高考数学压轴专题专题备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编及答案解析

【最新】高考数学《计数原理与概率统计》专题解析
一、选择题
1．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
其中正确命题的个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－
P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1.
【点睛】
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
2．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（）
A．
3
14
B．
2
7
C．
9
28
D．
19
28
【答案】A 【解析】【分析】
列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有：
乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况.
满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.
故632814p =
=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3．下列等式不正确的是（ ）
A ．111
m m
n
n m C C n ++=+ B ．121
11m m m n n n A A n A +-+--=
C ．1
1m m n n A nA --= D ．1(1)k k k
n n n nC k C kC +=++
【答案】A 【解析】 【分析】
根据排列和组合公式求解即可. 【详解】
根据组合公式得1
1!1(1)!1!()!1(1)!()!1
m
m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==⨯=-++-+，则A 错误；
根据排列公式得
1221
11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!
m m
m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=
-=+-=⋅=----，则B 正
确；
根据排列公式得1
1!(1)!()!()!
m
m n n n n A n nA n m n m ---=
=⋅=--，则C 正确；
根据组合公式得()()1
!!
(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+⋅
=+-+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
[]!!
()!()!!(1)!
k k
n n n n nC kC n k k n k k n k -⋅
=--+-=
即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；
故选:A 【点睛】
本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.
4．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）
A．
1
10
B．
3
5
C．
3
10
D．
2
5
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102
. 255
=
故答案为D．
5．已知点P,Q为圆C:x2+y2=25上的任意两点,且|PQ|<6,若PQ中点组成的区域为M,在圆C 内任取一点,则该点落在区域M上的概率为()
A．3
5
B．
9
25
C．16
25
D．
2
5
【答案】B
【解析】
PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示,那么在C内部任取一点落在M内的概率为
25π-16π9
25π25
=,故选B.
6．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（）
A．1
4
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】
三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有23
3()27C =种不
同
结果，有且仅有两人选择的科目完全相同共有221
33218C C C ⋅⋅=种，故由古典概型的概率计
算公式可得所求概率为182273
=. 故选：D 【点睛】
不同考查古典概型的概率计算问题，涉及到组合的基本应用，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.
7．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC 的BC ，AB 和AC ．若10BC =，8AB =，6AC =，
ABC V 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅱ的概率为（ ）
A ．92524π
π+
B ．
16
2524
π+
C ．
252425π
π
+
D ．
48
4825π
+
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到结论.
【详解】
由题意，如图：Ⅰ所对应的面积为11
86242
S =⨯⨯=， Ⅱ所对应的面积29252482422
S πππ=++
-=， 整个图形所对应的面积9252482422
S ππ
π=++
=+，
所以，此点取自Ⅱ的概率为48
4825P π
=+.
故选：D. 【点睛】
本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题.
8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）
4
2
3
5
销售额
（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：4235492639543.5,4244
x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ，
∴ˆa
=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，
∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程
9．若1()n
x x
+的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．252 B ．70
C ．256x
D ．256x -
【答案】B 【解析】
由题意可得26
n n C C =，所以8n =，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即
44445881
()70T C x C x
===，故选B.
10．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．24 D ．48
【答案】A 【解析】 【分析】
分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有212421
2
2
6C C C A =种分组方法；
②将分好的3组对应3名任课教师，有3
36A =种情况；
根据分步乘法计数原理可得共有6636⨯=种不同的问卷调查方案． 故选A ． 【点睛】
解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题．
11．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ） A ．35种 B ．30种 C ．28种 D ．25种
【答案】B 【解析】 【分析】
首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况. 【详解】
从7名党员选3名去甲村共有3
7C 种情况，3名全是男性党员共有3
4C 种情况，
3名全是女性党员共有3
3C 种情况，
3名既有男性，又有女性共有333
74330C C C --=种情况.
故选：B 【点睛】
本题主要考查组合的应用，属于简单题.
12．
若实数2a =，则101922810
1010222a C a C a -+-+L 等于( )
A ．32
B ．－32
C ．1 024
D ．512
【答案】A 【解析】 由题意可得：
(
)
()
1019222
10
101010
10
22222232.
a C a C a a -+-+=-==L
本题选择A 选项.
13．在区间[2,2]-上任意取一个数x ，使不等式20x x -<成立的概率为（ ） A ．
1
6
B ．
12
C ．
13
D ．
14
【答案】D 【解析】 【分析】
先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果. 【详解】
由2
0x x -<得01x <<，所以所求概率为101
2(2)4
-=--，选D.
【点睛】
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
14．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示
的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设
22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）
A ．
413
B ．
213
13
C ．
926
D ．
313
26
【答案】A 【解析】 【分析】
根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可． 【详解】
在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得
222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒
所以13
DF AB =. 所以所求概率为2
4=13
13DEF ABC S S ∆∆=. 故选A. 【点睛】
本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．
15．某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是（ ）
A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B ．与2015年相比，2018二本达线人数增加了0.5倍
C ．2015年与2018年艺体达线人数相同
D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】
设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S . 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】
设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S .
对于选项A.2015年一本达线人数为0.28S .2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；
对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；
对于选项C ，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S .2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=.不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】
本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．
16．数学老师给校名布置了10道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为 A ．55 B ．90
C ．425
D ．512
【答案】D
【解析】
利用隔板法，10道题中间有9个空格，若1天做完，有0
9C 种；若2天做完，从9个空格中插入一个板，分成2天，则有19C 种；若3天做完，则有2
9C 种；以此类推，若9天做完，则有89C 种；若10天做完，则有9
9C 种；故总数为
012899999992512C C C C C +++⋅⋅⋅+==.
故选D.
17．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．96 B ．84 C ．120 D ．360
【答案】B 【解析】 【分析】
先求得所有不以0开头的排列数，再由以1，0相邻，且1在左边时所对应的排列数有一半是重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案. 【详解】
由题意，2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数为
444A 96=，其中以1，0相邻，且1在左边时，含有2个10的排列个数为44A 24=，有一
半是重复的，故产生的不同的6位数的个数为961284-=. 故选：B. 【点睛】
本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
18．我国在北宋1084年第一次印刷出版了《算经十书》，即贾宪的《黄帝九章算法细草》，刘益的《议古根源》，秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．这些书中涉及的很多方面都达到古代数学的高峰，其中一些“算法”如开立方和开四次方也是当时世界数学的高峰．某图书馆中正好有这十本书现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为（ ） A ．
5
18
B ．
12
C ．
59
D ．
79
【答案】D 【解析】 【分析】
现在小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数2
10C 45n ==，他取到的书的书
名中有“算”字包含的基本事件总数211
555C C C 35m =+=，由此能求出他取到的书的书名中
有“算”字的概率．
【详解】
解： 小明同学从这十本书中任借两本阅读，基本事件总数210C 45n ==，
他取到的书的书名中有“算”字包含的基本事件总数211555C C C 35m =+=，
那么他取到的书的书名中有“算”字的概率为357459
m p n =
==． 故选：D ．
【点睛】 本题考查排列组合与古典概型的综合应用，难度一般.注意此题中的书名中有“算”字包含两种情况：仅有一本书的书名中有“算”、两本书的书名中都有“算”，分类需要谨慎.
19．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）
A ．12种
B ．24种
C ．36种
D ．48种
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A =种，剩余的3门全排列，即可求解. 【详解】
由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4
节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A =种，
剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A =种，
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
20．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）．
A ．0.378
B ．0.3
C ．0.58
D ．0.958
【答案】D
【解析】
分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.
详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =，
恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=，
恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=，
∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．
点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.。