一类捕食-食饵模型共存解的存在性

一类捕食-食饵模型共存解的存在性
魏欢;杨文彬;李艳玲
【摘要】The coexistence solutions of a predator-prey model with homogeneous Dirichlet boundary value conditions are studied . Firstly , by using the principle of extremum and the Young inequality , a priori estimate of positive equilibrium solution is given . Secondly , the sufficient and necessary conditions for the existence of positive solutions to equilibrium equation are discussed through the fixed-point index , topological degree theory and spectral analysis methods . Finally , taking the death rate as the bifurcation parameter , the existence of positive solution to this system is derived by making use of local bifurcation theory .%研究一类捕食-食饵模型在齐次Dirichlet边值条件下的共存解.首先,利用极值原理和Young不等式得到正平衡态解的先验估计;其次,通过计算不动点指数,结合锥上的拓扑度理论和谱分析方法论讨了平衡态方程存在正解的充分必要条件,以及共存解对参数的依赖性;最后,以食饵的死亡率作为分歧参数,利用局部分歧定理证明了发自半平凡解的局部分支的存在性.
【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(054)001
【总页数】7页(P9-15)
【关键词】捕食-食饵模型;共存解;不动点指数;拓扑度理论;局部分歧
【作者】魏欢;杨文彬;李艳玲
【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安 710062;西安邮电大学理学院,陕西西安 710121;陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安 710062【正文语种】中文
【中图分类】O175.25
近年来,一类推广的Lotka-Volterra捕食-食铒模型受到了广大学者的关注.目前，对于这类推广的Lotka-Volterra捕食-食铒模型的研究更多关注的是常微分模型，对于偏微分模型的研究并不是很多.在文献[1]的启发下，文中在Dirichlet边界条件下考虑一类推广的Lotka-Volterra的捕食-食铒模型：
(1)
初边值条件为
其中，Ω为Rn中的有界区域，且边界∂Ω充分光滑；X,Y分别表示食饵和捕食者的密度；参数ζ>1,γ,ρ,β,α,ζ均为正常数.ζ=1时模型(1)即为经典的Latka-Volterra捕食-食铒模型；ζ>1时模型(1)相比较于Latka-Volterra模型，当捕食者的种群数量很大时，食饵种群数量将会减小为零.模型(1)的生物背景和各个参数的生物意义可参见文献[2].
对模型(1)的参数进行无纲量化，令
通过变换模型(1)改写成
(2)
其中参数a,b,c,e>0,r>1都为常数.系统(2)相应的平衡态系统为
(3)
文中利用锥上的拓扑度理论和分歧理论研究系统(3)正解的存在性以及共存解的稳
定性.首先利用锥上的拓扑度理论和谱分析方法给出共存解存在的充分必要条件；
然后分析e→0+时共存解的渐近行为；最后利用Crandall-Rabinowitz分歧定理
给出了局部分支解的存在性.
1 正解存在的充要条件
设||·||是Banach空间的范数.定义考虑特征值问题
(4)
其中
引理1[3] 问题(4)的特征值λi(q)(i=1,2,3,…)满足λ1(q)<λ2(q)≤λ3(q)≤…→∞，相
应的特征函数分别为u1(x),u2(x),u3(x),…，其中u1(x)>0,x∈Ω,λ1(q)问题(4)的主
特征值，满足
λ1(q)是单重的，而且有如下比较定理：若q1≤q2，则λj(q1)≤λj(q2)；若q1≠q2，则λj(q1)<λj(q2)(j=1,2,3,…).记λ1=λ1(0).
引理2[4] 设是正常数，满足M-q(x)>0在上成立.那么
(1)λ1(q)<0⟹r[(M-Δ)-1(M-q(x))]>1;
(2)λ1(q)>0⟹r[(M-Δ)-1(M-q(x))]<1;
(3)λ1(q)=0⟹r[(M-Δ)-1(M-q(x))]=1.
根据文献[5]中的定理1，不加证明地给出以下引理：
引理3 (1) 当a<λ1时，系统(3)的非负解只有零解；
(2)当a>λ1时，系统(3)至少有一个分量为零的非负解只有(0,0)，(u0(x),0)，其中u0(x)是方程
(5)
的唯一正解.
引理4 存在常数C0,C1>0，若(u(x),v(x))是问题(3)的任意非负非平凡解，则有先验估计：
证明利用极值原理易证，存在常数C0>0使得0≤u(x)≤C0.
接下来证明v的先验估计.令w=u+v,联立(3)式的两个方程可得：
令由极值原理可得-Δw(x0)≥0.于是
(au-euvr+cvur-bv)|x0≥0，
即
对v(x0)u(x0)r-1应用Young不等式可得：
将(7)式代入(6)式可得
整理上式得
即
又因为
引理证毕. 】
给出一些记号：
记
取常数使得P(u,v)T+f(u,v)≥(0,0)T.对所有的0≤u(x)≤C0,0≤v(x)≤C1成立.
对于任意μ∈[0,1]，定义映射Tμ:EE为
令T=T1，那么T是紧算子，并且T:DW.显然问题(3)有解等价于算子方程
T1(u,v)=(u,v)有解.
利用文献[6]中的引理2.21易证：
经简单计算，T的导算子是
T′(u,v)=(-Δ+P)-1(Df(u,v)+PI),
即
引理5 (1) 如果a<λ1，则indexW(T,(0,0))=1;
(2)如果a>λ1，则indexW(T,(0,0))=0.
证明 (1) 特征值问题T′(0,0)(ξ,η)T=(ξ,η)T，其中(ξ,η)∈W等价于特征值问题
(8)
由于a≠λ1，所以1不是问题(8)的特征值，问题(8)的特征值λ=(λ1+P)/(a+P).因
为a<λ1，所以由文献[7]中引理3.2.12可知，问题(8)的所有特征值都大于1；由文献[7]中引理3.2.4可知，成立indexW(T,(0,0))=0.
(2)易知T(0,0)=(0,0)且T在上是正的紧算子.记
先证I-T′(0,0)在上可逆.假设存在使得T′(0,0)(ξ,η)=(ξ,η),则
(9)
如果ξ>0，则a=λ1，矛盾，因而ξ=0.同理可证η=0.故I-T′(0,0)在上可逆.
下证T′(0,0)具有α性质.因为a>λ1，所以由引理2可知
ra:=r[(-Δ+P)-1(a+P)].
同时ra是算子(-Δ+P)-1(a+P)的主特征值，对应的特征函数φ>0.取则0<t0<1并且(I-T′(0,0))(φ,0)=(0,0)∈S(0,0).因为T′(0,0)具有α性质，所以由文献[7]中引理3.2.6可知，indexW(T,(0,0))=0成立. 】
引理6 (1) deg(I-T,D)=1;
(2)若则
indexW(T,(u0,0))=0;
(3)若则
indexW(T,(u0,0))=1.
证明 (1) 显然在∂D上T没有不动点，即deg(I-T,D)有意义，对于任意的μ,Tμ的不动点即为下述方程的解：
(10)
由引理4知，对于任意的μ∈[0,1],Tμ的不动点满足u≤C0,v≤C1，所以Tμ的不动点一定落在D内.根据同伦不变性[8-9]知degW(I-T,D)不依赖μ，于是
又因为当μ=0时问题(9)只有平凡解(0,0)，所以
degW(I-T0,D)=indexW(T,(0,0)).
注意到
记
根据引理2可知：r(L)<1.因此I-L在上可逆，且L在上没有α性质.根据文献[10]引理2可得：indexW(T,(0,0))=1，从而degW(I-T,D)=1.
(2)注意到这时有
直接计算可得
先证I-T′(u0,0)在上可逆.假设存在即
(11)
若η≢0，注意到η∈K，则由问题(10)的第二个方程可得矛盾，故η≡0.若ξ≢0，则0是问题
的一个特征值，所以另一方面，由于利用特征值的比较原理可知，矛盾.因此(ξ,η)=(0,0)，故I-T′(u0,0)在上可逆.
再证T′(u0,0)在上具有α性质.记
因为所以r(l)>1且算子l的主特征值对应的特征函数φ>0.
取则t0∈(0,1),(0,φ)并且
故T′(u0,0)在上具有α性质.由文献[10]引理2可得，indexW(T,(u0,0))=0. (3)类似(2)可证I-T′(u0,0)在上可逆.下证T′(u0,0)在上不具有α性质.因为所以
r(l)<1，进一步，存在0<t<1和使得(I-tT′(u0,0))T∈S(u0,0).于是
φ2=0.
又因为φ2∈K\{0}，所以是算子l的一个特征值，这与r(l)<1矛盾.因此T′(u0,0)在上不具有α性质.根据文献[11]引理3可得
indexW(T,(u0,0))=(-1)α,
其中α是T′(u0,0)的所有大于1的特征值的代数重数之和.
假设>1是T′(u0,0)的一个特征值，对应的特征函数记为(ξ,η)T.有
即
(12)
若η≢0，则由第二个方程可知
这与矛盾.故η=0，因此ξ≢0.注意到u(x)≤C0，则由问题(11)的第一个方程可知
矛盾.所以T′(u0,0)没有大于1的特征值，于是indexW(T,(u0,0))=1. 】
引理7 系统(3)存在严格正解(u(x),v(x))当且仅当a>λ1且
证明必要性.设系统(3)存在严格正解(u(x),v(x))>(0,0)，则a>λ1成立，且
-Δu=u(a-ur-evr)<u(a-ur).
由比较原理[12]可知u(x)<u0(x).于是
因为在Ω内v(x)>0，所以
充分性.由引理5和引理6可知，indexW(T,(0,0))=0和indexW(T,(u0,0))=0，再由引理6可知,T在W中至少还有一个异于(0，0)和(u0,0)的非零不动点,即系统(3)至少还有一个异于(0,0)和(u0,0)的非零解(u(x),v(x)).于是u(x)>0,v(x)>0在Ω内成立，即系统(3)至少有一个严格正解. 】
为方便起见，称系统(3)至少有一个分量为零的非负解为平凡的非负解.定义算子
定理1 系统(3)存在严格正解当且仅当Fu,v(0,0)在系统(3)的所有平凡的非负解的线性化算子的特征值包含一个实部为正的特征值.
证明必要性.设(u(x),v(x))是系统(3)的严格正解.由引理7知易知系统(3)的平凡的非负解只可能有(0,0)和(u0,0).算子在(0,0)处的线性化算子为：
由文献[6]定理2.5.1知，a-λ1是算子Fu,v(0,0)的特征值且a-λ1>0.算子F(u,v)在(u0,0)处的线性化算子为：
利用文献[6]中定理2.5.1推知，算子Fu,v(u0,0)包含的第一特征值(大于零).
充分性.设算子Fu,v(u0,0)包含一个实部为正的特征值，根据文献[5]定理2.5.1知a-λ1>0.于是系统(3)有一个平凡非负解(u0,0).由假设，算子Fu,v(u0,0)包含一个实部为正的特征值，由文献[6]引理2.5.1知算子Fu,v(u0,0)的特征值为:
{θ1,θ2,…}∪{ξ1,ξ2,…}，其中θ1>θ1>…是的全部特征值,ξ1>ξ2>…是的全部特征值.因此θ1>0或者ξ1>0.
因为u0(x)满足
(4)
用上下解方法易证u0(x)是渐近稳定的，所以θ1>0不成立.从而有ξ1>0，即的第一特征值大于零，所以根据引理7知，系统(3)存在正解. 】
2 共存解对参数e的渐近行为
本节主要讨论e→0+时系统(3)共存解的渐近行为.
定理2 如果a>λ1且则当e→0+时，问题(3)的共存解(u,v)→(u0,v*).
证明当时，由引理7的结论容易看出问题(3)有共存解.由引理4可知u(x)关于e
一致有界，接下来证明v(x)关于e一致有界.令h=u+v，联立问题(3)的两个方程
可得：
重复引理4的证明过程可得这时u(x),v(x)关于e一致有界.
当e→0+时，问题(3)对应的极限问题为
假设e→0+时(ui,vi)是问题(3)对应于e=ei的共存解.由于(ui,vi)关于i一致有界，
所以根据椭圆型方程的正则性理论[13]知，|(ui,vi)|2+α关于i有界.故存在的子列，不妨仍记为它自身，以及非负函数对使得在中(ui,vi)→(u,v)且(u,v)是问题(4)的非负解.下面证明在Ω内u(x),v(x)>0.
如果u≡0，则||ui||∞→0.记那么满足
同上关于i有界.从而存在的子列，不妨仍记为它自身，以及非负函数使得在中显
然并且满足
由此得a=λ1，这与已知条件相矛盾，因此u≢0.再由强极值原理可知，在Ω内有
u(x)>0.
如果v≡0，同理存在非负函数在中并且满足
因为非负，所以在Ω内从而
这与(5)式矛盾.因而v≢0，于是在Ω内有v(x)>0. 】
3 发自半平凡解处的分歧的存在性
固定a>λ1，以b作为分歧参数，讨论平衡方程半平凡解(u0,0)处的分歧解.定义算子
其中则U是问题G(U;b)=0,x∈Ω,u|∂Ω=0的解当且仅当U是系统(3)的解，记为U0(u0,0)T,则G(U0;b)=0.令则
定理3 设a≥λ1，则存在δ>0使得对任意的系统(3)存在正解满足
是系统(3)在附近的唯一正解.
证明对(φ1,φ2)T∈X，令则
(13)
而0是的最小特征值(因因此取φ2为相应于0的特征函数,则||φ2||2=1,φ2>0.由(13)的第一个方程
(14)
有唯一解φ1=0.由(13)可得它对应的特征函数是u0.如果(14)有非平凡解，则另一
方面
矛盾.所以
进而令则方程组
(15)
有解.(13)的第二个方程两边同乘以φ2并在Ω上积分可得
这说明(13)的第二个方程有解当且仅当h2,φ2=0.因此
进而且
因此根据Grandall-Rabinowitz分歧定理[14-15]可知,存在s0>0及
满足
令
则(s))是G(U;b)=0在附近的正解，进而是系统(3)的解，且对充分小的而且，在分歧点(U0;附近的非平凡非负解要么在分支{((u0,0);b):b∈R+}上，要么在分支{((us,vs);b(s)):0<s<δ}上. 】
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