2－q ＋1↔(1，3)，
所以M m ↔⎝⎛⎭
⎫
13，1.(16分)。