第八讲 等比数列及其求和

两式相减得 Tn (n 1) 2n1 2 n N*
17.解：由题意得： a1q16 2 a1q23 ，∴ a1q9 1.
又∵数列
1

an

是以
1 a1
为首项，以
1 q
为公比的等比数列，要使不等式成立，
则需
a1(qn 1) q 1

1 a1
1
A．8
B．－8
C．±8
D．98
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
11．已知等比数列 an
的前
3
项依次为 a,
1a 2
1,1a 23
1, 3
则
an

。
12．在等比数列｛an｝中, 存在正整数 m, 有 am=3，am+5=24, 则 am+15=
。
13.若 a＋b＋c，b＋c－a，c＋a－b，a＋b－c 依次成等比数列，公比为 q，则 q3＋q2＋q＝
3
2
1)2 2

a(1 a 3

1 ), a 3

3, q

2 3
,
an

3


2 3
n
1
。
12.【答案】：1536。【解析】：由 am 3, am5 24,q5 8,am15 am q15 1536 。
13.【答案】： 1。【解析】：设 x＝a＋b＋c，则 b＋c－a＝xq，c＋a－b＝xq2，a＋b－c＝xq3，∴xq＋xq2＋xq3
A.三个月
B.一个月
C.10 天
6.数列1 1 ,2 1 ,3 1 ,4 1 ,前 n 项的和为（
）
2 4 8 16
D.20 小时
A． 1 n2 n
2n
2
B． 1 n2 n 1
2n
2
C． 1 n2 n
2n
2
）
D．
1 2 n 1

n2 n 2
7.若 a、b、c 成等比数列，则关于 x 的方程 ax2 bx c 0 （ ）
2 2 2 2n1
20 21 2n1
2n 1
16.解：①当 n=1 时， a1 = S1 2a1 4 a1 4
当 n 2 时， an Sn Sn1 2an 4 2an1 4 即 a n 2a n1
∴ an a n1
2∴an
2.【答案】：B。【解析】：既成等差也成等比数列，那么这个数列一定为通项不为 0 的常数列。
3.【答案】：A。【解析】： Sn

log2
2 n2

5, 2 n2

1 ,n 32

62 。
4.【答案】:C。【解析】：设 2003 年底更新的车辆为 x，总更新车辆数为 a，则 x 1,12 x 1,13 x 1,14 x a, x 0.164 。
an1

an2

2an , an1
1
(an
1)2 , lg(1 an1) lg(an 1)

2
，即
lg(1 an )
是等比数列
∴ lg(1 an ) 2n1 lg 2 lg 22n1 ,1 an 22n1 ，Tn (1 a1 )(1 a2 ) (1 an ) 220 221
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，a1n，{a2n}，{an·bn}，abnn仍是等比数列． (4)等比数列前 n 项和的性质 公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为__qn__．
新的车辆数比前一年递增 10%，则 2003 年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据 1．14=1．46
1．15=1．61）
（）
A．20%
B．18．8%
C．16．4%
D．10%
5.一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两
个人，如此继续下去，要传遍 100 万人口的城市，所需的时间大约为（
2
ac d c e
∴
ac c2

ce ce
,c2

ae
，即 a, c, e 成等比数列。
10.【答案】：
B．【解析】： a2
a1
d

1 9 4 1

8 3
,
b22
9,b2 (a2
a1 ) 8 。
二.填空题：
11．【答案】： 3 ( 2)n1 。【解析】：由 (1 a

2n1
b n 1

2n1

2bn
∴
b n 1 2n1

bn 2n
1
又 b1 21

1∴
bn 2n
1 (n 1) 1 n ∴ bn
n 2n
n N*
② Tn 1 2 2 22 n 2n
2Tn 1 22 (n 1) 2n n 2n1
9．若 a、b、c 成等差数列，b、c、d 成等比数列， 1 , 1 , 1 成等差数列，则 a、c、e 成（ ） cd e
A．等差数列 B．等比数列 C．既成等差数列又成等比数列 D．以上答案都不是
10.已知－9，a1，a2，－1 四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1 五个实数成等
比数列，则 b2(a2－a1)＝（）
D．以上都不对
3.已知数列{an}的通项公式 an＝log2nn++12(n∈N＋)，设其前 n 项和为 Sn，则使 Sn<－5 成立的正整数 n（ ）
A．有最小值 63
B．有最大值 63 C．有最小值 31
D．有最大值 31
4.北京市为成功举办 2008 年奥运会，决定从 2003 年到 2007 年 5 年间更新市内现有全部出租车，若每年更
A.必有两个不等实根 B.必有两个相等实根 C.必无实根
D.以上三种情况均有可能
8.设 f (n) 2 24 27 210 23n1(n N) ，则 f (n) 等于
()
A. 2 (8n 1) 7
B. 2 (8n1 1) 7
C. 2 (8n3 1) 7
D. 2 (8n4 1) 7
an
中，a1= 5 ，以 an-1，an 为系数的二次方程：an－1x2－anx+1=0 都有实 6
根 、 ，且满足 3 － +3 =1。
①求证：｛a
n
－
1 2
｝是等比数列；
②求an 的通项。
等比数列及其前 n 项和答案与解析
一、选择题：
1.【答案】：A。【解析】：由条件得 a log2 3,b log2 6,c log2 12,2b a c 。
n
2 22
2n
2
2n
7.【答案】：C。【解析】：∵ b2 ac, b2 4ac 0
8.【答案】： B.【解析】： f (n) 2(1 8n1) 2 (8n1 1) 。 18 7
9.【答案】：B。【解析】：由 2b a c,b a c ，由 c2 bd,d 2c2 ，由 2 1 1 ,
故 an (an an1) (an1 an2 ) (a2 a1) a1 3n1 3n2
3 1 3n 1 ， 2
∴
an

3n 1 . 2
19.解:①∵3（ + ）－ =1 ∴ 3an 1 1 an1 an1
3 a n =an-1+1
16.（本题 10 分）若数列 an 满足前 n 项之和 Sn 2an 4(n N * ),bn1 an 2bn
求：（1）bn；
(2) an 的前 n 项和 Tn。
且b1 2 ，
17.（本题 10 分）等比数列an 的公比 q 1，第 17 项的平方等于第 24 项，求使
an－
1 2
=
1 3
(an-1－
1 2
)∴｛a
n
－
1 2
｝是等比数列
②a
n
－
1 2
=
1 3
·(
1 3
)n-1=(
1 3
)n∴a
n
=(
1 3
)n+
1 2
a
5.【答案】:D。【解析】，每小时传递人数构成数列 2，4，8……所以 n 小时共传递人数 S
1 2n
2n 1 106 ，
n 1 2
∴ n 20 小时。
6.【答案】:B。【解析】： S 1 2 3 4 n 1 1 1 n(n 1) 1 1


1 q
1 1
n
，把 a12

q18 代入上式并整理，得： q18 (qn
1)

q(1
1 qn
)，
q
∴ qn q19 ，∵ q 1，∴ n 19 ，故所求正整数 n 的取值范围是 n 20 .
18.解：（Ⅰ）∵ a1 1, ∴ a2 3 1 4, a3 32 4 13 . （Ⅱ）证明：由已知 an an1 3n1 ，
a1 a2
an

1 a1
1 a2

1 成立的正整数 n 的取值范围. an
18.（本题 10 分）已知数列an 满足 a1 1, an 3n1 an1 n 2 .
（Ⅰ）求 a2 , a3 ；
（Ⅱ）证明： an

3n 1 . 2
19.（本题 10 分）（原创）已知数列
第十六讲 等比数列及其求和
姓名：
【知识要点】 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比 数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an＝a1·qn－1(n∈N*)． 3．等比中项 若 G2＝a·b(ab≠0)，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项． 4．等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，其前 n 项和为 Sn， 当 q＝1 时，Sn＝na1； 当 q≠1 时，Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqnq. 5．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak·al＝am·an．
一、选择题（每题 4 分，共 40 分）
1.已知实数 a、b、c 满足 2a 3， 2b 6， 2c 12 ，那么实数 a、b、c 是（ ）
A.等差非等比数列
B.等比非等差数列 C.既是等比又是等差数列 D.既非等差又非等比数）
A．公差不为 0 的等差数列 B．公比为 1 的等比数列 C．常数数列1, 1, 1,…
＝x(x≠0) ∴q3＋q2＋q＝1．
14.【答案】：891。【解析】：令 n＝6 得 26 x 27,64 x 128.由64 7m 1 128, m N有10 m 18.故
各元素之和为 S 9 71 98 7 891. 2
三.解答题：
15.解：由
14.已知集合 An {x | 2n x 2n1,且x 7m 1, m, n N} ，则 A6 中各元素的和为
． ．
二.解答题（共 6 题，共 60 分）
15. （本题 10 分）已知 a1 =2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； （2）设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求 Tn