复变函数的积分习题课

∫ 1 ⋅ 1 dz = 0,
C1 2 z + i
C
C2
•i
C1
∫ ∫ 1dz = 0, 1 ⋅ 1 dz = 0,
C2 z
C2 2 z + i
O
• −i
x
23
∫C
1 z(z2 +
dz 1)
=
∫C1
1dz z
−
∫C2
1 2(z −
dz i)
= 2πi − 1 ⋅ 2πi 2
= πi.
24
解法二 利用柯西积分公式
由柯西 古萨基本定理得
∫C
ez z(1 −
z)3
dz
=
0.
28
2)若封闭曲线C包含0而不包含1,则
f
(z)
=
(1
ez − z)3
在C内解析,由柯西积分公式得
y
∫ ∫ C
ez z(1 −
z)3
dz
=
ez
C
(1 − z)3dz z
=
2πi
⋅
(1
ez − z)3
z=0
O
•
1x
C
= 2πi.
29
3)若封闭曲线C包含1而不包含0,则
C
C−
(2) ∫C kf (z)dz = k ∫C f (z)dz; (k为常数)
(3) ∫C[ f (z) ± g(z)]dz = ∫C f (z)dz ± ∫C g(z)dz;
(4) 设C由C1,C2连结而成,则
∫ ∫ ∫ f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz;
C
C1
C2
(5) 设曲线 C 的长度为 L,函数 f (z) 在 C 上满足
=
2πi
+
2πi⎜⎜⎝⎛
−
ei 2
⎟⎟⎠⎞
=
πi(2
−
ei
)
= π[sin1 + i(2 − cos1)].
27
∫ 例5
计算
C
ez z(1 −
z)3
dz ,其中C是不经过 0与1的闭
光滑曲线.
解 分以下四种情况讨论：
1)若封闭曲线C既不包含0也不包含1,则
f
(z)
=
ez z(1 −
z)3
在C内解析,
则分别以0,1为圆心,以ρ > 0为半径作圆C1,C2 ,
使C1和C 2也在C内, 且C1与C 2互不相交 , 互不包含 ,
据复合闭路定理有
y
∫C
f (z) ≤ M , 那末 ∫C f (z)dz ≤ ∫C f (z)ds ≤ ML.
8
5. 柯西－古萨基本定理 (柯西积分定理)
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析, 那末函数 f (z) 沿 B内的任何一条封闭曲线 C
的积分为零 : ∫c f (z)dz = 0.
定理1 如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解
所接成的折线.
y
解
∫czdz
=
∫1
(t
0
−
it )d(t
+
it )
∫1
= (t − it )(1 + i)dt 0
(1,1)
C C2
∫1
= 2tdt = 1; 0
O C1 (1,0)
x
18
∫ ∫ ∫ 2) zdz = zdz + zdz
c
c1
c2
∫ ∫ 1
1
= tdt + (1− it)idt
0
0
∫ ∫ ∫ C
1 z(z2 +
1)
dz
=
C1
z(
z
1 2+
1)
dz
+
C2
z(
z
1 2+
1)
dz
22
解法一 利用柯西-古萨基本定理及重要公式 1 = 1−1⋅ 1 −1⋅ 1
z(z2 + 1) z 2 z − i 2 z + i
由柯西-古萨基本定理有
y
∫ 1 ⋅ 1 dz = 0,
C1 2 z − i
=1+⎜⎛1+i⎟⎞ = 1 + i. 2 ⎝2 ⎠
说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同.
19
例2 设C为圆周 z − 1 = 2证明下列不等式.
∫c
z z
+ 1dz −1
≤
8π.
证 因为 z − 1 = 2，
所以 z + 1 = z − 1 + 2 ≤ z − 1 + 2 = 2,
z−1
2
2
因此
f (z)的任何两个原函数相差 一个常数.
定理 如果函数 f ( z) 在单连通域 B 内处处解析 ,
G ( z) 为 f ( z) 的一个原函数 , 那末
∫ z1 z0
f
( z)dz
=
G( z1 )
−
G(z0 )
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点 .(牛顿-莱布尼兹公式)
11
7. 闭路变形原理
（2）用参数方程将积分化成定积分
设简单光滑曲线 C 的参数方程是
z = z(t) = x(t) + iy(t) (a ≤ t ≤ b)
则
∫C
f
( z )dz
=
∫b a
f
[ z(t )] ⋅
z′(t )dt .
7
4. 积分的性质
设 f (z), g(z)沿曲线C连续.
∫ ∫ (1) f (z)dz = − f (z)dz;
,
f2(z)
=
ez z(z +
i) 在C2内解析,
因此由柯西积分公式得
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∫ ∫ ∫ C
ez z(z2 +
dz 1)
=
C1
z(
e z2
z
+
1)
dz
+
ez
C2
z(z2
+
dz 1)
∫ ∫ = ez (z2 + 1)dz + ez [z(z + i)]dz
C1
z
C2 z − i
= 2πi ⋅ f1(0) + 2πif2(i)
C
C1
C2 C3
那末
D
12
n
∫ ∑ ∫ (1) f (z)dz =
f (z)dz,
C
k =1 Ck
(2) ∫ f (z)dz = 0. Γ
其中C 及 Ck 均取正方向; 这里 Γ 为由C , C1, C2 ,", Cn 组成的复合闭路 (其方向是 : C 按逆时针进行, C1, C2 ,", Cn按 顺时针进行 ).
在每个弧段 zk−1zk (k = 1,2,",n)
上任意取一点 ζ k ,
y
B
C zn−1
ζ1 A
ζ2
z1
z2
ζk zk zk −1
o
x
5
n
n
∑ ∑ 作和式 Sn = f (ζ k ) ⋅ (zk − zk−1 ) = f (ζ k ) ⋅Δzk ,
k =1
k =1
(
这里 Δzk = zk − zk−1, Δsk = zk−1zk的长度,
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8.柯西积分公式
如果函数 f (z) 在区域 D内处处解析, C 为 D
内的任何一条正向简单 闭曲线, 它的内部完全含
于 D, z0 为 C 内任一点, 那末
f
(z0 )
=
1 2πi
∫C
f (z) z − z0
dz.
如果 C 是圆周 z = z0 + R ⋅ eiθ ,则有
∫ f
( z0
)
=
1 2π
cos(z100 + =1 z2 + 2z
z +
+ 4
1)dz
=
0.
21
பைடு நூலகம்
例4 沿指定路径C : z − i = 3 计算以下积分 2
∫1
(1) C z(z2 + 1) dz;
∫ ez
(2) C z(z2 + 1) dz.
解
(1)
z(
1 z2 +
1)
在C内有两个奇点
z
=
0及z
=
i分别
以z = 0及z = i 为圆心,以1 4为半径作圆C1及C2 ,则 由复合闭路定理有
析, 那末积分 ∫C f (z)dz 与连结起点及终点的路
线 C 无关.
9
由定理得
∫ ∫ ∫ f (z)dz = f (z)dz = z1 f (z)dz
C1
C2
z0
B
C1
z0 ⋅ C2
⋅ z1
B
C1
z0 ⋅
⋅ z1
C2
定理2 如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解
析,
那末函数
F(z)
=
∫z z0
f1(z)
=
1 z2 +
1 在C1内解析 ,
f2(z)
=
1 z(z +
i
)
在C
内解析
2
,
∫ ∫ ∫ C
1 z(z2 +
1)
dz
=
C1
z(
z
1 2+
1)
dz
+
1 C2 z(z2 + 1) dz
=
∫1 C1
(z2 + z
1)dz
+
∫1 C2
[z(z + z−i
i )] dz
= 2πi ⋅ f1(0) + 2πif2(i) = 2πi + 2πi⎜⎛ − 1 ⎟⎞ = πi.
f (z) = ez 在C内解析, 由高阶导数公式得 z
∫ ∫ ∫ C
ez z(1 −
z)3
dz
=
C
ez (1 −
zz)3dz
=
C
− (z
e−z1)z3dz
= 2πi [− f ′′(1)]
2!
=
πi ( z 2
−
2z + − z3
2)e z
=
z=1
−eπi.
30
4)若封闭曲线C既包含1又包含0,
16
共轭调和函数
设 u( x, y) 为区域 D内给定的调和函数 , 我 们把使 u + iv 在 D内构成解析函数的调和 函数 v( x, y) 称为 u( x, y)的共轭调和函数 . 即 在 D内满足方程 ∂u = ∂v , ∂u = − ∂v 的两个调
∂x ∂y ∂y ∂x 和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数 .
一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线 在区域内作连续变形而改变它的值.
复合闭路定理
设 C 为多连通域 D内的一条简单闭曲线 ,
C1, C2 ,", Cn 是在 C 内部的简单闭曲线 ,它们
互不包含也互不相交, 并且以 C , C1, C2 ,", Cn
为边界的区域全含于 D, 如果 f (z) 在 D内解析,
任何一条正向简单闭曲 线, 而且它的内部全含于 D.
15
10.调和函数和共轭调和函数
如果二元实变函数 ϕ ( x, y) 在区域 D内具
有二阶连续偏导数 , 并且满足拉普拉斯方程
∂ 2ϕ
∂x 2
+
∂ 2ϕ
∂y2
=
0,
那末称 ϕ ( x, y) 为区域 D内的调和函数.
任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部 都是 D 内的调和函数.
∫c
z z
+ 1dz −1
≤
∫c
z z
+1 −1
dz
≤ 2 ⋅ 2π ⋅ 2 = 8π.
20
∫ 例3 计算
z
=1
cos(z100 + z2 + 2z
z +
+ 4
1)dz.
解 当 z ≤ 1时,
z2 + 2z + 4 ≥ 4 − 2z − z 2 ≥ 4 − 2 − 1 = 1,
故由柯西积分定理得
∫z
记 δ = m1≤ka≤xn{Δsk }, 当 n 无限增加且 δ → 0 时,
如果不论对 C 的分法及 ζ k 的取法如何, Sn 有唯
一极限, 那么称这极限值为
∫ ∑ 函数 f (z) 沿曲线 C 的积分,y
记为
C
n
f (z)dz = lim n→∞ k=1
f (ζ k ) ⋅Δzk .
ζ1 A
ζ2
z1 z2
B
C zn−1
ζk zk zk −1
o
x
6
3.积分存在的条件及计算
（1）化成线积分 设 f (z) = u( x, y) + iv( x, y) 沿逐段光滑的曲线 C
连续,则积分 ∫C f (z)dz 存在,且 ∫C f (z)dz = ∫Cu(x, y)dx −v(x, y)dy + i∫Cv(x, y)dx + u(x, y)dy.
2π 0
f (z0
+
R ⋅ eiθ )dθ .
一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的
平均值.
14
9. 高阶导数公式
解析函数 f (z)的导数仍为解析函数 , 它的 n 阶
导数为 :
∫ f
(n)(z0 )
=
n! 2πi
C
(z
f −
(z) z0 )n+1
dz
(n = 1,2,")
其中 C 为在函数 f (z)的解析区域 D内围绕 z0 的
如果A到B作为曲线C的正向, y
B
那么B到A就是曲线C的负向,
记为 C − .
A
o
x
4
2.积分的定义
设函数 w = f (z) 定义在区域 D内, C 为区域
D内起点为 A 终点为 B的一条光滑的有向曲线 ,
把曲线 C 任意分成 n 个弧段, 设分点为
A = z0 , z1, ", zk−1, zk ,", zn = B,
一、重点与难点
重点：1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式
难点：复合闭路定理与复积分的计算
2
二、内容提要
有向曲线
复积分
积分存在的 条件及计算
积分的性质
柯西积分定理
柯西积分 公式
复合闭路 定理
原函数 的定义
高阶导数公式
调和函数和 共轭调和函数
3
1.有向曲线
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑) 曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线.
定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共
轭调和函数.
17
三、典型例题
∫ 例1 计算
1）沿从 (0,0
)cz到dz(的1 ,1值) 的，线其中段C：为x =
t,
y
=
t
,0
≤