(新课程)高中数学 《第二章 推理与证明》质量评估 新人教A版选修2-2

章末质量评估(二)
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法中正确的是( )．
A ．合情推理就是正确的推理
B ．合情推理就是归纳推理
C ．归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D ．类比推理是从特殊到特殊的推理过程 答案 D
2．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1
(n ∈N *
)，则当n ＝2时，f (n )是( )．
A ．1＋1
2
B.15
C ．1＋12＋13＋14＋1
5
D ．非以上答案
解析 ∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋1
2n ＋1，分子是1，分母为1,2,3，…，2n ＋1，故当n ＝2
时，f (2)＝1＋12＋…＋12×2＋1＝1＋12＋13＋14＋1
5.
答案 C
3．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( )．
A ．正确
B ．推理形式不正确
C ．两个“自然数”概念不一致
D ．“两个整数”概念不一致
解析 三段论中的大前提，小前提及推理形式都是正确的． 答案 A
4．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3
b ”时，假设的内容应是( )．
A.3a ＝3
b
B.3a <3b
C.3a ＝3b ，且3a <3
b D.3a ＝3b 或3a <3b
答案 D
5．下面几种推理是合情推理的是( )．
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和
都是180°；
③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③④ C ．①②④
D ．②④
解析 ①是类比，②④是归纳推理． 答案 C
6．已知命题1＋2＋22
＋…＋2
n －1
＝2n
－1及其证明：
(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21
－1＝1，所以等式成立； (2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22
＋…＋2
k －1
＝2k
－1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2
＋22＋…＋2
k －1
＋2k
＝1－2k ＋1
1－2
＝2k ＋1
－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立． 判断以上评述( )． A ．命题、推理都正确 B ．命题正确、推理不正确 C ．命题不正确、推理正确
D ．命题、推理都不正确
解析 推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没用假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B. 答案 B
7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：
则第n 个图案中的白色地面砖有( )． A ．4n －2块 B ．4n ＋2块 C ．3n ＋3块
D ．3n －3块
解析 法一 第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n 个图案中有4n ＋2块．
法二 验n ＝1时，A 、D 选项不为6，排除．验n ＝2时，C 选项不为10，排除．故选B. 答案 B
8．用数学归纳法证明“5n
－2n
能被3整除”的第二步中，n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将
5
k ＋1
－2
k ＋1
变形为( )．
A ．(5k －2k )＋4×5k －2k
B ．5(5k －2k )＋3×2k
C ．(5－2)(5k
－2k
) D ．2(5k
－2k
)－3×5k
解析 5
k ＋1
－2
k ＋1
＝5k
·5－2k
·2＝5k
·5－2k
·5＋2k
·5－2k
·2＝5(5k
－2k
)＋3·2k
.
答案 B
9．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，
你认为比较恰当的是( )．
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等． A ．①④ B ．①② C ．①②③ D ．③
解析 类比推理原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一规则，①②符合． 答案 B 10．设P ＝
1log 211＋1log 311＋1log 411＋1
log 511
，则( )． A ．0<P <1 B ．1<P <2 C ．2<P <3
D ．3<P <4
解析 P ＝log 112＋log 113＋log 114＋log 115＝log 11120,1＝log 1111<log 11120<log 11121＝2，即1<P <2. 答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 11．观察下列式子：
1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<7
4，…，则可以猜想：当n ≥2时，有________． 解析 左边为n 项和：1＋122＋132＋…＋1n 2，右边为分式，易知n ≥2时为2n －1n .
答案 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1
n
12．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积S ＝1
2
r (a ＋b ＋c )，
根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，其四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝________.
解析 由类比推理，以球心为顶点，四个面分别为底，将四面体分割为4个棱锥，得证． 答案 1
3
R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)
13．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12
( AB →＋AC →
)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类
比的命题为___________________________．
答案 在三棱锥A ­BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13
·(AB →＋AC →＋AD →
)
14．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2、
S 3、S 4分别为__________，由此猜想S n ＝________.
解析 由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列， 得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，
∵S 1＝a 1＝1，∴2S n ＋1＝S n ＋2.
令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3⇒S 2＝3
2，
同理分别令n ＝2，n ＝3， 可求得S 3＝74，S 4＝15
8
.
由S 1＝1＝21
－120，S 2＝32＝22
－1
21，
S 3＝74＝23
－122，S 4＝158＝24
－1
23，
猜想S n ＝2n －12n －1.
答案 32，74，158 2n
－12
n －1
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤)
15．(10分)在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.
证明 假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角(不妨设C 为最大角)， ∵B >A ≥60°，C >A ≥60°，
∴A ＋B ＋C >180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A <60°. 16．(10分)设S n ＝11×2＋12×3＋1
3×4＋…＋
1
n
n ＋
，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳
并猜想出结果． 解 当n ＝1,2,3,4时， 计算得原式的值分别为：
S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45
.
观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.
归纳猜想：S n ＝
n
n ＋1
.
证明 ∵11×2＝1－12，12×3＝12－1
3，…，
1
n
n ＋
＝1n －1
n ＋1
. ∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1
n ＋1
＝1－
1n ＋1＝n
n ＋1
. 17．(10分)先解答(1)，再通过类比解答(2)．
(1)求证：tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝
1＋tan x 1－tan x ；
(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f x
1－f x ，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论．
(1)证明 tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan
π
41－tan x tan
π4
＝
1＋tan x
1－tan x
；
(2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数．证明如下： ∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f x
＋1－f x
＋
＝
1＋1＋f x 1－f x 1－1＋f x 1－f
x
＝－1f x ， ∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f
x ＋
＝f (x )，
∴f (x )是周期函数．
18．(12分)若a 1>0、a 1≠1，a n ＋1＝2a n
1＋a n
(n ＝1,2，…，)
(1)求证：a n ＋1≠a n ；
(2)令a 1＝1
2，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n ；
(3)证明：存在不等于零的常数p ，使⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
a n ＋p a n 是等比数列，并求出公比q 的值． (1)证明 (采用反证法)．假设a n ＋1＝a n ，即2a n
1＋a n
＝a n ，解得a n ＝0,1.
从而a n ＝a n －1＝……＝a 1＝0,1，与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， ∴假设错误． 故a n ＋1≠a n 成立．
(2)解 a 1＝12、a 2＝23、a 3＝45、a 4＝89、a 5＝1617，a n ＝2
n －1
2n －1＋1.
(3)证明 因为a n ＋1＋p
a n ＋1＝＋p a n ＋p 2a n ，又a n ＋1＋p a n ＋1＝a n ＋p
a n
·q ，所以(2＋p －2q )a n ＋p (1
－2q )＝0，
因为上式是关于变量a n 的恒等式， 故可解得q ＝1
2
、p ＝－1.
19．(12分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝
b n
1－4a 2
n
(n ∈N *
)且点P 1的坐标为(1，
－1)．
(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *
，点P n 都在(1)中的直线l 上． (1)解 由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1.
∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝1
3
.
∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13.
∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.
(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *
，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k b k ＋1＋b k ＋1 ＝
b k
1－4a 2
k (2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k
1－2a k
＝1. ∴n ＝k ＋1时，命题也成立．
由①②知，对n ∈N *
，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．。