北师大版八年级数学上册 第一章 三角形的证明 单元检测试题(有答案)

第一章三角形的证明单元检测试题
（满分120分；时间：120分钟）
一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）
1. 已知等腰中，腰，底边，则这个三角形的周长为( )
A. B. C. D.
2. 等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为（）
A. B. C. D.
3. 在等腰三角形中，，一边上的中线将这个三角形的周长分为和两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）
A. B.或 C. D.或
4. 如图，在中，，分别以点，点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交点的连线交于点，交于点，连接，若，则等于( )
A. B. C. D.
5. 在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有
A.个
B.个
C.个
D.个
6. 下面给出的几种三角形：①三个内角都相等②有两个外角为③一边上的高也是这边所对的角的平分线④三条边上的高相等，其中是等边三角形的有（）
A.个
B.个
C.个
D.个
7. 已知中，，的垂直平分线交于点，和的周长分别是和，则的腰和底边长分别是
( )
A.和
B.和
C.和
D.和
8. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是( )
A. B. C. D.
9. 是等边三角形，，，为各边中点，则图中共有正三角形
A.个
B.个
C.个
D.个
10. 边长为的等边三角形，记为第个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第个正六边形的边长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）
11. 已知等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为________．
12. 如图，在中，，是斜边上的高，若，，则________．
13. 已知等腰三角形中，＝，＝，则＝________．
14. 已知直角三角形的两个锐角之比为，则这两个锐角的度数为________度，________度．
15. 如图，在等边的底边边上任取一点，过点作交于点，作交于点，，，则的周长为________．
16. 如图，，是的平分线上一点，，交于，于．若，则的长为
________．
17. 如图，三角形中，，垂足分别为、，、交于点，请你填加一个适当的条件
________，使．
18. 如图，中，，，，是斜边上的高，是中线，________．
19. 已知：如图，，于，于，且，，则________．
20. 如图，中，是的垂直平分线，＝，的周长为，则的周长为________．
三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）
21. 等腰的腰长，的垂直平分线交另一腰于，周长为，求底边的长是多少？
22. 如图，在中，，，于点，于点，且点是的中点，的周长是，求的长度.
23. 如图，在等边中，点，分别在边，上，且，过点作，交的延长线于点，
求的度数；
若，求的长．
24. 如图：中，＝，为边的中点，．
（1）求证：＝；
（2）若＝，＝，求的面积．
25. 如图，在中，，以长为一边作，，取中点，
连、、．
（1）求证：
（2）当________时，是等边三角形，并说明理由
（3）当时，若，取中点，求的长．
26. 如图，在中，点是边上的一个动点，过点作直线，设交
的角平分线于点，交的外角平分线于点．求证：；
当点运动到何处时，四边形是矩形？请说明理由；在的条件下，给再添加一个条件，使四边形是正方形，那么添加的条件是________．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）
1.
【答案】
A
【解答】
解：∵在等腰中，腰，底边，
∴等腰的周长．
故选.
2.
【答案】
A
【解答】
解：如图，
∵等边三角形，，分别是中线，
∴，分别是角平分线，
∴，
∴．
故选．
3.
【答案】
B
【解答】
解：根据题意，
①当是腰长与腰长一半时，即，解得，
所以底边长；
②当是腰长与腰长一半时，，解得，
所以底边长．
所以底边长等于或．
故选．
4.
【答案】
B
【解答】
解：∵，，
∴，
由作图法可知，是的垂直平分线，
∴,
∴，
∴.
故选B.
5.
【答案】
D
【解答】
解：①根据等边三角形的定义可得为等边三角形，结论①正确；
②根据判定定理可得为等边三角形，
结论②正确；
③一个三角形中有两个角都是时，
根据三角形内角和定理可得第三个角也是，
那么这个三角形的三个角都相等，
根据判定定理可得为等边三角形，
结论③正确；
④根据判定定理可得为等边三角形，
结论④正确．
故选．
6.
【答案】
B
【解答】
解：三个内角都相等的三角形是等边三角形；
有两个外角为，则两个内角都是，
∴这个三角形是等边三角形；
一边上的高也是这边所对的角的平分线的三角形是等腰三角形；
根据三角形的面积公式可知，三条边上的高相等的三角形是等边三角形，故选：．
7.
【答案】
D
【解答】
解：如图，连接，
∵在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
且，
∴，
∴，
∴，
即等腰三角形的腰为，底为，
故选.
8.
【答案】
C
【解答】
解：
如图：分情况讨论．
①为等腰底边时，符合条件的点有个；
②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个．故选．
9.
【答案】
D
【解答】
解：因为为等边三角形，
所以，
又因为，，为各边中点，
所以；
又因为，，分别为中位线，
所以，，，
即．
所以．
所以此图中所有的三角形均为等边三角形．
因此应选择个，
故选．
10.
【答案】
A
【解答】
解：连接，，，如图：
∵六边形是正六边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，分别为，中点，
∴，
∴.
∵六边形是正六边形，是等边三角形，
∴，
∴，
同理，
即，
∵等边三角形的边长是，
∴第一个正六边形的边长是，即等边三角形的边长的，
过作于，过作于，
则，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，（已证），
∴，
∴，
同理，
∴，即第二个等边三角形的边长是.
与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是；同理第三个等边三角形的边长是；
与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是；同理第四个等边三角形的边长是，第四个正六边形的边长是；
第五个等边三角形的边长是，第五个正六边形的边长是；
第六个等边三角形的边长是，第六个正六边形的边长是，
即第六个正六边形的边长是.
故选.
二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）
11.
【答案】
或
【解答】
解：当为顶角时，其他两角都为、，
当为底角时，其他两角为、，
所以等腰三角形的顶角为或．
故答案为：或.
12.
【答案】
【解答】
解：∵在中，是斜边上的高，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为．
13.
【答案】
【解答】
解：在等腰中，，根据等腰三角形中两底角相等可得：
所以
故答案为
14.
【答案】
,
【解答】
解：设这两个角为，
则
解得
∴这两个锐角的度数为，．
故答案为：、．
15.
【答案】
【解答】
解：∵是等边三角形，∴，，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，，同理，
∴，
∴.
故答案为：．
16.
【答案】
【解答】
解：∵是的平分线，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
17.
【答案】
或或（正确即可）
【解答】
解：∵，
∴，
∴当或或时，．
18.
【答案】
【解答】
解：∵中，，，
，是斜边上的高，是中线，∴，
∴是等边三角形，
∵是斜边上的高，
∴也是边上的中线，
∴．
故答案为：．
19.
【答案】
【解答】
解：在与中，
∴，
∴
∵
∴
故答案为
20.
【答案】
【解答】
∵是的垂直平分线，＝，
∴＝＝，＝，
∵的周长为，
∴＝，
∴＝＝＝，
∴的周长为＝＝，
三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）
21.
【答案】
解：
∵为线段垂直平分线上的一点，
∴，
∴，
又，的周长为，
∴，
∴，
即底边的长为．
【解答】
解：
∵为线段垂直平分线上的一点，
∴，
∴，
又，的周长为，
∴，
∴，
即底边的长为．
22.
【答案】
解：∵，，
∴.
∵，，点是的中点，∴，.
∵的周长是，
∴，
∴．
【解答】
解：∵，，
∴.
∵，，点是的中点，∴，.
∵的周长是，
∴，
∴．
23.
【答案】
解：∵是等边三角形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴是等边三角形．∴，
∵，，
∴．
【解答】
解：∵是等边三角形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴是等边三角形．∴，
∵，，
∴．
24.
【答案】
∵＝，为边的中点∴，
∴＝
∵
∴＝
∴
即＝
∵＝＝，＝
∴
∵为边的中点
∴＝＝
∴＝
【解答】
∵＝，为边的中点∴，
∴＝
∵
∴＝
∴
即＝
∵＝＝，＝
∴
∵为边的中点
∴＝＝
∴＝
25.
【答案】
；
，
（3）解：同（2）得：，，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴．
【解答】
（1）证明：∵，是的中点，
∴，，
∴；
（2）解：当时，是等边三角形，理由如下：
∵，
∴、、、四点共圆，是圆心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（3）解：同（2）得：，，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴．
26.
【答案】
（1）见解析；（2）当点运动到的中点时，四边形是矩形．理由见解析；（3）为直角的直角三角形时．
【解答】
解：（1）
：，
…
又：平分，
同理：
（2）当点运动到的中点时，四边形是矩形．
当点运动到的中点时，
又
…四边形是平行四边形，
由（1）可知，
∴
∴，即
…四边形是矩形．
（3）当点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．：由（2）知，当点运动到的中点时，四边形是矩形，
，
∴
…四边形是正方形．
故答案为：为直角的直角三角形时．。