2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题文

2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题 文
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1.
10y --=的倾斜角为
A ． 56π
B ．23π
C ．
3π D ． 4
π 2. 已知点A (2,－3)、B (－3,－2),直线l 过点P (1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值k 范围是 （ ） A 、k ≥
43或k ≤－4 B 、k ≥43或k ≤－41 C 、－4≤k ≤43 D 、4
3
≤k ≤4 3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a≤b”是“sin A ≤sin B ”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件
4. 设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂ B ．若//l α，//αβ，则l β⊂ C. 若l α⊥，//αβ，则l β⊥ D ．若//l α，αβ⊥，则l β⊥
5.在下列命题中，真命题是（ ）
A. “x=2时,x 2
－3x+2=0”的否命题； B.“若b=3,则b 2
=9”的逆命题;
C.若ac>bc,则a>b;
D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题
6. 已知实数x ,y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤-+≥+-020420
53y y x y x ，则y x Z 2+=的最小值为( )
A ．－13
B ．－15
C ．－1
D ．7
7.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若21PF PF ⊥，且0
1260=∠F PF ，则
C 的离心率为( )
A.221-
B. 2
错误！未找到引用源。

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8. 已知 △ABC 的顶点 B 、C 在椭圆
19
162
2=+y x 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在线段BC 上，则 △ABC 的周长是（ ）
(A) 8 (B) (C) 16 (D) 24
9.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题
0,:2
>∈∀x R x q ，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题
C.命题)(q p ⌝∧是真命题
D.命题)(q p ⌝∨是假命题
10..如图，在三棱锥D —ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )
A ． 30°
B ． 45°
C ． 60°
D ． 90° 11.若直线:2(0,0)l ax by a b -=>>平分圆22240x y x y +-+=，则1
1a b
+的最小值为（ ）
A ．．2 C. 1
(32
+
D ．3+
12. 已知直线m x y l +=:与曲线21x y -=有两个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．（－2，2）
B ．（－1，1）
C ．
D ．]22[，- 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 命题：“∀x R ∈, 0122≥++x x .”的否是 .
14. 中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线一条渐近线的方程是20x y +=，则该双曲线的离心率是_______;
15. 若圆Ｃ与圆
22
20x y x ++=关于直线x+y-1=0对称，则圆C 的方程是______.
16. 已知三棱锥A BCD -中，AB CD ==BC AD AC BD ===A BCD -的外接球的表面积为 ．
三、解答题（共10+12+12+12+12+12分）
17. 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2
＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．
(1)证明：不论m 取什么数，直线l 与圆C 恒交于两点； (2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时m 的值．
18.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点， 求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；
(2)平面EFA 1∥平面BCHG .
19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中 AD BC ∥，AB BC ⊥，1
22
PA AB BC AD ===
=，E 为PD 边上的中点.
(1) 证明：CE ∥平面PAB （2）证明：平面PAC ⊥平面PCD ； (3)求三棱锥P ACE -的体积.
20. 已知椭圆方程为12222=+b
y a x （a ＞b ＞0），离心率23
=e ，且短轴长为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P （2，1）作一弦，使弦被这点平分，求此弦所在直线的方程．
21.已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的离心率为，且过点(
，1)．
(1)求双曲线C 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋
与双曲线C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围．
22.已知定点(3,0)A -、(3,0)B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19
-，记动点M 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，若直线AP 与AQ 斜率之积为1
18
-，求证：直线l 过定点，并求定点坐标.
高二文数答案
一、选择题
1.C
2. A
3. A
4. C
5. D
6. B
7. D
8. C
9. C 10. B 11. C 12. C 二、填空题
13.
2
000,210x R x x ∃∈++< (写成 2,210x R x x ∃∈++<也给分) 14.25
15.
222440x y x y +--+= 16.77π 三、解答题
17. (1)证明 ∵直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R )． ∴l 过
的交点M (3,1)． 又∵M 到圆心C (1,2)的距离 d ＝
＝
＜5，∴点M (3,1)在圆内，
∴过点M (3,1)的直线l 与圆C 恒交于两点． (2)解 ∵过点M (3,1)的所有弦中，弦心距d ≤
，弦心距、半弦长和半径r 满足勾股定
理， ∴当d 2
＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20. ∴弦长AB 的最小值|AB |min ＝4. 此时，kCM ＝－，kl ＝－
.
∵l ⊥CM ，∴·
＝－1，解得m ＝－. ∴当m ＝－时，取到最短弦长为4
.
18.证明 (1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.
又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面． (2)∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴EF ∥BC .
∵EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .
∵A 1G ∥EB ，且A 1G ＝EB ， ∴四边形A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB . ∵A 1E ⊄平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG . ∴A 1E ∥平面BCHG . ∵A 1E ∩EF ＝E ， ∴平面EFA 1∥平面BCHG . 19.（Ⅰ）证明：如图5，取PA 的中点F ，连接BF EF ，，
因为E 为PD 边上的中点，所以EF AD ∥，且1
2
EF AD =，因为AD BC ∥ 1
2
BC AD =
， 所以EF BC ∥，且EF BC =，所以四边形BCEF 是平行四边形， 所以CE BF ∥，又CE PAB ⊄平面，BF PAB ⊂平面， 所以CE ∥平面PAB ．
（Ⅱ）证明：在直角梯形ABCD 中，1
22
AB BC AD ==
=，所以AC CD == 所以222AD AC CD =+，所以CD AC ⊥，①又PA ABCD ⊥平面，所以PA CD ⊥，② 又PA
AC A =，所以CD PAC ⊥平面，因为CD PCD ⊂平面，
所以平面PAC ⊥平面PCD ．
（Ⅲ）解：因为E 为PD 边上的中点，PA ABCD ⊥平面，所以
111223P ACE D ACE P ACD ACD V V V S PA ---===△，因为1
222242
ACD S ==△，2PA =，
所以4
3
P ACE V -=
． 20.（1）由已知得，解得，∴椭圆的方程为；
（2）由题意知，直线的斜率必存在，设斜率为k ， 则所求直线的方程为y-1=k （x-2），
代入椭圆方程并整理得（4k 2
+1）x 2
-8（2k 2
-k ）x+4（2k-1）2
-16=0， 设直线与椭圆的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则
，
∵P 是AB 的中点，∴，解得
． ∴所求直线方程为x+2y-4=0．
21.解 (1)由e ＝
，可得＝， 所以a 2
＝3b 2
， 故双曲线方程可化为
－＝1.
将点P (
，1)代入双曲线C 的方程， 解得b 2
＝1，所以双曲线C 的方程为－y 2
＝1.
(2)联立直线与双曲线方程，
⇒(1－3k 2)x 2－6
kx －9＝0. 由题意得，
解得－1<k <1且k ≠±.
所以k 的取值范围为(－1，－)∪(－，)∪(，1)．
22.（Ⅰ）设动点(,)M x y ，则
,33MA MB y y k k x x =
=+-()3x ≠±，
19MA MB
k k =-，即1
339y y x x ⋅=-
+-，化简得：2219x y += ，由已知3x ≠±，
故曲线C 的方程为2
219
x y +=()3x ≠±.
（Ⅱ）由已知直线l 斜率为0时，显然不满足条件。

当直线l 斜率不为0时，设l 的方程为x my n =+，则联立方程组
2299x my n x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得 222
(9)290m y mny n +++-=，
设1122(,),(,)P x y Q x y ，则1222
1222999mn y y m n y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，
直线AP 与AQ 斜率分别为
111133AP y y k x my n =
=+++ , 22
2233AQ y y k x my n ==+++，
()()()()()212122
221112129
333(3)93AP AQ
y y y y n k k my n my n m y y m n y y n n -===
++++++++++，
由已知得
()
22
91
18
93n n -=-
+，化简得2
230n n +-=，解得3n =- 或1n =，
当3n =-时，直线l 的方程为3x my =-过点A ，显然不符合条件，故舍去； 当1n =时，直线l 的方程为1x my =+.直线l 过定点()1,0.
综上，直线l 过定点，定点坐标为
()1,0.。