2016-2017学年内蒙古赤峰市宁城县九年级(上)期末数学试卷

2016-2017学年内蒙古赤峰市宁城县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）．
1. 下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（）
A. B. C. D.
2. 若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0没有实数根，则实数m的取值是（）
A.m<1
B.m>−1
C.m>1
D.m<−1
3. 已知抛物线的解析式为y=(x−2)2+1，则这条抛物线的顶点坐标是（）
A.(−2, 1)
B.(2, 1)
C.(2, −1)
D.(1, 2)
4. 如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AĈ沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果
∠BAC=20∘，则∠BDC=()
A.80∘
B.70∘
C.60∘
D.50∘
5. 用配方法解一元二次方程x2+4x−5=0，此方程可变形为()
A.(x+2)2=9
B.(x−2)2=9
C.(x+2)2=1
D.(x−2)2=1
6. 如图，已知在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得
到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60∘，AD=5，DC=4则DA′的大小为（）
A.1
B.√6
C.√21
D.2√3
7. 如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5，且AB＝11，则DE的长度为何？（）
A.5
B.6
C.√30
D.11
2
8. 下列事件中是必然发生的事件是（）
A.打开电视机，正播放新闻
B.通过长期努力学习，你会成为数学家
C.从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃
D.某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天
9. 如果小强将镖随意投中如图所示的正方形木板，那么镖落在阴影部分的概率为（）
A.1
9
B.1
8
C.1
12
D.1
6
10. 当ab>0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上．）
若关于x的一元二次方程(m−1)x2+x+m2−1=0有一根为0，则m=________．
设抛物线y=x2+8x−k的顶点在x轴上，则k=________．
如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25∘
，则
∠D=________度．
将直角边长为5________的等腰直角△________绕点________逆时针旋转15∘后，得到△________′________′，则图中阴影部分的面积是________2．
不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是________．
下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为________．
三、解答题：本大题共10个小题，满分102分，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明．解方程：(x−3)2+4x(x−3)=0．
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中，点A的坐标为(1, 1)．
（1）将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90∘画出旋转后的图形；
（2）若点B到达点B1，点C到达点C1，点D到达点D1，写出点B1、C1、D1的坐标．
如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：AC=
CD．
甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的4张牌做抽数学游戏．游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数．若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜．你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由．
已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG绕点A 按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说
明理由．
如图是函数y=3
x
与函数y=6
x
在第一象限内的图象，点P是y=6
x
的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=3
x
的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y
=
3
x
的图象于点D．
（1）求证：D是BP的中点；
（2）求四边形ODPC的面积．
如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象过A(1, 0)，B(0, −3)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90∘，以AB为直径作半圆⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE．
(1)求证：DE是半圆⊙O的切线．
(2)若∠BAC=30∘，DE=2，求AD的长．
某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面图如图ABCD所示）．由于地形
限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米．如果池的外围墙建造单价为每米400元，中间两条隔墙建
造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元．（池墙的厚度忽略不计）当三级污水处理池的总造价为
47200元时，求池长x．
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−4经过A(−4, 0)，C(2, 0)两
点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=−x上的动点，点B是抛物线与y轴交点．判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
参考答案与试题解析
2016-2017学年内蒙古赤峰市宁城县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在题后的括号内）．
1.
【答案】
A
【考点】
中心对称
【解析】
根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解．
【解答】
A、是中心对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
2.
【答案】
C
【考点】
根的判别式
【解析】
方程没有实数根，则Δ<0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】
解：由题意知，Δ=4−4m<0，
∴m>1
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
二次函数的性质
【解析】
直接根据顶点式的特点写出顶点坐标．
【解答】
解：因为y=(x−2)2+1为抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(2, 1)．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】圆心角、弧、弦的关系
圆周角定理
翻折变换（折叠问题）
【解析】
连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到ADC
̂所对的圆周角，然后根据∠ACD等于ADC
̂所对的圆周角减去CD̂所对的圆周角可得出∠DAC的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】
解：如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠BAC=20∘，
∴∠B=90∘−∠BAC=90∘−20∘=70∘．
根据翻折的性质，AC
̂所对的圆周角为∠B，ABC
̂所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180∘，
∴∠B=∠CDB=70∘，
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．
【解答】
解：x2+4x−5=0可转化为x2+4x=5，方程两边同时加4，配方得x2+4x+22=5+22，
即(x+2)2=9.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
旋转的性质
平行四边形的性质
【解析】
过A′作A′F⊥DA于点F，由旋转的性质可得求得A′B，在Rt△ABE中可求得BE，则可求得A′E，则可求得DF 和A′F，在Rt△A′FD中由勾股定理可求得A′D．
【解答】
解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=4，∠ABC=∠ADC=60∘，
∴BE=1
2
AB=2，
AE=A′F=√3
2
AB=2√3，
∵取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴A′B在线段BC上，且A′B=AB=4，
∴A′E=A′B−BE=4−2=2，
∴AF=A′E=2，
∴DF=DA−AF=5−2=3，
在Rt△A′FD中，由勾股定理可得A′D=√A′F2+DF2=√(2√3)2+32=√21，7.
【答案】
B
【考点】
切线的性质
正方形的性质
【解析】
求出正方形ANOM，求出AM长和AD长，根据DE＝DM求出即可．
【解答】
连接OM、ON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝11，∠A＝90∘，
∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，
∴∠OMA＝∠ONA＝90∘＝∠A，
∵OM＝ON，
∴四边形ANOM是正方形，
∴AM＝OM＝5，
∵AD和DE与圆O相切，圆O的半径为5，
∴AM＝5，DM＝DE，
∴DE＝11−5＝6，
8. 【答案】
D
【考点】
随机事件
【解析】
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】
解：A、B、C选项可能发生，也可能不发生，是随机事件．故不符合题意；
D、是必然事件．
故选D．
9.
【答案】
A
【考点】
几何概率
【解析】
根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】
观察这个图可知：阴影部分占四个小正方形，占总数36个的1
9
，故其概率是1
9
．
10.
【答案】
D
【考点】
二次函数的图象
一次函数的图象
二次函数图象与系数的关系
【解析】
根据题意，ab>0，即a、b同号，分a>0与a<0两种情况讨论，分析选项可得答案．
【解答】
解：根据题意，ab>0，即a、b同号，
当a>0时，b>0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a<0时，b<0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合.
故选D.
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上．）
【答案】
−1
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程即可求得m的值．
【解答】
解：∵ 关于x 的一元二次方程(m −1)x 2+x +m 2−1=0有一根为0， ∴ x =0满足关于x 的一元二次方程(m −1)x 2+x +m 2−1=0. ∴ m 2−1=0，即(m −1)(m +1)=0, 解得，m =1或m =−1.
∵ 二次项系数不能为零，即m −1≠0, ∴ m =−1.
故答案是：−1． 【答案】 −16
【考点】
二次函数的性质 【解析】
顶点在x 轴上，所以顶点的纵坐标是0． 【解答】 解：根据题意得
−4k−824×1
=0，
解得k =−16． 故答案为：−16． 【答案】 40
【考点】 切线的性质 【解析】
连接OC ，先根据圆周角定理得∠DOC =2∠A =40∘，再根据切线的性质定理得∠OCD =90∘，则此题易解． 【解答】
解：连接OC ， ∵ ∠A =25∘，
∴ ∠DOC =2∠A =50∘， 又∠OCD =90∘，
∴ ∠D =40∘
．
【答案】
cm ,ABC ,A ,AB ,C ,25√3
6
cm
【考点】 旋转的性质 解直角三角形
【解析】
阴影部分为直角三角形，且∠C′AB ＝30∘，AC′＝5，解此三角形求出短直角边后计算面积． 【解答】
∵ 等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15∘后得到△AB′C′， ∵ ∠CAC′＝15∘，
∴ ∠C′AB ＝∠CAB −∠CAC′＝45∘−15∘＝30∘，AC′＝AC ＝5， ∴ 阴影部分的面积=1
2×5×tan 30∘×5=
25√3
6
． 【答案】
29
【考点】 概率公式 【解析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【解答】
∵ 共4+3+2＝9个球，有2个红球，
∴ 从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为2
9，
【答案】 24
【考点】
规律型：数字的变化类 规律型：图形的变化类 规律型：点的坐标
【解析】
由图形可知：第1个图形有3+3×1＝6个圆圈，第2个图形有3+3×2＝9个圆圈，第3个图形有3+3×3＝12个圆圈，…由此得出第n 个图形有3+3n 个圆圈，进一步代入求得答案即可． 【解答】
∵ 第1个图形有3+3×1＝6个圆圈， 第2个图形有3+3×2＝9个圆圈， 第3个图形有3+3×3＝12个圆圈， …
∴ 第n 个图形有3+3n 个圆圈．
则第⑦个图形中小圆圈的个数为3+3×7＝24，
三、解答题：本大题共10个小题，满分102分，解答时应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明． 【答案】
解：原式可化为：(x −3)(x −3+4x)=0 ∴ x −3=0或5x −3=0 解得x 1=3，x 2=3
5．
【考点】
解一元二次方程-因式分解法 【解析】
方程的左边提取公因式x −3，即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解． 【解答】
解：原式可化为：(x −3)(x −3+4x)=0 ∴ x −3=0或5x −3=0
解得x1=3，x2=3
5
．
【答案】
解：（1）正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90∘，旋转后的图形如图所示．
（2）B1(2, −1)，C1(4, 0)，D1(3, 2)．
【考点】
作图-旋转变换
【解析】
（1）分别画出B、C、D三点绕点A顺时针方向旋转90∘后的对应点B1、C1、D1即可．（2）根据图象写出坐标即可．
【解答】
解：（1）正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90∘，旋转后的图形如图所示．
（2）B1(2, −1)，C1(4, 0)，D1(3, 2)．
【答案】
∵直线AC与⊙O相切，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90∘，即∠OAB+∠CAB=90∘，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC=90∘，
∴∠B+∠ODB=90∘，
而∠ODB=∠ADC，
∴∠ADC+∠B=90∘，∴OA=OB，
∴∠OAB=∠B，
∴∠ADC=∠CAB，
∴AC=CD．
【考点】
切线的性质
垂径定理
【解析】
AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证．
【解答】
∵直线AC与⊙O相切，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90∘，即∠OAB+∠CAB=90∘，
∵OC⊥OB，
∴∠BOC=90∘，
∴∠B+∠ODB=90∘，
而∠ODB=∠ADC，
∴∠ADC+∠B=90∘，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠B，
∴∠ADC=∠CAB，
∴AC=CD．
【答案】
解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：
表中共有16种等可能结果，小于45的两位数共有6种．
∴P
（甲获胜）=6
16
=3
8
，P
（乙获胜）
=10
16
=5
8
．
∵3
8≠5
8
，
∴这个游戏不公平．
【考点】
游戏公平性
【解析】
游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【解答】
解：这个游戏不公平，游戏所有可能出现的结果如下表：
表中共有16种等可能结果，小于45的两位数共有6种．
∴P
（甲获胜）=6
16
=3
8
，P
（乙获胜）
=10
16
=5
8
．
∵3
8≠5
8
，
∴这个游戏不公平．
【答案】
解：连接BE，则BE=DG．
理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90∘，
∴∠BAD−∠BAG=∠EAG−∠BAG，即∠DAG=∠BAE，
则{AB=AD
∠DAG=∠BAE
AE=AG
，
∴△BAE≅△DAG(SAS)，
∴BE=DG．
【考点】
正方形的性质
全等三角形的性质
【解析】
观察DG的位置，找包含DG的三角形，要使两条线段相等，只要找到与之全等的三角形，即可找到与之相等的线段．
【解答】
解：连接BE，则BE=DG．
理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90∘，∴∠BAD−∠BAG=∠EAG−∠BAG，即∠DAG=∠BAE，
则{
AB=AD
∠DAG=∠BAE
AE=AG
，
∴△BAE≅△DAG(SAS)，
∴BE=DG．
【答案】
证明：∵点P在函数y=6
x
上，
∴设P点坐标为(6
m
, m)．
∵点D在函数y=3
x
上，BP // x轴，
∴设点D坐标为(3
m
, m)，
由题意，得
BD=3
m
，BP=6
m
=2BD，
∴D是BP的中点．
S
四边形OAPB
=6
m
⋅m＝6，
设C点坐标为(x, 3
x
)，D点坐标为(3
y
, y)，
S△OBD=1
2
⋅y⋅3
y
=3
2
，
S△OAC=1
2
⋅x⋅3
x
=3
2
，
S
四边形OCPD
＝S
四边形PBOA
−S△OBD−S△OAC＝6−3
2
−3
2
=3．
【考点】
反比例函数与一次函数的综合
【解析】
（1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案．
【解答】
证明：∵点P在函数y=6
x
上，
∴设P点坐标为(6
m
, m)．
∵ 点D 在函数y =3
x 上，BP // x 轴，
∴ 设点D 坐标为(3
m , m)， 由题意，得 BD =3
m ，BP =
6m
=2BD ，
∴ D 是BP 的中点． S 四边形OAPB =
6m
⋅m ＝6，
设C 点坐标为(x, 3
x )，D 点坐标为(3
y , y)， S △OBD =1
2⋅y ⋅3
y =3
2， S △OAC =1
2
⋅x ⋅3
x
=3
2
，
S 四边形OCPD ＝S 四边形PBOA −S △OBD −S △OAC ＝6−32
−3
2
=3．
【答案】
解：(1)把A(1, 0)，B(0, −3)代入y =−x 2+bx +c ， 得：{
−1+b +c =0，
c =−3，
解得{b =4，c =−3.
故这个二次函数的解析式为y =−x 2+4x −3． (2)∵ 该抛物线对称轴为直线x =−42×(−1)
=2，
∴ 点C 的坐标为(2, 0)，
∴ AC =OC −OA =2−1=1，
∴ S △ABC =1
2×AC ×OB =1
2×1×3=32． 【考点】
二次函数综合题
待定系数法求二次函数解析式
【解析】
(1)二次函数图象经过A(1, 0)、B(0, −3)两点，两点代入y =−x 2+bx +c ，算出b 和c ，即可得解析式． (2)先求出对称轴方程，写出C 点的坐标，计算出AC ，然后由面积公式计算值． 【解答】
解：(1)把A(1, 0)，B(0, −3)代入y =−x 2+bx +c ， 得：{
−1+b +c =0，
c =−3，
解得{b =4，c =−3.
故这个二次函数的解析式为y =−x 2+4x −3． (2)∵ 该抛物线对称轴为直线x =−42×(−1)
=2，
∴ 点C 的坐标为(2, 0)，
∴ AC =OC −OA =2−1=1，
∴ S △ABC =1
2×AC ×OB =1
2×1×3=32．
【答案】
(1)证明：连接OD ，OE ，BD ，
∵ AB 为圆O 的直径，
∴ ∠ADB =∠BDC =90∘，
在Rt △BDC 中，E 为斜边BC 的中点， ∴ DE =BE ，
在△OBE 和△ODE 中， {OB =OD OE =OE BE =DE
， ∴ △OBE ≅△ODE(SSS)， ∴ ∠ODE =∠ABC =90∘， 则DE 为圆O 的切线.
(2)在Rt △ABC 中，∠BAC =30∘， ∴ BC =1
2AC ，
∵ BC =2DE =4， ∴ AC =8，
又∵ ∠C =60∘，DE =CE ，
∴ △DEC 为等边三角形，即DC =DE =2， 则AD =AC −DC =6． 【考点】
切线的判定与性质 等边三角形的判定
【解析】
（1）连接OD ，OE ，由AB 为圆的直径得到三角形BCD 为直角三角形，再由E 为斜边BC 的中点，得到DE =BE =DC ，再由OB =OD ，OE 为公共边，利用SSS 得到三角形OBE 与三角形ODE
全等，由全等三角形的对应
角相等得到DE与OD垂直，即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30∘，得到BC为AC的一半，根据BC=2DE求出BC的长，确定出AC 的长，再由∠C=60∘，DE=EC得到三角形EDC为等边三角形，可得出DC的长，由AC−CD即可求出AD的长．
【解答】
(1)证明：连接OD，OE，BD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90∘，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
{OB=OD OE=OE BE=DE
，
∴△OBE≅△ODE(SSS)，
∴∠ODE=∠ABC=90∘，
则DE为圆O的切线.
(2)在Rt△ABC中，∠BAC=30∘，
∴BC=1
2
AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60∘，DE=CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，则AD=AC−DC=6．
【答案】
解：根据题意，得
2(x+200
x ×400)+2×200
x
×300+200×80=47200，
整理，得
x2−39x+350=0．
解得x1=25，x2=14．
∵x=25>16，
∴x=25不合题意，舍去．
∵x=14<16，200
x =200
14
<16，
∴x=14符合题意．所以，池长为14米．【考点】
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
【解析】
本题的等量关系是池底的造价+外围墙的造价+中间隔墙的造价=47200元，由此可列方程求解．
【解答】
解：根据题意，得
2(x+200
x
×400)+2×200
x
×300+200×80=47200，
整理，得
x2−39x+350=0．
解得x1=25，x2=14．
∵x=25>16，
∴x=25不合题意，舍去．
∵x=14<16，200
x
=200
14
<16，
∴x=14符合题意．
所以，池长为14米．
【答案】
m=−2时S有最大值S=4．
（3）∵点Q是直线y=−x上的动点，
∴设点Q的坐标为(a, −a)，
∵点P在抛物线上，且PQ // y轴，
∴点P的坐标为(a, 1
2
a2+a−4)，
∴PQ=−a−(1
2
a2+a−4)=−1
2
a2−2a+4，
又∵OB=0−(−4)=4，
以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，
∴|PQ|=OB，
即|−1
2
a2−2a+4|=4，
①−1
2
a2−2a+4=4时，整理得，a2+4a=0，
解得a=0（舍去）或a=−4，
−a=4，
所以点Q坐标为(−4, 4)，
②−1
2
a2−2a+4=−4时，整理得，a2+4a−16=0，
解得a=−2±2√5，
所以点Q的坐标为(−2+2√5, 2−2√5)或(−2−2√5, 2+2√5)．
综上所述，Q坐标为(−4, 4)或(−2+2√5, 2−2√5)或(−2−2√5, 2+2√5)时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，然后把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据图形的割补法，可得二次函数，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；
（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解．
【解答】
解：（1）将A(−4, 0)，C(2, 0)两点代入函数解析式，得
{16a−4b−4=0
4a+2b−4=0
解得{a=1
2 b=1
所以此函数解析式为：y=1
2
x2+x−4；
（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，
∴M点的坐标为：(m, 1
2
m2+m−4)，
∴S=S△AOM+S△OBM−S△AOB
=1
×4×(
1
m2+m−4)+
1
×4×(−m)−
1
×4×4
=−m2−2m+8−2m−8
=−m2−4m
=−(m+2)2+4，
∵−4<m<0，
当m=−2时，S有最大值为：S=−4+8=4．答：m=−2时S有最大值S=4．
（3）∵点Q是直线y=−x上的动点，
∴设点Q的坐标为(a, −a)，
∵点P在抛物线上，且PQ // y轴，
∴点P的坐标为(a, 1
2
a2+a−4)，
∴PQ=−a−(1
2a2+a−4)=−1
2
a2−2a+4，
又∵OB=0−(−4)=4，
以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，∴|PQ|=OB，
即|−1
2
a2−2a+4|=4，
①−1
2
a2−2a+4=4时，整理得，a2+4a=0，解得a=0（舍去）或a=−4，
−a=4，
所以点Q坐标为(−4, 4)，
②−1
2
a2−2a+4=−4时，整理得，a2+4a−16=0，
解得a=−2±2√5，
所以点Q的坐标为(−2+2√5, 2−2√5)或(−2−2√5, 2+2√5)．
综上所述，Q坐标为(−4, 4)或(−2+2√5, 2−2√5)或(−2−2√5, 2+2√5)时，使点P，Q，B，O为顶点的四
边形是平行四边形．
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