最 优 控 制 教 案2.3 欧拉方程
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最优控制
主讲：沈智鹏 副教授
2.3 欧拉方程
∫ 定理 2.3 已知泛函 J = tf L(x, x,t)dt ，式中 L(x, x,t) 及 x(t) 在[t0,tf] 上连续可微，t0 及 tf t0
固定，且有 x(t0)=x0, x(tf)=xf, x(t) ∈ Rn , 使泛函 J(x)取极值的必要条件是轨线 x*(t)满足下
λ1，λ2 为不等实根时 y = c1eλ1t + c2eλ2t
λ1，λ2 为相等实根时 y = (c1 + c2t)eλ1t
λ1，λ2 为共轭复根时 λ1,2 = α ± iβ
y = eαt (c1 cos βt + c2 sin βt)
∫ 例 2.9 求泛函 J (x) =
π 2
(
x 2
−
x2
欧拉方程列为
∂L ∂x1
Байду номын сангаас
−
d dt
∂L ∂x1
=
0
∂L ∂x2
−
d dt
∂L ∂x2
=
0
# ##
∂L ∂xn
−d dt
∂L ∂x n
=0
1
大连海事大学 自动化专业
最优控制
二阶微分方程的通解 设二阶微分方程 y + py + qy = 0
主讲：沈智鹏 副教授
特征方程为
λ 2 + pλ + q = 0
)dt
在边界条件
x(0)
=
1,
π x(
)
=
2
下的极值轨线
x*(t)
0
2
解：
L(x, x, t) = x2 − x2
∂L = −2x, ∂x
d dt
∂L ∂x
=
2x
由欧拉方程得： −2x − 2x = 0, x+ x = 0
求得通解：
x = c1 cos t + c2 sin t
带入边界条件得： c1=1, c2=2
∴ 所求极值轨线为 x*(t) = cos t + 2sin t
∫ 例 2.10 确定连接两点(1,1)和(2,2)，使得弧长 l = 2 1+ y 2 dx 最短的曲线 y=f(x) 1
解： L = 1+ y 2
∂L = 0; ∂y
∂L ∂y
=
1 2
(1 +
y
2
)
−
1 2
⋅
2 y
=
y 1+ y 2
列欧拉方程：
∂L ∂x
−
d dt
∂L ∂x
=
0
证明： 是两固定端点问题。
设 x*(t) 是满足极值的轨线，
x(t) 是 x*(t)邻域中的一条容许轨线，
x(t) 与 x*(t) 的关系可表示为
x(t) = x*(t) + δ x(t) x(t) = x*(t) + δ x(t)
x(t)
xf
δx
对于两固定端点，必有δ x(t0 ) = 0,δ x(t f ) = 0
后一项
∂L ∂x
δ
x
tf t0
=
∂L ∂x
tf
δ
x(t
f
)
−
∂L ∂x
t0 δ x(t0 ) = 0
由于δ x 是任意的,
由第一项得
∂L ∂x
−
d dt
∂L ∂x
=
0
——横截条件 即欧拉方程
若 x = [x1(t), x2 (t),", xn (t)]T ，
通解为 x1(t) = c1et + c2e−t + c3 cos t + c4 sin t
x2 (t) = c1et + c2e−t − c3 cos t − c4 sin t
带入边界条件得
⎧0 ⎨⎩ 0
= =
c1 c1
+ +
c2 c2
+ −
c3 c3
⎧
π
−π
， ⎩⎪⎨⎪−11==cc1e1e2π2++cc2e2e−2π2+−cc44
x(t) x*(t)
且有 x(t0 ) = x*(t0 ) = x0 x(t f ) = x*(t f ) = x f
求变分
δ
J
=
∂ ∂ε
J[x + εδ x] ε =0
x0 0 t0
t tf
∫=
tf t0
∂ ∂ε
L[x + εδ x, x + εδ x,t]
ε =0
dt
∫=
tf t0
( ∂L ∂x
c1= - c2; c3=0; c4 =1, 可取 c1= c2 =0
极值轨线为
x1(t) = sin t x2 (t) = − sin t
3
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下的极值轨线。
解：
L = 2x1x2 + x12 + x22
∂L ∂x1
=
2x2 ,
d dt
∂L ∂x1
=
2x1
∂L ∂x2
=
2 x1 ,
d dt
∂L ∂x 2
=
2x2
由欧拉方程得
x2 − x1 = 0 x1 − x2 = 0
消去 x2 得
x(4) 1
−
x1
=
0
，
解特征方程 λ 4 −1 = 0 得 λ1,2 = ±1, λ3,4 = ± j
2
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最优控制
主讲：沈智鹏 副教授
∫ 例
2.11
求泛函 J (x) =
π 2 0
(2 x1 x2
+
x12
+
x22
)dt
在满足边界条件
⎡ ⎢ ⎣
x1(0) ⎤
x2
(0)
⎥ ⎦
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
,
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
π x1( 2
π x2 ( 2
)
⎤ ⎥
⎥
)⎥⎥⎦
=
⎡1⎤ ⎢⎣−1⎥⎦
δ
x
+
∂L ∂x
δ
x)dt
利用分部积分法公式
∫ ∫ tf t0
∂L ∂x
δ
xdt
=
∂L ∂x
δ
x
tf t0
−
tf t0
(d ∂t
∂L ∂x
)δ
xdt
∫ ∴δ J =
tf t0
( ∂L ∂x
−
d ∂t
∂L ∂x
)δ
xdt
+
∂L ∂x
δ
x
tf t0
由定理 2.2 知，泛函取极值必要条件是δ J = 0 ,
带入欧拉方程
∂L − d ∂y dx
∂L ∂y
=0，
得
d dx
⎛ ⎜⎝⎜
y 1+
y 2
⎞ ⎟⎠⎟
=
0
y 1+ y 2
= c, y 2
= c2 1− c2
∴ y = ax + b
带入边界条件得： b=0, a=1
∫ ∴ 所求曲线为 y* = x 直线方程， 最短弧长 l = 2 2dx = 2 1
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2.3 欧拉方程
∫ 定理 2.3 已知泛函 J = tf L(x, x,t)dt ，式中 L(x, x,t) 及 x(t) 在[t0,tf] 上连续可微，t0 及 tf t0
固定，且有 x(t0)=x0, x(tf)=xf, x(t) ∈ Rn , 使泛函 J(x)取极值的必要条件是轨线 x*(t)满足下
λ1，λ2 为不等实根时 y = c1eλ1t + c2eλ2t
λ1，λ2 为相等实根时 y = (c1 + c2t)eλ1t
λ1，λ2 为共轭复根时 λ1,2 = α ± iβ
y = eαt (c1 cos βt + c2 sin βt)
∫ 例 2.9 求泛函 J (x) =
π 2
(
x 2
−
x2
欧拉方程列为
∂L ∂x1
Байду номын сангаас
−
d dt
∂L ∂x1
=
0
∂L ∂x2
−
d dt
∂L ∂x2
=
0
# ##
∂L ∂xn
−d dt
∂L ∂x n
=0
1
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二阶微分方程的通解 设二阶微分方程 y + py + qy = 0
主讲：沈智鹏 副教授
特征方程为
λ 2 + pλ + q = 0
)dt
在边界条件
x(0)
=
1,
π x(
)
=
2
下的极值轨线
x*(t)
0
2
解：
L(x, x, t) = x2 − x2
∂L = −2x, ∂x
d dt
∂L ∂x
=
2x
由欧拉方程得： −2x − 2x = 0, x+ x = 0
求得通解：
x = c1 cos t + c2 sin t
带入边界条件得： c1=1, c2=2
∴ 所求极值轨线为 x*(t) = cos t + 2sin t
∫ 例 2.10 确定连接两点(1,1)和(2,2)，使得弧长 l = 2 1+ y 2 dx 最短的曲线 y=f(x) 1
解： L = 1+ y 2
∂L = 0; ∂y
∂L ∂y
=
1 2
(1 +
y
2
)
−
1 2
⋅
2 y
=
y 1+ y 2
列欧拉方程：
∂L ∂x
−
d dt
∂L ∂x
=
0
证明： 是两固定端点问题。
设 x*(t) 是满足极值的轨线，
x(t) 是 x*(t)邻域中的一条容许轨线，
x(t) 与 x*(t) 的关系可表示为
x(t) = x*(t) + δ x(t) x(t) = x*(t) + δ x(t)
x(t)
xf
δx
对于两固定端点，必有δ x(t0 ) = 0,δ x(t f ) = 0
后一项
∂L ∂x
δ
x
tf t0
=
∂L ∂x
tf
δ
x(t
f
)
−
∂L ∂x
t0 δ x(t0 ) = 0
由于δ x 是任意的,
由第一项得
∂L ∂x
−
d dt
∂L ∂x
=
0
——横截条件 即欧拉方程
若 x = [x1(t), x2 (t),", xn (t)]T ，
通解为 x1(t) = c1et + c2e−t + c3 cos t + c4 sin t
x2 (t) = c1et + c2e−t − c3 cos t − c4 sin t
带入边界条件得
⎧0 ⎨⎩ 0
= =
c1 c1
+ +
c2 c2
+ −
c3 c3
⎧
π
−π
， ⎩⎪⎨⎪−11==cc1e1e2π2++cc2e2e−2π2+−cc44
x(t) x*(t)
且有 x(t0 ) = x*(t0 ) = x0 x(t f ) = x*(t f ) = x f
求变分
δ
J
=
∂ ∂ε
J[x + εδ x] ε =0
x0 0 t0
t tf
∫=
tf t0
∂ ∂ε
L[x + εδ x, x + εδ x,t]
ε =0
dt
∫=
tf t0
( ∂L ∂x
c1= - c2; c3=0; c4 =1, 可取 c1= c2 =0
极值轨线为
x1(t) = sin t x2 (t) = − sin t
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下的极值轨线。
解：
L = 2x1x2 + x12 + x22
∂L ∂x1
=
2x2 ,
d dt
∂L ∂x1
=
2x1
∂L ∂x2
=
2 x1 ,
d dt
∂L ∂x 2
=
2x2
由欧拉方程得
x2 − x1 = 0 x1 − x2 = 0
消去 x2 得
x(4) 1
−
x1
=
0
，
解特征方程 λ 4 −1 = 0 得 λ1,2 = ±1, λ3,4 = ± j
2
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主讲：沈智鹏 副教授
∫ 例
2.11
求泛函 J (x) =
π 2 0
(2 x1 x2
+
x12
+
x22
)dt
在满足边界条件
⎡ ⎢ ⎣
x1(0) ⎤
x2
(0)
⎥ ⎦
=
⎡0⎤ ⎢⎣0⎥⎦
,
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
π x1( 2
π x2 ( 2
)
⎤ ⎥
⎥
)⎥⎥⎦
=
⎡1⎤ ⎢⎣−1⎥⎦
δ
x
+
∂L ∂x
δ
x)dt
利用分部积分法公式
∫ ∫ tf t0
∂L ∂x
δ
xdt
=
∂L ∂x
δ
x
tf t0
−
tf t0
(d ∂t
∂L ∂x
)δ
xdt
∫ ∴δ J =
tf t0
( ∂L ∂x
−
d ∂t
∂L ∂x
)δ
xdt
+
∂L ∂x
δ
x
tf t0
由定理 2.2 知，泛函取极值必要条件是δ J = 0 ,
带入欧拉方程
∂L − d ∂y dx
∂L ∂y
=0，
得
d dx
⎛ ⎜⎝⎜
y 1+
y 2
⎞ ⎟⎠⎟
=
0
y 1+ y 2
= c, y 2
= c2 1− c2
∴ y = ax + b
带入边界条件得： b=0, a=1
∫ ∴ 所求曲线为 y* = x 直线方程， 最短弧长 l = 2 2dx = 2 1