数学人教A版必修4知识导航：2.5平面向量应用举例 含解析 精品

2.5 平面向量应用举例
知识梳理
一、向量在平面几何中的应用
平面几何中的共线、共点、平行、线段间的关系、直线的夹角等问题，都可以考虑重新用向量的知识来试着解决它们.
对于平面几何中的共线（平行）问题，往往可以转化为考虑与其相关的一对向量的平行问题.
对于平面几何中的直线共点问题，常常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点，然后再通过借助于向量的知识来说明其他直线也过这点.
对于平面几何中的线段间的关系问题，又往往可以考虑相关向量的模长问题等来帮助解决.
对于求直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与直线l 2:A 2x+B 2y+C 2=0的夹角，则只要求与这两条直线平行的两个向量的夹角，再取这两个向量的夹角或其补角，即与直线l 1、l 2分别平行的向量m =(-B 1,A 1)，n =(-B 2,A 2)，设向量m 、n 的夹角为θ，则cosθ=212121212
121||||B A B A B B A A n m n m +∙++=∙,当cosθ＜0时，直线l 1、l 2的夹角等于π-θ；当
cosθ≥0时，直线l 1、l 2的夹角等于θ.
二、向量在物理中的应用
力向量：力向量不同于自由向量，它不仅包括大小、方向两个要素，而且还有作用点.大小相同方向相同的两个自由向量互为相等向量，但大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的.但是力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.
速度向量：向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量都是这种量，除了上面所研究的力外，速度也是既有大小又有方向的量.一质点在运动中每一个时刻都有一个速度向量. 知识导学
要学好本节内容，可结合实例掌握处理几何问题的代数方法，结合不用向量方法如何证明“思考”,对不同解题方法进行比较,从中体会向量方法的优越性所在.用向量方法解答物理问题的模式策略：
(1)建模,把物理问题转化为数学问题；
(2)解模,解答得到的数学问题；
(3)回答,利用解得的数学答案解释物理现象.
疑难突破
1.如何用向量方法“三步曲”解决“证明平行四边形的对角线互相平分”这个平面几何问题. 剖析：第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.作平行四边形ABCD,M 是对角线AC 、BD 的交点.设AB =a ,AD =b . 第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系.
由向量加法法则AM +MB =a +AM +MD =b .故2AM +MB +MD =a +b .另外, AM +MC =a +b .两式相减得AM -MC +MB +MD =0. 因为-与共线, +与共线.由向量共线的等价条件,存在实数λ、μ,
使AM-MC=λAC,MB+MD=μBD.
∴λ+μ=0.而与不共线,∴λ=μ=0,
即-=+=0.∴=,=.
第三步,把运算结果“翻译”成几何关系.
∴M既是AC的中点,又是BD的中点,即AC和BD互相平分.
2.向量问题和物理问题有哪些相关知识？
剖析：（1）力、速度、加速度、位移都是向量；
（2）力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向量的合成；
（3）动量mv是数乘向量；
（4）功的定义即是力F与位移s的数量积.
3.用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题.其基本思路和方法为何？
剖析：(1)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；
(2)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；
(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；
(4)利用这个结果，对原物理现象作出解释.。