2021-2022学年冀教版九年级数学下册《第30章二次函数》期末综合复习训练1(附答案)

2021-2022学年冀教版九年级数学下册《第30章二次函数》期末综合复习训练1（附答案）1．已知关于x的二次函数y＝kx2﹣bx+1的图象如图所示，则关于x的一次函数y＝kx+b的图象不经过哪个象限（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（）
A．开口方向向上B．顶点坐标是（﹣2，1）
C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．当x＝0时，y有最大值﹣
3．抛物线y＝﹣（x+1）2+3有（）
A．当x＝1，y有最大值3B．当x＝1，y有最小值3
C．当x＝﹣1，y有最大值3D．当x＝﹣1，y有最小值3
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）
A．4ac＜b2B．abc＜0C．b+c＞3a D．a＜b
5．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）A．8B．14C．8或14D．﹣8或﹣14
6．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中，
①4ac＜b2；②a＞b＞c；
③一次函数y＝ax+c的图象不经过第四象限；
④m（am+b）+b＜a（m是任意实数）；
⑤3b+2c＞0；其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x 轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）
A．﹣＜m＜3B．﹣＜m＜2C．﹣2＜m＜3D．﹣6＜m＜﹣2 8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①2a+b＝0；②9a+c＞3b；③若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2：④若方程ax2+bx+c＝﹣3（a≠0）的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜3＜x2；⑤m（am+b）﹣b＜a．其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图所示三个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝a1x2；②y＝a2x2；③y＝a3x2；则a1、a2、a3的大小关系是．
10．抛物线y＝﹣5（x﹣8）2﹣9开口方向是；对称轴是；顶点坐标．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，其中，正确的个数．
12．抛物线y＝ax2+bx+1的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0），则b＝（用a的代数式表示），设t＝a+b+1，则t的取值范围为．
13．将抛物线y＝x2﹣6x+21先向左平移2个单位，再向上平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式为．
14．已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴l上的一个动点，则P A+PC的最小值是
15．如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y2＝mx+n（m≠0）交于点A，B，点A，B的横坐标分别是﹣2，，则不等式ax2+bx+c＜mx+n的解为．
16．若A（m﹣2，n），B（m+2，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2025上两点，则n＝．
17．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽（AB）为4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m．当水面下降2.5m时，求水面的宽度增加了多少？
18．已知二次函数y＝x2+bx+c+1的图象过点P（2，﹣1）
（1）求证：c＝﹣2b﹣6；
（2）求证：此二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（3）若二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），AB＝4，求b的值．19．如图，抛物线与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于C，M为此抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．
①直接写出点P所经过的路线长为；
②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接PE、PF、
EF，在旋转过程中，求EF的最小值；
（3）将抛物线C1平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点为N，与直线AC交于E、F两点，若EF＝AC，求直线MN的解析式．
20．某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？21．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）．
（1）试确定该抛物线的函数表达式；
（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C
①试判断△ABC的形状，并说明理由；
②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；
若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：根据图示可知k＞0，b＜0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限．
故选：B．
2．解：∵二次函数y＝﹣2x2+1，
∴该函数图象开口向下，故选项A错误；
顶点坐标为（0，1），故选项B错误；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C正确；
当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误；
故选：C．
3．解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+3，
∴当x＝﹣1时，该抛物线有最大值，此时y＝3，
故选：C．
4．解：A、由抛物线与x轴有两个交点可知b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故此选项正确
B、∵开口向下，且对称轴位于y轴左侧、抛物线与y轴的交点位于y轴的负半轴，
∴a＜0、b＜0，c＜0，
则abc＜0，故此选项正确；
C、∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，
∵对称轴x＝﹣＞﹣1，
∴b＞2a
∴a+b+c＞2b＞4a，b+c＞3a，故此选项正确；
D、∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a﹣b+c＞c，
∴a﹣b＞0，即a＞b，故此选项错误；
故选：D．
5．解：根据题意＝±3，
解得c＝8或14．
故选：C．
6．解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴b＞a＞c，所以②错误；
∵a＞0，c＜0，
∴一次函数y＝ax+c的图象经过一三四象限，不过第二象限，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，函数有最小值y＝a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即m（am+b）+b≥a，所以④错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
∴18a﹣6b+2c＝0，
∵b＝2a，则a＝b，
∴9b﹣6b+2c＝0，即3b+2c＝0，所以⑤错误．
故选：A．
7．解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线•y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；
当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6
＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，
所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．故选：D．
8．解：①由题意可知：对称轴x＝1，
∴＝1，
∴2a+b＝0，故①正确；
②当x＝﹣3时，y＜0，
∴y＝9a﹣3b+c＜0，故②错误；
③（，y3）关于直线x＝1的对称点为（，y3），
由图可知：x＜1时，y随着x的增大而减小，
由于﹣3＜＜，
∴y1＜y3＜y2，故③正确；
④设y＝ax2+bx+c，y＝﹣3，
由于图象可知：直线y＝﹣3与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3（a≠0）的两根为x1和x2，
∴x1＜﹣1＜3＜x2，故④正确；
⑤当x＝1时，y＝a+b+c，此时a+b+c为最大值，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
即m（am+b）﹣b≤a，故⑤错误；
故选：C．
9．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2，开口向下，则a3＜0，
故a1＞a2＞a3．
故答案为a1＞a2＞a3．
10．解：∵抛物线y＝﹣5（x﹣8）2﹣9中a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵当x﹣8＝0时，x＝8，
∴对称轴为直线x＝8，顶点坐标为（8，﹣9）．
故答案为：向下，直线x＝8，（8，﹣9）．
11．解：①由图可知：Δ＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
②由图可知：a＞0，c＜0，﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故②正确；
③由图可知：x＝﹣1，y＞0，
∴y＝a﹣b+c＞0，故③错误；
④由图可知：对于全体实数x，都有y≥﹣2，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0有两个不相等的实数根，即直线y＝m与抛物线有两个交点，
∴m＞﹣2即可，故④正确；
故答案为②④．
12．解：∵二次函数y＝ax2+bx+1的顶点在第一象限，
且经过点（﹣1，0），
∴易得：a﹣b+1＝0，a＜0，b＞0，
∴b＝a+1，a＝b﹣1，
由a＝b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b＝a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，∴由①+②得：﹣1＜a+b＜1，
在不等式两边同时加1得0＜a+b+1＜2，
∵a+b+1＝t代入得0＜t＜2，
∴0＜t＜2．
故答案为：a+1，0＜t＜2．
13．解：抛物线y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，它的顶点坐标是（6，3）．将其向左平移2个单位，再向上平移2个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（4，5），所以新抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2+5．
故答案为y＝（x﹣4）2+5．
14．解：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝3，
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），
函数的对称轴为：x＝1，
点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点P，则点P为所求，
则P A+PC的最小值＝BC＝3，
故答案为：3．
15．解：由图象可知ax2+bx+c＜mx+n的解即为直线在抛物线上方时，
∴﹣2＜x＜；
故答案为﹣2＜x＜；
16．解：∵A（m﹣2，n），B（m+2，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2025上两点，∴h＝＝m，
∴A（h﹣2，n），B（h+2，n），
当x＝h+2时，n＝﹣（h+2﹣h）2+2025＝2021，
故答案为2021．
17．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物
线顶点C坐标为（0，2）
设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），
得出：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
所以水面宽度增加了（2×3﹣4）＝2米．
18．（1）证明：将点P（2，﹣1）代y＝x2+bx+c+1，
得：﹣1＝22+2b+c+1，
整理得：c＝﹣2b﹣6；
（2）证明：令y＝0，则x2+bx+c+1＝0
∵△＝b2﹣4（c+1）＝b2﹣4（﹣2b﹣6+1）＝b2+8b+20＝（b+4）2+4＞0
∴此二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（3）解：∵AB＝|x2﹣x1|＝4，
即|x2﹣x1|2＝16，
亦即（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
由根与系数关系得：x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c+1＝﹣2b﹣6+1＝﹣2b﹣5，
代入（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
得：（﹣b）2﹣4（﹣2b﹣5）＝16，
整理得：b2+8b+20＝16，
解得：b1＝﹣4+2，b2＝﹣4﹣2．
19．解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；
（2）①在Rt△BOC中，
BC＝＝＝2．
∵点D是线段BC一点，P是线段AD的中点，
∴点P运动的路径是△ABC的中位线P1P2，如图1，
则P1P2＝BC＝．
故答案为：；
②如图2，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是线段AD的中点，
∴PE＝P A＝PD＝PF，
∴点A、E、D、F在以点P为圆心，AD为半径的圆上，∴∠EPF＝2∠EAF．
∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∴∠EPF＝90°，
∴EF＝＝PE＝AD．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当AD⊥BC时，AD最小，此时EF最小，
此时，S△ABC＝BC•AD＝×2•AD＝12，
解得：AD＝，
此时EF＝，
则EF的最小值为；
（3）如图3，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
则有
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+4．
由EF＝AC可得MN∥AC．
可设直线MN的解析式为y＝x+t．
∵点M是抛物线y＝﹣x2﹣x+4的顶点，
∴点M的坐标为（﹣1，），
把M（﹣1，）代入y＝x+t，得
﹣1+t＝，
解得t＝，
∴直线MN的解析式为y＝x+．
20．解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，
解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）
当x＝2时，30+x＝32（元）
答：每件文具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）根据题意得：
y＝﹣10x2+130x+2300
＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），
当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），
答：每件文具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
21．解：（1）将点M、N的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）①y＝x2﹣x﹣4，令y＝0，则x＝﹣2或8，x＝0，则y＝﹣4，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）、（0，﹣4），
则函数的对称轴为：x＝3，
则AB＝10，BC＝，AC＝，
则AB2＝BC2+AC2，故△ABC为直角三角形；
②作点M关于函数对称轴的对称点D（10，6），
连接CD交函数对称轴于点P，则点P为所求，
将点CD的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线CD的表达式为：y＝x﹣4，
当x＝3时，y＝﹣1，故点P（3，﹣1），
此时PM+PC的值最小为CD＝10．。