高中数学选修2-1新教学案：2.4.1抛物线及其标准方程(2)

选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程 （学案）
（第2课时）
【知识要点】
1. 抛物线在解决实际问题中的应用；
2. 运用抛物线的定义处理最值问题.
【学习要求】
1.感受抛物线在解决实际问题中的作用;
2.能熟练运用抛物线的定义解决问题,通过作图,进一步体会数形结合的数学思想在解题中的应用.
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第66 页～第67页）
1. 通过预习教材中的例2,你认为当曲线的特征符合我们所学的某种曲线时,应运用 法来求出曲线方程.
2. 在建立平面直角坐标系时,应掌握什么基本原则?
3. 教材中例2的求解过程在建系方面有什么优点?你能不能尝试另外的建系方法来解决该题?尝试后请你谈一下不同的建系方法的得到的结果是否相同?答案是否都正确?
4. 通过上一节问题的处理,体会到抛物线定义在处理问题时的最大优点就是把抛物线上点到焦点的距离转化成 的距离.
5. 平面内两点之间 线段最短.
【基础练习】
1．抛物线22y px = (0p > ) 上一点M 到焦点的距离是()2
p a a >,则点M 到准线的距离是 , 点M 的横坐标是 .
2. 抛物线2
12y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是 .
3. 抛物线22(0)y ax a =≠的焦点坐标是 .
【典型例题】
例1 点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，求点M 的轨迹方程.
变式1：已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3,)M m -到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值.
例 2 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.
已知接收天线的径口（直径）为4.8m，
深度为0.5m.建立适当的坐标系，求抛物
线的标准方程和焦点坐标.
变式2：一条隧道的横断面由抛物
线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如
图(单位:m).一辆卡车空车时能通过此
隧道,现载一集装箱,箱宽3m,车与箱共
高4.5m，此车能否通过隧道？并说明理由
例 3 已知M为抛物线(3,1)
P,则的最小值为（）.
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
变式练习3：在抛物线22
y x
=上求一点P，使P到焦点F与到定点(2,3)
A的距离之和最小.
1. 如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）.
(A)（1, 0）(B)（2, 0）(C)（3, 0）(D)（－1, 0）
2. 一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）
m (B)m (C) 4.5m (D) 9m
3.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛
物线的方程是（）.
(A) 22
y x
=-(B)24
y x
=-
(C)22
y x
=(D)22
436
y x y x
=-=-
或
4. 抛物线2
1
(0)
4
y x a
a
=≠的焦点坐标是 ( ).
(A) 0(0,),0(0)
a a a a
><-
时是时是
(B) 0(0,),0(0)
22
a a
a a
><-
时是时是
(C) (0,)a (D)
1
(,0)
a
5. 抛物线22
y px
=上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是MP MF
+
24
y x
=
( ).
(A) 4 (B) 8
(C) 16 (D) 32
6. 已知点M 为抛物线22y x =上的一个动点，则点M 到点(0,2)的距离与M 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ).
(B) 3
92 7. 已知抛物线232
y x =的焦点为F ，点111222333(,),(,),(,)M x y M x y M x y 在抛物线上，且2132x x x =+则有 （ ）. (A) 123M F M F M F += (B) 222
123M F M F M F += (C) 1322M F M F M F += (D) 2
122M F M F M F ∙=
8. 设斜率为2的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,且和y 轴交于点A ，若OAF ∆(O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线的方程为 （ ）.
（A ）24y x =± (B) 2
8y x =±
(C) 24y x = (D) 28y x =
9. 已知点M 在抛物线24y x =上，那么点M 到点(2,1)N 的距离与点M 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点M 的坐标为 .
10. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？.
1. 花坛水池中央有一喷泉，水管高1m ，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m ，距抛物线的对称轴1m ，则水池的直径至少应设计为多少米 （精确到整数位）？
选修2—1 2.4.1抛物线及其标准方程 （教案）
（第二课时）
【教学目标】:
1. 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力.
2. 通过解决实际问题,对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育.
【重点】 ：对抛物线定义的进一步理解.
【难点】 ：转化思想的应用.
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第66 页～第67页）
1. 通过预习教材中的例2,你认为当曲线的特征符合我们所学的某种曲线时,应运用 待定系数法 来求出曲线方程.
2. 在建立平面直角坐标系时,应掌握什么基本原则?
建立的坐标系对我们处理问题越简单越好，即坐标要简，未知量要少.
3. 教材中例2的求解过程在建系方面有什么优点?你能不能尝试另外的建系方法来解决该题?尝试后请你谈一下不同的建系方法的得到的结果是否相同?答案是否都正确?
2教材在处理例时把坐标原点健在了抛物线的顶点，得到的是抛物线标准方程也可以以焦点为坐标原点建系，求得的抛物线方程要复杂，但本题的最后结果一样
4. 通过上一节问题的处理,体会到抛物线定义在处理问题时的最大优点就是把抛物线上点到焦点的距离转化成点到准线 的距离.
5. 平面内两点之间直线段最短.
【基础练习】
1．抛物线22y px = (0p > ) 上一点M 到焦点的距离是()2
p a a >,则点M 到准线的距离是a , 点M 的横坐标是2p a -
.
2. 抛物线212y x =上与焦点的距离等于9的点的坐标是-.
3. 抛物线22(0)y ax a =≠的焦点坐标是1(0,
)8a
. 【典型例题】 例1 点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，求点M 的轨迹方程.
【审题要津】点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1 ,说明点M 与点(4,0)F 的距离与它到:40l x +=的距离相等.
解: 设点M 的坐标为（x ，y ），由已知条件可知：点M 与点F 的距离等于它到直线x+4=0的距离，根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F （4,0）为焦点的抛物线. 4,82p p ∴
=∴=. 所以点的轨迹方程为: 216y x = .
【方法总结】转化思想是解决此类问题的有效方法.
变式1：已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3,)M m -到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m 的值.
解: 因为焦点在x 轴上且过(3,)M m -点,所以设标准方程为22(0)y px p =->.由抛物线的定义知(3)52
p --=,即4p =.所以所求抛物线标准方程为28y x =-,又点(3,)M m -在抛物线上，于是224m =, 得:
m =±
例 2 一种卫星接收天线的轴截面如下图所示.卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的径口（直径）为4.8m ，深度为0.5m.建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
【审题要津】根据题目意思,正确的建立平面直角坐标系,利用待定系数法设出曲线方程,然后根据条件解决.
解: 在接收天线的轴截面所在
平面内建立直角坐标系,使接收天线
的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合.
设抛物线的标准方程是：
22(0)y px p =>.由已知条件可得,
点A 的坐标是(0.5,2.4),代入方程,
得22.420.5, 5.76p p =⨯=即.
所以,所求抛物线的标准方程是211.52y x =,焦点坐标是(2.88,0) .
【方法总结】 数形结合，利用所学抛物线知识，把实际问题转化成数学问题.
变式2：一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如图(单位:m).
一辆
卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,车与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？并说明理由.
解: 如图,建立坐标系,则(3,3),(3,3)A B --
设抛物线方程为22(0)x py p =->,将B 点坐标代入,得()3923,.2
p p =-∴=所以抛物线方程为23(30)x y y =--<<.因为车与箱共高4.5m
,所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m ，设抛物线上点D 的坐标为0(,0.5)x -，则
2'0003,232x x DD x =∴==∴==. 故此车不能通过隧道.
例 3 已知M 为抛物线 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点(3,1)P ,则 的最小值为（ ）.
(B) 4 (C) 5 (D) 6
【审题要津】根据抛物线的定义,把M 到焦点的距离转化成M 到准线的距离,然后过(3,1)P 作准线的垂线交抛物线于M ,则M 点位所求的点.距离为(3,1)P 到准线的距离.
解：过P 作准线l 的垂线交抛物线于M ，垂足为N ，则 =MN ,
所以最小值为4，故选（B ）.
【方法总结】 抛物线中的最小值问题,一般是借助于定义,把动点到两定点的距离和,转化为定点到抛物线准线的距离.
变式3：在抛物线22y x =上求一点P ，使P 到焦点F 与到定点(2,3)A 的距离之和小. 解: 因为点(2,3)A 在抛物线外部,连结AF 交抛物线于P ,则P 点为要求的点.
1. 如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为 （ A ）.
(A)（1, 0） (B)（2, 0） (C)（3, 0） (D)（－1, 0）
2. 一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ B ）
m (B)m (C) 4.5m (D) 9m
3. 抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛
物线的方程是
（ B ）. (A) 22y x =- (B) 24y x =-
MP MF +24y x =MP MF +
(C) 22y x = (D) 22436y x y x =-=-或
4. 抛物线21(0)4y x a a
=≠的焦点坐标是 ( C ). (A) 0(0,),0(0)a a a a ><-时是时是 (B) 0(0,),0(0)22a a a a ><-时是时是
(C) (0,)a (D) 1(,0)a
5. 抛物线22y px =上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是 ( B ).
(A) 4 (B) 8
(C) 16 (D) 32
6. 已知点M 为抛物线22y x =上的一个动点，则点M 到点(0,2)的距离与M 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( A ).
(A) 2
(B) 3
92 7. 已知抛物线232
y x =的焦点为F ，点111222333(,),(,),(,)M x y M x y M x y 在抛物线上，且2132x x x =+则有 （ C ）. (A) 123M F M F M F += (B) 222
123M F M F M F += (C) 1322M F M F M F += (D) 2
122M F M F M F ∙=
8. 设斜率为2的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,且和y 轴交于点A ，若OAF ∆(O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线的方程为 （ B ）.
（A ）24y x =± (B) 28y x =±
(C) 24y x = (D) 28y x =
9. 已知点M 在抛物线24y x =上，那么点M 到点(2,1)N 的距离与点M 到抛物线焦
点距离之和取得最小值时，点M 的坐标为1(,1)4 .
10. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？.
解：以拱桥的拱顶为原点,以过拱点且平行于水面的
直线为x 轴,建立直角坐标系,设桥拱抛物线方程为
22(0)
x py p =->,由题意可知,点(45)B -在抛物线上,故85p =,得2165
x y =-.当船面两侧和抛物线接触时, 船不能通航,设此时船面宽为'AA 则(2,)A A y ,
54=-2A A 16由2=-y 得y 5,又知船面露出水面上部分高为0.75米,所以0.752+=A h=y 米.
所以水面上涨到与抛物线拱顶相距2米时,小船开始不能通航.
1. 花坛水池中央有一喷泉，水管高1m ，水从喷头喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m ，距抛物线的对称轴1m ，则水池的直径至少应设计为多少米 （精确到整数位）？
解: 如图建立平面直角坐标系,
设抛物线方程为22(0)x py p =->.依题意,
有(1,1)p -- 所以21,2
p x y ==-故抛物线的方程为.
设'(,2),1B x x O B -=
=+则
所以水池直径为(215()m ≈,
即水池的直径至少应设计为5m.。