【精品初三期末试卷】2018-2019学年北京市东城区初三第一学期期末数学试卷+答案

东城区2018—2019学年度第一学期期末教学统一检测
初三数学
学校________________ 班级_____________ 姓名_____________ 考号_____________ 一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是
A．B．
C．D．
2．边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是
A．1 B．2 C D．
3．若要得到函数y＝（x＋1）2＋2的图象，只需将函数y＝x2的图象
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
4．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数
2
y
x
=的图象上，若x1＜x2＜0，则
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
5．A，B是⊙O上的两点，OA＝1，AB的长是1
3
π，则∠AOB的度数是
A．30°B．60°C．90°D．120°
6．△DEF和△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，若△DEF的面积是2，则△ABC的面积是
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知函数y＝－x2＋bx＋c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是
A．B．
C．D．
8．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的
下面有四个推断：
①当移植棵数是1500时，表格记录的成活棵数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.890；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；
③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；
④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．
其中合理的是
A．①③B．①④C．②③D．②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，
1
cos
3
A ，AB＝6，则AC的长是________．
10．若抛物线y＝x2＋2x＋c与x轴没有交点，写出一个满足条件的c的值：________．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A关于点O中心对称，则点B的坐标为________．
12．如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交⊙O 于点D ．若CD ＝1，AB ＝4，则⊙O 的半径是________．
13．某校九年级的4位同学借助三根木棍和皮尺测量校园内旗杆的高度．为了方便操作和观察，他们用三根木棍围成直角三角形并放在高1m 的桌子上，且使旗杆的顶端和直角三角形的斜边在同一直线上（如图）．经测量，木棍围成的直角三角形的两直角边AB ，OA 的长分别为0.7m ，0.3m ，观测点O 到旗杆的距离OE 为6m ，旗杆MN 的高度为________m ．
14．⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，若AC 平分∠BAD ，则正确结论的序号是________． ①AB ＝AD ；②BC ＝CD ；③AB AD =；④∠BCA ＝∠DCA ；⑤BC CD =．
15．已知函数y＝x2－2x－3，当－1≤x≤a时，函数的最小值是－4，实数a的取值范围是________．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（8，0），C（0，6），矩形OABC的对角线交
于点P，点M在经过点P的函数
k
y
x
=（x＞0）的图象上运动，k的值为________，OM长
的最小值为________．
三、解答题（本题共68分，第17—24题，每小题5分，第25题6分，第26—27题，每小题7分，第28题8分）
17．计算：2cos302sin453tan60|1
︒-︒+︒+．
18．已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，求△ABC的顶角和底角的度数．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．
20．在△ABC中，∠B＝135°，AB BC＝1
（1）求△ABC的面积；
（2）求AC的长．
21．北京2018年中考方案规定，考试科目为语文、数学、外语、历史、地理、思想品德、物理、生化（生物和化学）、体育九门课程，语文、数学、外语、体育四科为必考科目．历史、地理、思想品德、物理、生化五科为选考科目，考生可以从中选择三个科目参加考试，其中物理、生化须至少选择一门．
（1）写出所有选考方案（只写选考科目）；
（2）从（1）的结果中随机选择一种方案，求该方案同时包含物理和历史的概率．
22．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°．将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△A′BC′，其中点A′，C′分别是点A，C的对应点．
（1）作出△A′BC′（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AA′，求∠C′A′A的度数．
23．如图，以40m／s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t－5t2．
（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是当少？
（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？
24．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋4与反比例函数k
y x
=（k ≠0）的图象交于点A （－3，a ）和点B ．
（1）求反比例函数的表达式和点B 的坐标； （2）直接写出不等式
24k
x x
<+的解集．
25．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于点D ，E ．DF 是⊙O 的切线，交AC 于点F ． （1）求证：DF ⊥AC ；
（2）若AE ＝4，DF ＝3，求tan A ．
26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx ＋n （m ≠0）与x 轴交于点A ，B ，点A 的坐标为（－2，0）．
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）直线
1
4
2
y x m n
=--过点B，且与抛物线的另一个交点为C．
①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；
②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y＝x＋a和l2：y＝－x＋b组成图形G．当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．
27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC=，以点B
作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P′C⊥PC，使点P′落在直线BC的上方，且满足
:1:
P C PC
'=BP，AP′．
（1）求∠BAC的度数，并证明△AP′C∽△BPC；
（2）当点P在AB上时，
①在图2中画出△AP′C；
②连接BP′，求BP′的长；
（3）点P在运动过程中，BP′是否有最大值或最小值？若有，请直接写出BP′取得最大值或最小值时∠PBC的度数；若没有，请说明理由．
28．对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．
（1）当⊙O的半径为3时，在点P1（1，0），P2，1），P3（7
2
，0），P4（5，0）中，
⊙O的和睦点是________；
（2）若点P（4，3）为⊙O的和睦点，求⊙O的半径r的取值范围；
（3）点A在直线y＝－1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方
形ABCD，且C，D两点都在AB右侧，已知点E，若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标x A的取值范围．
答案
1—8 ACBCBDDC
9．2
10．2（答案不唯一）
11．（2，－1）
12．2.5
13．15
14．②⑤
15．A≥1
16．12，
17．2cos302sin453tan60|1
︒-︒+︒+
2231
22
=⨯-⨯+
1
=
1
=
18．①当A在优弧BC中间时，
∵△ABC内接于⊙O，∠BOC＝100°，
∴∠BAC＝50°，
∵△ABC 是等腰三角形， ∴1
(180)652
ABC ACB BAC ∠=∠=
︒-∠=︒ ∴△ABC 的顶角是50°，底角是65°．
②当A 在劣弧BC 中间时， ∵∠BAC ＝50°， ∴∠BA 1C ＝130° 又∵A 1B ＝A 1C ， ∴1111(180130)2522
A BC AC
B ∠=
∠=︒-︒=︒ ∴△ABC 的顶角为130°，底角为25°．
综上，△ABC 的顶角是50°，底角是65°或者顶角为130°，底角为25°． 19．（1）∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ∴AD ⊥AB ，∠B ＝∠A ＝90° ∴∠ADE ＋∠AED ＝90°， 又∵∠AED ＋∠BEC ＝90° ∴∠ADE ＝∠BEC ， ∴△ADE ∽△BEC ． （2）∵△ADE ∽△BEC
∴
AE AD
BC BE = ∴213BE
= ∴3
2
BE =
∴37222
AB AE EB =+=+
=． 20．（1）延长CB ，过点A 作AD 垂直CB 延长线于点D ，
∵∠ABC ＝135°， ∴∠ABD ＝45°，
在Rt △ABD 中，AB =ABD ＝45°，
∴sin 452AD AB =⨯︒== ∴11
12122
ABC S BC AD =
⨯=⨯⨯=△． （2）∵∠ABD ＝45°，∠D ＝90°
∴△ABD 为等腰直角三角形 ∵AD ＝2，
∴DB ＝2，DC ＝DB ＋BC ＝2＋1＝3
在Rt △ACD 中，AC =
（2）
3
22．（1）
（2）Rt △ABC 中，∵∠C ＝30°，∠A ＝90° ∴∠B ＝60°
∵△A ′BC ′由△ABC 旋转所得 ∴△A ′BC ′≌△ABC
∴BA ＝BA ′，∠BA ′C ′＝∠BAC ＝90° ∴△ABA ′为等腰三角形 又∵∠ABC ＝60°
∴△ABA ′为等边三角形 ∴∠BA ′A ＝60°
∴∠C ′A ′A ＝∠BA ′C ′＋∠BA ′A ＝90°＋60°＝150°．
23．（1）t ＝2s ，h ＝20m ；
（2）1≤t ≤3
解析：（1）由已知可得，h ＝－5（t －2）2＋20
∴当t ＝2时，h 有最大值20
∴小球飞行时间是2s 时，小球最高为20m ．
（2）
由题意：20t －5t 2＝15
解得t 1＝1；t 2＝3．
有图象可知：
当1≤t ≤3时，h ≥15．
∴当1≤t ≤3时，满足题意．
24．（1）∵点A （－3，a ）在直线y ＝2x ＋4上
∴a ＝－2
∵点A （－3，－2）在反比例函数(0)k y k x =
≠上 ∴k ＝6
∵点B 在y ＝2x ＋4上和6y x
=上 ∴624
y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ 解得32x y =-⎧⎨=-⎩，16x y =⎧⎨=⎩
∴B （1，6） 反比例函数表达式为6y x
=
（2）
由图象可知：－3＜x＜0或x＞6．
25．（1）
连接OD
∵DF是⊙O的切线
∴OD⊥DF
∵AB为⊙O的直径，且D在⊙O上∴∠ADB＝90°，即AD⊥DB
∴D为BC中点
又∵O为AB中点
∴OD∥AC
又∵OD⊥DF
∴AC⊥DF，即DF⊥AC
（2）方法一：
连接BE
∵AB 为⊙O 的直径，且E 在⊙O 上
∴∠AEB ＝90°，即AE ⊥EB
又∵DF ⊥AC
∴DF ∥BE
∴△DFC ∽△BEC ∴12
DF CD BE BC == ∵DF ＝3
∴BE ＝6
∵∠AEB ＝90°
∴在Rt △BEA 中，63tan 42
BE A AE =
== 方法二：
过O 作OH ⊥AC 于点H
由垂径定理可知：
OH 垂直平分AE
∴∠AHO ＝90°，AH ＝2
由（1）可知
四边形ODFH 为矩形
∴OH ＝DF ＝3
在Rt △AHO 中，3tan 2
OH A AH == 26．（1）∵抛物线y ＝mx 2－2mx ＋n ＝m （x －1）2－m ＋n ∴对称轴为x ＝1
（2）①∵抛物线是轴对称图形
∴点A ，B 关于x ＝1对称
∵A （－2，0）
∴B （4，0）
∵抛物线y ＝mx 2－2mx ＋n 过点B 且直线142
y x m n =--过点B ∴1680240
m m n m n -+=⎧⎨--=⎩ 解得124
m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线解析式为122
y x =
- 抛物线解析式为2142
y x x =-++ ②∵C 为直线122y x =-与抛物线2142y x x =-++的交点 ∴2122142
y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ ∴40x y =⎧⎨=⎩或372
x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∵B （4，0）
∴C （－3，72
-
） 如图：
y ＝－x ＋b 1过点B （4，0）时，b 1＝4
∵P 1在y ＝－x ＋b 1上且P 1在抛物线对称轴x ＝1上，
∴P 1（1，3）
y ＝－x ＋b 2过点C （－3，72
-）时，2132b =- ∵P 2在y ＝－x ＋b 2上且P 2在抛物线对称轴x ＝1上
∴P 2（1，152-
） ∴1532
t -≤≤ 27．解：（1）①在Rt △ABC 中
∵AC ＝2，BC =
∴tan 2BC BAC AC ∠=
==∴∠BAC ＝60° ②∵
AC BC ==P C PC '= ∴
AC P C BC PC '==∵∠ACB ＝∠ACP ＋∠PCB ＝90°
∠P ′CP ＝∠P ′CA ＋∠ACP ＝90°
∴∠P ′CA ＝∠PCB
∴△AP ′C ∽△BPC
（2）① ②
由（1）可知∠BAC ＝60°
∴∠ABC ＝90°－∠BAC ＝30°
∴AB ＝2AC ＝4
∵△AP ′C ∽△BPC
∴∠P ′AC ＝∠PBC ＝30° ∴
AP P C PB PC ''==∵点P 在AB 上
∴PB =∴AP ′＝1
连接P ′B
∠P ′AB ＝∠CAP ′＋∠BAC ＝30°＋60°＝90°
在Rt △P ′AB 中
AP ′＝1，AB ＝4，∠P ′AB ＝90°
∴BP '==（3）由△AP ′C ∽△BPC 可得
AP P C PB PC ''==AP ′＝1，为定值 ∴P ′是在以A 为圆心，半径为1的圆上
①如图，此时BP ′取得最大值，
∴∠P ′AC ＝180°－∠BAC ＝120°
∵△AP ′C ∽△BPC
∴∠P ′AC ＝∠PBC ＝120°
∴BP ′取得最大值时，∠PBC ＝120°
②如图，此时BP ′取得最小值
∵△AP ′C ∽△BPC
∴∠PBC ＝∠BAC ＝60°
∴BP ′取得最小值时，∠PBC ＝60°
28．（1）分别以P1，P2，P3，P4为圆心，1为半径画圆，若与⊙O有交点，则P是⊙O的和睦点，所以P2，P3满足。

（2）连接OP，OP＝5，
满足条件的⊙O要与⊙P（圆心为P（4，3），半径为1）相交，
当r＝OA时最小，r＝4；
当r＝OB时最大，r＝6，
∴4≤r≤6
（353A x -≤≤11A x ≤≤。