Hilbert空间中广义变分不等式的近似-似投影算法

Hilbert空间中广义变分不等式的近似-似投影算法
陈方琴;夏福全
【摘要】In this paper, we consider the proximal projected-like method for solving generalized variational inequalities in Hilbert spaces. This method includes proximal method and projected-like method. At first, we obtain temporary iteration points by using proximal method, and then by using the projected-like method, we project the temporary point onto the feasible set of generalized variational inequalities to get the next iterative point. Under the assumptions that the set-valued mapping is maximal monotone, we prove that every weak accumulation point of the sequence is a solution of variational inequalities. Finally, under the condition that the distance-like function is a special function, we prove that the sequence has a unique weak accumulation point.%在Hilbert空间中研究了广义变分不等式解的近似-似投影算法,该算法包含了近似点算法和似投影算法.首先通过近似算法,获得暂时迭代点,然后利用似投影算法将该暂时的迭代点投影到广义变分不等式的可行集上,获得下一步的迭代点.在集值映象为极大单调的条件下,证明了迭代序列的任意弱聚点都是变分不等式的解.最后,在取特殊的似距离泛函的情况下证明了序列具有唯一的弱聚点.
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(035)003
【总页数】6页(P297-302)
【关键词】近似点算法;似投影算法;似距离泛函;极大单调映象
【作者】陈方琴;夏福全
【作者单位】四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都 610066;四川师范大学数学与软件科学学院,四川成都 610066
【正文语种】中文
【中图分类】O176.3;O178
设H为Hilbert空间，X为H中的非空闭凸子集，T：X→2H为集值映射.本文研究下列广义的变分不等式问题：求x*∈X，w*∈T(x*)，使得
本文始终假设广义变分不等式问题(1)的解集S非空，并且X∩int(dom(T))≠Ø，或int(X)∩dom(T)≠Ø，其中
广义变分不等式问题(1)在经济平衡、运筹学、数学物理等方面都有着广泛的应用［1］.同时，广义变分不等式问题(1)也和许多非线性问题有密切的关系，如相补问题、平衡问题、不动点理论等［2-3］.特别地，当 T是真凸下半连续泛函 f：
H→R∪{+∞}的次微分时，广义变分不等式问题(1)退化为下列非光滑约束优化问题
因此，对广义变分不等式问题(1)的研究无论是理论还是应用都很有意义.
当集值映象T是强单调或者可行集X具有某种特殊结构(比如X是盒子)时，已有很多的有效算法计算广义变分不等式问题(1)的解［4-5］.但是，当集值映象T不是强单调或者可行集X不具有某种特殊结构时，广义变分不等式问题(1)的有效算
法却不多.在这种情况下，应用最广泛的算法是投影算法，例如文献［6］.然而，
一般情况下投影算子本身难以计算(事实上，必须要求解一个优化问题才能找到投影)，这使得投影型算法难以实现.如何降低投影算子的计算难度或者如何实现投影成为众多数学和应用数学工作者关注的问题.最近，A.Auslender等［7-8］为了克服这一难点，引入了似距离泛函，定义了似投影算子，并在映射T是极大单调以
及T在X的有界集上有界的条件下得到迭代序列{xk}的凸组合的极限点是广义变分不等式问题(1)的解.
另一方面，广义变分不等式问题(1)也等价于下列的变分包含问题：求x*∈X使得
其中，NX是闭凸集X的正规对偶算子，其定义为：
显然广义变分不等式问题(1)是下列问题的特例：
其中，A是Hilbert空间H到自身的一个集值映射.
对于(3)式的求解算法有很多(参见文献［9-11］)，其中最常见的方法之一是近似
点算法，它的一般形式为
然而，上式的精确解一般难以计算，特别当A为非线性算子时更困难.为了克服上
述难点，近年有很多文献提出了非精确的近似点算法.具体方法是在上式中添加容
许误差，从而计算上式的近似解(参见文献［12-13］).
受上述工作的启发，本文在Hilbert空间中研究了广义变分不等式问题(1)的近似-
似投影算法.该算法包含有非精确的近似点算法，即在近似点算法中包含有误差ξ，它满足一个容易验证的条件(5)(见算法2.1).应用非精确的近似点算法，获得暂时的迭代点.然后应用似投影算子，将暂时的迭代点投影到广义变分不等式的可行集上，
获得下一步的迭代点，进而构造出变分不等式的迭代序列.本文在集值映象T是极
大单调的条件下证明了迭代序列的有界性，也证明了迭代序列的弱聚点都为广义变分不等式问题(1)的解.最后，在取特殊的似距离泛函的情况下证明了序列的弱收敛性.本文只假设T是极大单调映射，去掉了T在X的有界集上有界的条件.因此，本文的结果推广了文献［7］中的相应结果.
1 预备知识
文中R+代表全体正实数.首先介绍A.Auslender等［7］给出的似投影算子的定义及性质：
定义1.1 对任给的g∈H，x∈X，定义似投影算子P(g，x)如下：
其中d：X×X→R+∪{+∞}为给定的泛函，且对任意的y∈X都有：
(d1)d(·，y)是X上的真凸下半连续泛函且有d(y，y)=0，▽1d(y，y)=0，其中
▽1d(·，y)是d(·，y)的梯度.
(d2)domd(·，y)⊂X，dom∂1d(·，y)=X，其中∂1d(·，y)是d(·，y)的次梯度映象. (d3)d(·，y)在X上ρ强凸，即存在ρ＞0对于任意的y∈X都有
设D(X)表示满足条件(d1)～(d3)的所有泛函的集合.易知，若d∈D(X)，则对于任
意的g∈H，x∈X都有P(0，x)=x.
也需要下面的似距离泛函.
定义1.2［8］ X是Hilbert空间H的闭凸子集，d∈D(X)，称泛函F：
X×X→R+∪{+∞}为由d诱导的近似距离.若F在X×X上为有限值，且存在σ＞0，γ∈(0，1］，使得对任意的a，b∈X有：
引理1.1［8］假设d∈D(X)，F是满足定义1.2的似距离泛函，P是定义2.1中的
似投影算子，则对于任意的τ∈X，y∈X都有
定义1.3 设X是一个Hilbert空间H的非空子集，T：X→2H为集值映射，称(i)T为单调的，如果对任意的x，y∈X，u∈T(x)，v∈T(y)有
(ii)T为极大单调的，如果T为单调映射，并且对于任何的单调映射只要满足都有
引理 1.2［14］假设η∈［0，1)且μ=若v=u+ξ，其中‖ξ‖2≤η2(‖u‖2+‖v‖2)，则
2 近似-似投影算法及其性质
在本节中，首先介绍广义变分不等式问题(1)的近似-似投影算法;然后再研究该算法的一些有用性质.选取正实数序列{λk}和正数η∈［0，1)，构造下列的迭代算法：算法2.1
1)选取初始点z0∈H.令k=0.
2)求xk∈X，使得
其中，ξk∈H满足
3)若gk+ωk=0，则算法停止，否则令
其中
4)令k=k+1，然后回到第2步.
令A=T+NX，其中NX是由(2)式定义的闭凸集X的正规对偶算子，若T为极大单调映象且dom(NX)∩intdom(T)≠Ø，则A为极大单调映象.从而(I+λkA)-1有意义且是单值的［15］.由(4)式知xk=(I+λkA)-1(zk+ξk)，从而序列{xk}、{zk}有定义. 本文总假设T是极大单调集值映射，η∈［0，1)，
现介绍算法2.1产生的迭代序列的一些性质.且序列{λk}满足
性质2.1 若则
证明令v=λk(gk+ωk)，u=zk-xk，将其带入引理1.2就可以得到性质(i)和(ii).对于(iii)一方面利用Cauchy-Schwarz不等式及(i)有
另一方面由(ii)可知
注2.1 在算法2.1的第3步中，若gk+ωk= 0，则-ωk∈NX(xk)，从而有
因此，xk是广义变分不等式问题(1)的解.另一方面，若gk+ωk≠0，由性质2.1(ii)知
由T的伪单调性知对于任意的x*∈S，
又因为gk∈NX(xk)则可得
性质2.2 设且对任意k都有gk+ωk≠0，则
且序列{F(x*，zk)}收敛.
证明在引理1.1中，令τ=x*，g=βk(gk+ ωk)，结合(6)式有
从而
由定义2.2(ii)，上式等于
这里由(10)式可得.另一方面
所以
将(11)～(12)式相结合有
由(7)式，上式等于
由(7)、(9)式以及可知
从而
即序列{F(x*，zk)}单调递减.又根据似距离泛函F的定义知对任意的k都有F(x*，zk)≥0，故序列{F(x*，zk)}收敛.
性质2.3 假设序列{λk}满足(8)式，则存在一个常数ζ＞0使得
证明如果gk+ωk=0，则上式成立.现假设gk +ωk≠0.由性质2.1(ii)有
因为λk∈［α1，α2］，所以
令
性质2.4 假设序列{λk}满足(8)式且1-则
证明若gk+ωk≠0，则由(8)、(13)和(14)式以及性质2.1(iii)可知，对于任意的k 有
对上式取极限并由序列{F(x*，zk)}的收敛性得
性质2.5 假设{xk}、{zk}是由算法2.1产生的两个无限序列，{λk}满足(8)式，则{xk}、{zk}都有界且具有相同的弱聚点.
证明由性质2.2和定义1.2(iii)知序列{zk}有界，利用性质2.4和性质2.1(i)，可得
所以有
因为{zk}有界，从而可得{xk}有界.由(15)式知{xk}和{zk}具有相同的弱聚点.
3 收敛性分析
定理3.1 如果由算法2.1产生的序列{xk}是有限序列，则序列最后一项为广义变分不等式问题(1)的解.
证明若序列{xk}为有限序列，则对于序列的最后一项算法2.1将在第3步停止，故有gk+ωk= 0.由注2.1知xk∈X且是广义变分不等式问题(1)的解.
现在假设由算法2.1产生的序列{xk}是无限序列，下面将证明{xk}的弱聚点是广义变分不等式问题(1)的解.
定理3.2 设{xk}是由算法2.1产生的序列，则{xk}的任意弱聚点都是广义变分不等式问题(1)的解.
证明假设是{}的任意一个弱聚点，由此可以得到一个{xk}的子列弱收敛于.不失一般性，假设xk=(弱收敛).因为{xk}⊂X，所以∈X.由性质2.5知对于所有的v∈H，任意选取u∈T(v)+NX(v)，则存在点ω'∈T(v)和g'∈NX(v)，使得ω'+g'=u.因此，两个不等式相加有
因为ω'+g'=u，所以
由于‖ωk+gk‖→0，且{xk}有界，故有
对(16)式取极限
所以故存在使由NX的定义知
从而
所以是广义变分不等式问题(1)的解.
当似距离泛函F(x，y)具有特殊结构时，将证明算法2.1产生的迭代序列{zk}、{xk}
弱收敛于广义变分不等式问题(1)的解.下面推论的证明与R.T.Rockafellar［16］中证明序列收敛的方法一样.
推论3.1 令F(x，y)=m‖x-y‖2，其中常数则由算法2.1产生的序列{zk}有唯一的弱聚点，从而{xk}和{zk}弱收敛.
证明对于任意的x*∈S，由性质2.2知{m‖x*-zk‖2}收敛，下面证明序列{zk}有唯一的弱聚点.假设是{zk}的两个弱聚点，{zkj}和{zki}是{zk}的两个子序列且分别弱收敛于由性质2.5知是序列{xk}的弱聚点.再由定理3.2知根据性质2.2知序列和收敛.令
则
分别对(17)～(18)式取极限，由于{zkj}、{zki}分别弱收敛于所以〈和都收敛于0.由α1、α2、θ的定义可得
由(19)和(20)式可得
从而θ=0，故
所以{zk}的所有子列具有相同的弱聚点，从而{zk}弱收敛，由性质2.5知{xk}弱收敛.
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