矩阵的初等变换
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0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 I 4,1( 6) 0 6 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0.5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
I (1,3)可逆
I (1,3)1 I (1,3)
0 1 0 I (1, 2) 1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 1 0 0 I (1, 2) 1 0 0 1 0 0 0 1 0 I 0 0 1 0 0 1 0 I (1,2)
*
I (i ,
1 0 ... ... ... 1 1 j )2 1 1 ... ... ... 0 1 ( i列) ( j列)
0 1 2 3 3 0
4 3 2 5 1 6 5
1 3 0
0
4 2 5 2 3 5 1 6
4 1 0 6 0 2 23 14 0 3 5 1 ( 1)
1 0 0 0 0 2 23 14 0 3 5 1
1 0 0 0 3 0 1 28 15 0 3 5 1
1 0 0 0 0 1 28 15 0 0 79 44
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 79 44
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
1 0 I 2,5( 3) 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 I 3, 2(0.5) 0 0 0
1 0 0 I3 0 1 0 0 0 1
定理 任意一个矩阵
A aij
mn
经过若干次初等变换,
可以化为下面形式的矩阵
1 0 ... 0 0 1 ... 0 D 0 0 ... 1 0 0 ... 0 0 0 ... 0
r列
... 0 ... 0 r行 ... 0 ... 0 ... 0
( i行 )
( j行 )
1 0 I ( ji (k )) I 0 0
... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ... k ... 1 ... 0 0 ... 0 ... 0 ... 1 j列 i列
定义1.10 对单位矩阵 I 施行一次初等变换后, 得到的矩阵 称为初等矩阵. 1 初等矩阵有三种: (1) 交换I 的两行(列) I (i , 所的到的矩阵:
0 ... 0 ... ... ... 1 ... ... 1 j )I 1 1 ... .. 0 ... 0 ... ... .... 0 1
0 0 1 0 0 1 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0 =I I (1, 3) 1 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 1 I (1, 3) 0 1 0 1 0 0
0 1
( i列)
( j列)
... 0 ( i行 ) ... 0 ( j行 ) 1
(2)以一个非零的数k乘以I的某一行(列)得到的矩阵
1 0 I i ( kI ) 0 0 0 ... 0 ... 0 1 ... 0 ... 0 0 ... k ... 0 i行 1 0 ... 0 ... 1
1
0 0 0 1 0 0 0 7 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 7 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 I 3(7 ) I 3( 1 ) 7 0 0
( i行 )
( j行 )
例如
1 0 I5 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 I (3,5) 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0
1 0 ... ... ... 1 1 1 ... ... ...
1 0
( i列)
( j列)
( i行 ) ( j行 ) 1
1 1 I (i , j )可逆 1
2 0 I 1( 2) 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 I 5( 4) 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
1 0 I5 0 0 0
1 0 ... 0 0 1 ... 0 D 0 0 ... 1 0 0 ... 0 0 0 ... 0
... 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 0
r行
逆矩阵： n阶矩阵A为可逆矩阵, B为A的逆矩阵
AB BA I AB I BA I
矩阵A可逆
A 0
A非奇异, 此时
A11 A21 ... An1 A12 A22 ... An 2 A1n
1 * 1 1 A A A A A0 矩阵A不可逆
1 0 I5 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 I 3(7 ) 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 4
1 I i(k ) I i( k ) I
I i (k )可逆
1 I i ( k ) I i ( k )
1
1 0 0 I3 0 1 0 0 0 1
*
0 0 1 0 0
1 3 1 3 0 I 1, 2( 3) 0 1 0 I 1, 2(3) 0 1 0 0 0 0 1 1 3 0 1 3 0 1 I 1, 2( 3) I 1, 2(3) 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 I 1, 2( 3) 可逆 I 1, 2( 3) I 1, 2( 3)
1 0 I (2,4) 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 I (1, 2) 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
A2 n ... Ann A奇异
§1.6 矩阵的初等变换 定义 对矩阵施以下列3种变换, 初等变换: (1) 交换矩阵的两行 ( 列 ) (2) 称为矩阵的
以一个非零的数 k 乘 矩阵的某一行 (列)
(3) 把矩阵的某一行(列） k 倍 加到另一行(列） 的 上. 例
例 2 3 5 2 A 0 1 6 4 3 0 5 1
a11 a12 a21 a22 A a m 1 am 2
a1n ... a2 n ... amn ...
a12 ... a1n 1 a a22 ... a2 n 21 r列 am 1 am 2 ... amn 1 a12 ... a1n 1 0 ... 0 1 0 ... 0 0 a 0 1 ... a ... a2 n 0 a 22 2n ... a2 n 22 0 am 2 ... amn 0 am 2 ... amn 0 am 2 ... amn
I ( i , j )1 I (i , j )
1 0 I4 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 I 3(7 ) 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 7 0 0 0 0 1 0
i列
k 0
(3)把I的某一行( 列 )的k 倍 加到另一行( 列 )上 得到的矩阵
1 0 I ( ij( k )) I 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 ... k ... 0 0 ... 0 ... 1 ... 0 ... 0 ... 0 ... 1 j列 i列
I 3(7 ) 可逆，
1 I 3(7) I 3( 7 )
1 1 1 1 I i ( 1 ) i行 1 I i(k ) k k k 1 1 i列 1 1 i列