高三数学 极大值与极小值

B、 a 4, b 1 或 a 4,b 11
C、a 4, b 11 ， D、 以上都不对
解:由题设条件得：
f f
(1) 10 / (1) 0
1 a b a2 10
3 2a b 0
解之得
a3 b 3
或ab
4 11
注意代 入检验
通过验证，都合要求，故应选择A。
注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
f (1) a b c 5
.
－c32ab23或
f / (1) 3a 2b c 0 f / (2) 12a 4b c＝0
a 2,b 9, c 12
3a
注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
5.(2006年北京卷)已知函数 f (x) ax3 bx2 cx
在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y f '(x) 的图像
(如图)过点（1,0）,（2,0）, 求：
（1） x0 的值；（2）a,b,c的值；
略解：
(1)由图像可知：x0 1
(2) f / (x）＝3ax2 2bx c (a 0)
3.3.2 极大值与极小值(2)
复习回顾：
一、判断函数极值的方法
已知函数f(x)在点x0处是连续的，则
1、如果在x0附近的左侧f ’(x)>0，右侧f ’(x)<0， 则f (x0)是极大值； 2、如果在x0附近的左侧f ’(x)<0，右侧f ’(x)>0， 则f (x0)是极小值；
左正右负为极大，右正左负为极小
•极值点处的导数不一定是存在的； •导数为0的点不一定是极值点； •若极值点处的导数存在，则一定为0
二、求可导函数f(x)极值的 步骤：
(1) 确定函数的定义域；
(2)求导数f ’(x)；
(3)求方程f ’(x）=0的根；
(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格
检查f ’(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -），
1、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为 ( D) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
6x
练习2:求函数 y 1 x2 的极值.
当x变化时, f ( x) ,f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f’(x) +
0
--
0
+
f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.
练习：
那么f(x)在这个根处取得极大值；
•如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
例1:求函数
f
(
x)
x
a2 x
(a
0)
的极值.
解:函数的定义域为( ,0) (0, ),
f ( x)
1
a2 x2
( x a)( x a)
x2
.
令 f (x) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).
4（、2006年天津卷)函数 f (x) 的定义域为开区间(a,b)
导函数 f (x)在 (a, b) 内的图像如图所示，则函数f (x) 在开区间 (a,b) 内有（ A ）个极小值点。
A.1 B.2 C.3 D. 4
y
y f ?(x)
f(x) <0 f(x) >0
b
a
f(x) =0
O
x
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别
(1,+∞) ↘
例3 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1时取 得极大值7；当x=3时取得极小值， 求这个极小值及a、b、c的值。
3、函数 f (x) x3 ax2 bx a2 在 x 1时有极值10，则a，
b的值为（ ）C
A、 a 3, b 3 或 a 4, b 11
解:
y
6(1 x2 ) (1 x 2 )2
y的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1
y’ -
0
+
0
y ↘ 极小值-3 ↗ 极大值3
因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.