N11章股票价格模型(证券投资理论与分析-吉林大学)

对于马尔可夫链，如果在时刻k的m步转 移，概率与k无关，即 pij(k，k+m) =P（Xk+m=j| Xk=i） =P（X1+m=j| X1=i） (3.25) 则马尔可夫链称为时齐的。 称 pij（m）= P（X1+m=j| X1=i），i，j=1， 2，…，n 为从状态i到状态j的m步转移概率。
因此，初始状态概率向量π(1)右乘转移概率矩 阵的m次幂，可以求出m次转移后，系统处在它的 每一个状态的概率π(m+1)， 可以证明，在各态历经的马尔可夫链情形
例 某城市有A，B，C三家企业生产同一种产品， 根据调查，各家企业的产品上月在该地区的占有率 分别为50%，30%，20%。本月C企业制定了一项把 A，B两企业的用户吸引到本企业的策略。上月分 别使用A，B，C三家产品的用户各100户的变化情 况如下表
第三节
一极值分布Βιβλιοθήκη 矩法二 最小二乘法
三 极大似然估计法
2
三 随机游动的检验
第二节
马尔柯夫分析
如果用X（k），k=1，2，…，表示决策系统在k时的状 态，它的取值为集合Θ={θ1，θ2，…，θn}，简记为Θ={1， 2，…，n}，则{X（k），k=1，2，…，}是随机变量序 列，也称为离散型随机过程。称{X（k），k=1， 2，…，}是一个马尔可夫链，如果对任意正整数m，k 和任意的i，j，i1，i2，…，ik-1∈Θ，有 P（Xk+m=j|X1=i1，X2=i2，…，Xk-1=ik-1，Xk=i） =P（Xk+m=j| Xk=i） （3.23） 这时， pij(k.，k.+m)=P（Xk+m=j| Xk=i） （3.24） 称为在时刻k的m步转移概率。
如果定义状态概率πi(m)，它表示当系统在m=1 时的状态为已知，在m次转移之后处在状态i的概率， 则
记π(m)=(π1(m),π2(m),…, πn(m))，那么 π(m+1)= π(m)P 由此递推得： π(2)= π(1)P π(3)=π(2)P=π(1)P2 一般地 π(m+1)=π(1)Pm
1≤l≤m
(3.29)
(3.30) （3.31）
对于时齐有限马尔夫链，如果m步转移概率pij（m） 对一切状态i，j存在不依赖于初始状态i的概率 pij（m）=πj 则称此马尔可夫链是各态历经的，
记
P(m)=
Pm=
（3.32）
对于各态历经的马尔可夫链，上述性质说明：随着 P的幂次的增大，P的每列元素趋于同一个值，也就 是经历一定时间的状态转移后，初始状态的影响逐 渐消失，系统最终达到完全与初始状态无关的一种 “平稳状态”，此时，称 为稳态概率，它满足
本月用户选择的企业 用户数目
A
业选上 择月 的用 企户
B
10 80 5
C
20 10 90
A B C
70 10 5
例 某食品店经销各种食品，其中有一种食品出售 一个可获利a=5元，若当天售不出去，则每损失b=3 元，该食品店连续统计了40天的需求情况（单位 个），数据如下： 2,2,3,1,1,3,1,2,3,3,3,2,1,3,1,2,2,3,1,1,3, 2,3, 2,1,2,3,1,2,1,1,2,3,1,3,3,2,1,2,2 食品店经理想应用马尔可夫链，来预测需求量以确 定明天进货数量。
将状态数为n的有限时齐马尔可夫链的所有m步转 移概率构成一个m×n阶矩阵 P（m）= (3.27)
这个矩阵亦称为随机矩阵，而 P（1）= P (3.28)
ΚΟΛ ΟΜΟΓΟPΟB-Chapmau方程
pij（m）= 写成矩阵形式 P(m)=P(l)P(m-l) 其中P（0）=I，I是单位矩阵，则 P(m)=P(1)P(m-1)= PP(m-1)= Pm
可以证明，如果存在S>0，使P（S）=PS 中每 个元素均为正数，则马尔可夫链是各态历经的，有 稳态概率π是方程组 π=πP （3.33） 在条件 π1+π2+…+πn=1，πi ≥0，i=1，…，n （3.34） 之下的唯一解。 稳态概率π j给出了在一个长时期内，过程处 于状态j的次数占整个转移次数的比率。因此我们 可用稳态概率提供的结构作为决策的依据。
2
例：考虑一种股票，价格初始值为40，预期收益率为年16%， 波动率为年20%，求其六个月后的股票价格的概率：
2 lnST ~N lnSt (u- )(T-t),( T-t ) 2
lnST ~N(ln40+(0.16-0.04/2) 0.5,0.04 0.5) =N(3.759,0.141 )
第十一章
第一节
股票价格模型
股票价格波动模型
第二节
马尔柯夫分析
第三节
极值分布
第一节
股票价格波动模型
一 随机游动模型 对于随机过程 {Yt ,t T} ，
Yt =Yt-1 + t , t T
其中 t 是白噪声过程，则称 Yt为随机游动 过程。
二 对数正态分布模型 设 S t 表示在t时刻的股票价格，在任意给定 ln 时刻T， ST 服从正态分布。