Hermitian矩阵在UWB脉冲波形设计中的应用

y (k + 1) = Ax(k )
来求出 y (k + 1) ，再将其归一化，得到
y (k + 1) x(k + 1) =
σ k +1
H ii H ji
H ij a c = H jj c b
σ k +1 = y (k + 1)y (k + 1)
H
在最后一步得到的 迭代过程持续， 直到 x(k ) 收敛。
1 引言
在实际工程应用中，经常能将离散值的各种计 算表示为矩阵形式，例如利用 Toeplitz 矩阵计算信 号的相关，利用正交投影进行最小二乘参数估计、 利用 Grassmann 流行进行码本设计等。 Hermitian 矩 阵是一种复共轭对称矩阵，其特征值和特征向量具 有一系列重要的性质，并且在工程中具有广泛的应 用。 超宽带（Ultra-Wideband, UWB）无线通信系统 具有高传输速率、抗多径干扰等特点，曾经受到学 术界和产业界的广泛关注和研究。但由于种种商业 原因，目前，UWB 相关研究逐渐步入低谷阶段。 尽管如此，UWB 相关问题的研究成果和方法，极 大地拓展了无线通信研究的深度和广度，具有很高 的参考价值。 脉冲波形设计是 UWB 研究中的一个重要问 题， 直接关系到 UWB 系统的性能。 UWB 脉冲波形 设计一般应遵循以下几个原则：1）设计脉冲波形， 使其功率谱密度满足美国联邦通信委员会（Federal Communications Commission, FCC）辐射屏蔽的限 制， 而且要使其功率谱密度尽可能地接近 FCC 辐射 模板上界，提高频谱利用率；2）设计正交的脉冲 波形集合，为每个用户分配相互正交的不同的波 形，有效降低多用户干扰。 本文在讨论 Hermitian 矩阵特征值和特征向量 性质的基础上，介绍了一种利用 Hermitian 矩阵进 行 UWB 波形设计的简单有效的方法。
x H A H = λ *x H
由 A 为 Hermitian 矩阵，有 A 式
H
= A ，代入上
x H A = λ *x H
等号两边同时右乘 x ，得
x H Ax = λ *x H x （2.1.1.2）
在（2.1.1.1）式等号两边同时左乘 x ，得
H
x H Ax = λ x H x （2.1.1.3）
0 ( λ1 − λ2 ) u1H u 2 =
《矩阵分析与应用》期中论文
0 ( A − λI ) x =
得到与每个已知 λ 对应的非零解 x 。 （2）利用 Gram-Schmidt 正交化方法将 x 正交化， 得到相互正交且具有单位范数的特征向量。 2.2.2 乘幂法和压缩映射结合的迭代解法 在信号处理中，常常需要计算一个 Hermitian 乘幂法是求这些特 矩阵 A 的最大或者最小特征值。 征值的一种方法。例如，若选择某初始向量 x(0) ， 就可以迭代地使用线性方程
U H AU = ∑ = diag ( λ1 , λ1 , , λn )
或者写为
A= U ∑ UH = ∑ λiuiuiH
i =1
n
对（2.1.3.1）式取共轭转置，得
H H u1 A H u 2 = λ1*u1 u2
这一形式称为 Hermitian 矩阵的谱分解。 2.2 Hermitian 矩阵特征值和特征向量的求解 2.2.1 一般解法 对于 n × n 维 Hermitian 矩阵 A ，通过方程
《矩阵分析与应用》期中论文
Hermitian 矩阵在 UWB 脉冲波形设计中的应用
摘 要： Hermitian 矩阵是一种复共轭对称矩阵， 在理论研究和工程实践中具有广泛的应用。 本文在介绍 Hermitian
矩阵的基本性质的基础上， 讨论了一种基于 Hermitian 矩阵特征向量的 UWB 波形设计方法， 利用该方法产生的 UWB 波形的功率谱密度分布符合 FCC 频谱规定，且波形具有较好的相关特性，有利于多址检测。 关键词： Hermitian 矩阵；特征向量性质；UWB 波形设计
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收敛条件是用户自己定义的停止准则，一般阈 值选为计算机精度， 特征向量 V 的初始值可选择为 单位矩阵。 大于 10600 -51.3
表 1 FCC UWB 室内辐射模板 频率（MHz） 0-960 EIRP（dBm） -41.3 -75.3 -53.3 -51.3 -41.3 -51.3
。应用这一思路和 为矩阵 A 的第 k 个最大特征值） Hermitian 矩阵谱分解公式，得到新的矩阵
(A
k
− σ xx H ) → A k −1
重复以上步骤， 即可依次求出矩阵 A 的所有特 征值。 2.2.3 对称正定特征值问题的数值计算 Jacobi 解法 在实际应用中，矩阵 H 为对称矩阵的同时，还 往往是正定的。 此时， 称特征值问题 Hu = λ u 为对 称正定特征值问题。 目前使用较广的对称正定特征值的精确数值 计算算法是双边 Jacobi 算法。其伪码表示如下： for all pairs i<j 计算 Jacobi 旋转，是下列 2 × 2 子矩阵对角化：
3 利用 Hermitian 矩阵特征向量进行 UWB 波形设计
由于 UWB 无线通信采用频带很宽的窄脉冲进 行信息传输，所以 UWB 系统的特性与采用的脉冲 波形有很大关系，脉冲波形设计是 UWB 系统的关 键技术之一。 FCC 对 UWB 信号的定义[2]如下：
960-1610 1610-1990 1990-3100 3100-10600 大于 10600
证明：由 Au = λ u 可得
即特征向量 u1 与 u 2 正交。 再证明与多重特征值对应的特征向量也相互 正交。 若 n × n 矩阵 A H = A 的特征值 λk 具有多重度
u = λ A −1u
即
A u=
故
−1
1
mk ，则
u
λ
rank ( A − λk I ) = n − mk 且 det ( A − λk I ) = 0
kesi = (b-a)/(2c)， t = sign(kesi)/(abs(kesi)+sqrt(1+kesi^2))， cs = 1/sqrt(1+t^2)， sn = cs*t 更新 2 × 2 子矩阵 H_ii = a-c*t， H_jj = b+c*t， H_ij = H_ji =0 更新第 i 行，第 j 列的其他元素 for k = 1:n, i!=j tmp = H_ik， H_ik = cs*tmp-sn*H_jk， H_jk = sn*tmp+cs*H_jk， H_ki = H_ik， H_kj = H_jk endfor 更新特征向量矩阵 V for k = 1:n tmp = V_ki， V_ki = cs*tmp-sn*V_kj， V_kj = sn*tmp+cs*V_kj endfor endfor 若收敛条件满足，则停止；否则重复以上运算。
2 Hermitian 矩阵特征值及特征向量的 性质
一个正方矩阵= A [aij ] ∈ C 矩阵，若 A = A H ，其中 = AH
n× n
称为 Hermitian
* T
A ) (=
[ a* ji ] 。换
言之，Hermitian 矩阵是一种复共轭对称矩阵。 2.1 Hermitian 矩阵的特征值和特征向量性质讨论 2.1.1 Hermitian 矩阵 A 的特征值均为实数。 证明：设 λ 为矩阵 A 的任一特征值，对应的特 征向量为 x ，表示为 Ax = λ x （2.1.1.1） 等号两边同时取共轭转置，得
由于 A H = A ， λ1 = λ1 ，得
*
u Au 2 = λ u u 2 （2.1.3.3）
H 1 H 1 1
det ( A − λ I ) = 0
求解其所有特征值，在利用以下步骤求出与这些特 征值对应的特征向量。 （1）利用高斯消去法求解方程
由（2.1.3.2） （2.1.3.3）两式可得
其中 f H 表示信号上限频率，f L 表示信号带宽， = f c ( f H + f L ) / 2 为信
号的中心频率。上限频率 f H 和下限频率 f L 定义在 功率谱密度衰减为-10dB 的辐射点上，并且只要一 个信号在-10dB 出的绝对带宽大于 0.5GHz 或者相 对带宽大于 20%，则这个信号就是超宽带信号，使 用频段为 3.1GHz~10.6GHz。 由于超宽带无线电信号与其他无线电信号同 时存在，因此可能对其他通信系统产生干扰，这个 干扰必须要限定在一定范围内，即在任一给定频率 上的空中接口都必须有一个最大允许功率，这个功 率的值由辐射模板来确定。对室内 UWB 系统和室 外 UWB 系统，FCC 规定的辐射模板如表 1 和表 2 所示。 频率（MHz） 0-960 960-1610 1610-1990 1990-3100 3100-10600 EIRP（dBm） -41.3 -75.3 -53.3 -51.3 -41.3
σ k 将是最大特征值， x(k ) 是对应的特征向量。即
便初始向量 x(0) 不与最大特征值对应的特征向量 正交，收敛也是有保证的。 为了得到最小特征值以及与之对应的特征向 量，可以使用类似的方法，迭代的线性方程为
Ay (k + 1) = x( k ) 。
乘幂法和压缩映射过程相结合，可以求出矩阵 A 的所有特征值及对应的特征向量。其方法如下： 假定用乘幂法求出了矩阵 A 的某个特征值 σ（第一 步对应为矩阵 A 的第一个最大特征值） ，用意压缩 映射过程除去此特征值，即将一个秩 k 矩阵 A k 变 换成秩 k − 1 矩阵 A k −1 。 A k −1 的最大特征值就是矩 阵 A k 的小于 σ 值的最大剩余特征值（第 k 步对应
比较（2.1.1.2） （2.1.1.3）式，可得
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λ = λ*
故 λ 为实数。 2.1.2 令 (λ , u) 是 Hermitian 矩阵 A 的特征。 若A可 故
又由 λ1 ≠ λ2
H u1 u2 = 0
1 逆，则 , u 是逆矩阵 A −1 的特征对。 λ
故存在与 λk 对应的 mk 个特征向量，它们是方程
1 , u 是逆矩阵 A −1 的特征对。 λ
2.1.3 Hermitian 矩阵的所有特征向量线性无关，并 且相互正交[1]。 即特征矩阵 U = [u1 , u 2 , , u n ] 是 酉矩阵，满足 U
−1
0 的线性无关解。这些线性无关的解 ( A − λk I ) u =
u 是正交的。
故特征矩阵 U 是酉矩阵，且 UU 步，可得到
H
= UH 。
= I 。进一
证明：先证明 Hermitian 矩阵与不同特征值对 应的特征向量相互正交。令
Au1 = λ1u1 ， Au 2 = λ2u 2 ， λ1 ≠ λ2
由这两个式子分别得到
H H u2 Au1 = λ1u 2 u1 （2.1.3.1） H H u1 Au 2 = λ2u1 u 2 （2.1.3.2）
= 相对带宽
2( f H − f L ) ( f H − f L ) = fH + fL fc
表 2 FCC UWB 室外辐射模板 对于 FCC 给定的波形辐射模板，在设计 UWB 脉冲波形时， 要求脉冲频谱范围满足 FCC 规定的频 段，辐射量满足限制要求，并尽可能得靠近模板， 得到最大的频谱利用率。 脉冲波形设计的方法大致可分为三类：一类从 时域波形出发，根据辐射模板的设计脉冲波形，主 要的方法有通过高斯函数族脉冲、Hermite 函数族 脉冲、瑞利函数族脉冲组合来实现，这类方法对辐 射模板的吻合程度较好，不过算法相对复杂，当频 谱规范发生变化时，需要重新设计各基脉冲的幅度 和延时；第二类是通过有限冲击响应滤波器来实现 脉冲波形符合规范，信号的精度需要高达 40GHz 的取样率，限制了这类方法在脉冲波形设计中的应 用；第三类是软频谱自适应方法，其主要思想史从 频域出发，根据辐射模板的要求反过来在时域上求 解脉冲波形，这种方法的优点是如果频谱辐射模板 改变，可以灵活地修正脉冲波形，软频谱自适应的 最早原型是通过椭球波函数（ Prolate Spheroidal Wave Function, PSWF）来得到合适的脉冲波形。本 文所介绍的基于 Hermitian 矩阵特征向量的 UWB 波 形设计[3][4]，就是第三类方法中的一种。 设脉冲波形信号为ψ (t ) ：