高中数学《空间中的垂直关系》学案1 新人教B版必修2

空间中的垂直关系
一. 学习内容：
空间中的垂直关系
二、学习目标
1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；
2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；
3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。

三、知识要点
1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：
①判定定理：
,
,
,P
b
a
b
a=
⋂
⊂
⊂α
αα
⊥
⇒
⊥
⊥l
b
l
a
l,.
② b⊥α, a∥b⇒a⊥α；（线面垂直性质定理）
③α∥β,a⊥β⇒a⊥α（面面平行性质定理）
④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a⊂β⇒a⊥α（面面垂直性质定理）
3、直线与平面垂直的性质定理：
①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

（ a⊥α，b⊥α⇒a∥b）
②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线
（
b
a
b
a⊥
⇒
⊂
⊥α
α,）
4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。

5、平面与平面垂直的定义及判定定理：
（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。

记作：平面α⊥平面β
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

（简称：线面垂直，面面垂直）
6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

（简称：面面垂直，线面垂直。

）
思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。

【典型例题】
例1、（1）对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（）
A、m⊥n，m∥α，n∥β
B、m⊥n，α∩β=m，n⊂α
C、m∥n，n⊥β，m⊂α
D、m∥n，n⊥β，m⊥α
（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：
①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；
③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；
④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。

其中错误的命题为（）
A、①与②
B、②与③
C、③与④
D、仅②
（3）已知平面α⊥平面β，m是α内一条直线，n是β内一条直线，且m⊥n，那么，甲：m⊥β；乙：n⊥α丙：m⊥β或n⊥α；丁：m⊥β且n⊥α。

这四个结论中，不正确的三个是（）
解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直。

对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面β不一定垂直，平面α、β也不一定垂直。

对D，m⊥α，m∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β。

只有C正确，m∥n，n⊥β则m⊥β又m⊂α，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β。

故选C。

（2）①正确，过a上任一点作b的平行线b′，则ab′确定唯一平面。

②错误，假设成立则b⊥该平面，而a⊂该平面，∴a⊥b，但a、b异面却不一定垂直。

③正确，分别过a、b上的任一点作b、a的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。

④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误
选D
（3）丙正确。

举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m（或n），在另一平面作交线的垂线n（或m）即可推翻甲、乙、丁三项。

思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。

例2、如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a，AD=2a，PA⊥平面ABCD。

PA=a。

（1）求证：PC⊥CD。

（2）求点B到直线PC的距离。

（1）证明：取AD的中点E，连AC、CE，
则ABCE为正方形，ΔCED为等腰直角三角形，
∴AC ⊥ CD ，
∵PA ⊥平面ABCD ，
∴AC 为PC 在平面ABCD 上的射影，
∴PC ⊥CD
（2）解：连BE ，交AC 于O ，则BE ⊥AC ，
又BE ⊥PA ，AC∩PA= A，
∴ BE ⊥平面PAC
过O 作OH ⊥PC 于H ，则BH ⊥PC ， ∵PA=a ，AC=2a,PC=3a ，
∴ OH=a a a a 66322
1=⋅⋅， ∵BO=22
a ，
∴BH=a OH BO 3622=+即为所求。

例3、在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC
（1）若D 是BC 的中点，求证 AD ⊥CC 1；
（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证 截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；
（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？
请你叙述判断理由。

命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。

知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。

错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。

技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的
思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。

（1）证明：∵AB =AC ，D 是BC 的中点，
∴AD ⊥BC
∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，
∴AD ⊥侧面BB 1C 1C
∴AD ⊥CC 1
（2）证明：延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N
∵AM =MA 1，
∴NA 1=A 1B 1
∵A 1B 1=A 1C 1，
∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1
∴C 1N ⊥C 1B 1
∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，
∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C
∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C
∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C
（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，
下面证必要性。

过M 作ME ⊥BC 1于E ，
∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C
∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ，
又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C
∴ME ∥AD ，
∴M 、E 、D 、A 共面
∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，
∴AM ∥DE
∵CC 1⊥AD ，
∴DE ∥CC 1
∵D 是BC 的中点，
∴E 是BC 1的中点
∴AM =DE =212
11=CC AA 1， ∴AM =MA 1
即1MA AM =是截面C C BB MBC 111平面⊥的充要条件
例4、如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC =30°，AB =a ,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H
（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由
（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，
平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明
（1）证明：∵AD//面EFGH,
面ACD∩面EFGH ＝HG ，AD ⊂面ACD
∴ AD//HG.
同理EF ∥HG ，
∴EFGH 是平行四边形
∵A —BCD 是正三棱锥，
∴A 在底面上的射影O 是△BCD 的中心，
∴DO ⊥BC ，
∴AD ⊥BC ，
∴HG ⊥EH ，四边形EFGH 是矩形
（2）作CP ⊥AD 于P 点，连结BP ，
∵AD ⊥BC ，
∴AD ⊥面BCP
∵HG ∥AD ，
∴HG ⊥面BCP ，HG ⊂面EFGH 面BCP ⊥面EFGH ，
在Rt △APC 中，∠CAP =30°，AC=AB=a ,
∴AP =23
a
例5、如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面ΔABC 是直角三角形，∠ABC =90°，2AB=BC=BB 1=a ，且A 1C∩AC 1=D ，BC 1∩B 1C=E ，截面ABC 1与截面A 1B 1C 交于DE 。

求证：
（1）A1B1⊥平面BB1C1C；
（2）A1C⊥BC1；
（3）DE⊥平面BB1C1C。

证明：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴侧面与底面垂直，
即平面A1B1C1⊥平面BB1C1C，
又∵AB⊥BC，
∴A1B1⊥B1C1
从而A1B1⊥平面BB1C1C。

（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，
∴BC1⊥B1C，
而A1B1⊥平面BB1C1C，
∴ A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，
由三垂线定理得A1C⊥BC1
（3）∵直三棱柱的侧面均为矩形，
而D、E分别为所在侧面对角线的交点，
∴D为A1C的中点，E为B1C的中点，
∴DE∥A1B1，
而由（1）知A1B1⊥平面BB1C1C，
∴DE⊥平面BB1C1C。

思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂直。

本讲涉及的主要数学思想方法
1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的
定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。

2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化。

3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤。

4、在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加。

在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直。

解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用。