江西省九江第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试

九江一中2016—2017学年下学期期末试卷
高二数学（理）
命题：高二数学（理）备课组 审题：高二数学（理）备课组
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{01,2}A =，，{|2,}x B y y x A ==∈则=⋂B A （ ）
A. {0,1,2}
B. {1,2}
C. {}1,2,4
D. {}1,4 2．命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是 （ ） A.不存在01,23≤+-∈x x R x B.存在01,23≥+-∈x x R x C.存在01,23>+-∈x x R x D.对任意的01,23>+-∈x x R x 3．已知命题q p , “p ⌝为假”是“q p ∨为真”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4. 已知复数=1z i +，则下列命题中正确的个数为（ ）
①
||z ；② 1z i =- ；③ z 的虚部为i ；④ z 在复平面上对应点在第一象限. A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
5．设服从二项分布B ～ξ（n ，p ）的随机变量ξ的期望和方差分别是2. 4与1.44，则二项分布的参数n 、p 的值为（ ） A ．n=4，p=0.6
B ．n=6，p=0.4
C ．n=8，p=0.3
D ．n=24，p=0.1
6. 堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，
）
A. 25500立方尺
B. 34300立方尺
C. 46500立方尺
D. 48100立方尺
7．执行图示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A.7
B.9
C.10
D.11
8．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ）种
A.10
B.8
C.9
D.12 9. 关于函数2sin(3)14
y x π
=+
+，下列叙述有误．．
的是（ ） A.其图象关于直线4
x π
=-
对称
B.其图象可由2sin()14y x π
=++图象上所有点的横坐标变为原来的1
3
倍得到 C.其图象关于点11(
,0)12
π
对称 D. 其值域是[1,3]-
10.已知,0,5a b a b >+= ）
A ．18 B. 9 C.11. 设等差数列
满足
，数列
的前项和记为，则（ ）
A. ，
B. ，
C.
，
D.
，
12. 已知定义域为R 的函数()f x 的图象经过点(1,1)，且对x ∀∈R ，都有()2f x '>-， 则不等式2
(log |31|)3|31|x x f -<--的解集为（ ） A. (,0)
(0,1)-∞ B. (0,)+∞ C. (1,0)(0,3)- D. (,1)-∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x －1x n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3
的项的系数为 －405
14. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，
则z ＝3x ＋y 的最小值为___1 ___．
15. 设命题p ：函数)16
1
lg()(2
a x ax x f +
-=的定义域为R ；命题q ：不等式对
一切实数均成立.如果命题“p 或q”为真命题，且“p 且q”为假命题，则实数的取值范
围是
.
16.定义：对于集合A=},......,,{321n a a a a ， “n a a a a ⋅⋅⋅⋅......321”称为集合A 的“元素积” ；“n a a a a ++++.
.....321”称为集合A 的“元素和”。

特别地，A=}{1a 的元素积为1a ；A=}{1a 的元素和为1a 。

若A={1，-1，3，4}，记集合A 的所有非空子集的元素积的和为M ，集合A 的所有非空子集的元素和的和为N 。

则M+N= 91 ,. .
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】 （Ⅰ）依题意得
⎪⎩⎪⎨
⎧+=+=⨯++⨯+)
12()3(50254522331121
1
1d a a d a d a d a 解得⎩
⎨
⎧==23
1d a ， 1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．
（Ⅱ）
13-=n n
n
a b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T
n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=
-
n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--
13(13)
32(21)32313
n n n n n --=+⋅-+=-⋅- ∴n n n T 3⋅=
18. ．某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行 了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数）：
（1 ）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；
（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X ，求X 的分布列和期望． 附表：
．
【解答】解：（1）K 2
=
≈2.932＞2.706，
由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关．… （2）（ⅰ）记题设事件为A ，则
所求概率为P （A ）==． …
（ⅱ）根据题意，X 服从超几何分布，P （X=k ）=，k=0，1，2，3．
X 的分布列为
…
X 的期望E （X ）=0
×+1
×+2
×+3
×=1．
19.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，M ，N
分别是
1CC ，BC 的中点，点P 在直线11A B 上，且111A P A B λ=；
（1）当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值； （2）是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】
证明：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），
B1（1，0，1）， M （0，1，21），N （
21
,
21，0） )0,0,()0,0,1(111λλλ===B A A ，)1,0,(11λ=+=A ，
)
1,21
,21(--=λ
∵=（0，0，1）是平面ABC 的一个法向量。

∴sin θ=|cos<>∙|=
45
)21(1141
)21(|
100|22+
-=
++--+λλ
∴当λ＝21
时，θ取得最大值，此时sin θ=54,cos θ=51,tan θ=2
（2）假设存在，则
111
(,,)
222NM =-，设),,(z y x =是平面PMN 的一个法向量。

则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=++-021)21(02
12121
z y x z y x λ得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x z x y 322321λλ令x=3，得y=1+2λ,z=2-2λ
∴)22,21,3(λλ-+=n
∴|cos<n m ,>|=
2
3
)22()21(9|
22|22=
-+++-λλλ化简得4(*)013102=++λλ
∵△＝100-4⨯4⨯13＝-108<0
∴方程（*）无解
∴不存在点P 使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º 20.已知抛物线C ：22(0)y px p =>
与直线40x +=相切. (1)求该抛物线的方程;
(2)在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于,A B 两
点，使得22
11
||||AM BM +
为定值.如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由.
(1)
联立方程有，2
402⎧-+=⎪⎨
=⎪⎩x y px
，
有2
80-+=y y p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4∆=-==p p p ，所以28=y x .
（4分）
(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m ，有28=+⎧⎨=⎩
x ty m
y x ，
2880--=y ty m ，设112(,),(,)A x y B x y ，有121
28,8
+==-y y t
y y m
，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222
22
2||()(1)BM x m y t y =-+=+， 22
212222222222
22
12121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t m
AM BM t y t y t y y t m +++=+==++++， 当4=m 时，22
11
||||AM BM +为定值，所以(4,0)M .
（12分）
21.（本小题14分）
已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ． (1)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；
(2)若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，
求实数b 的取值范围；
(3)当2
0e y x <<<且e x ≠时，试比较x
y x y ln 1ln 1--与的大小．
21解：(1)x
ax x a x f 1
1)(-=
-
='，当0≤a 时，0)(≤'x f 在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点； 当0>a 时，0)(≤'x f 得a
x 1
0≤
<，0)(≥'x f 得a x 1≥，
∴)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛a 1,0上递减，在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,1a 上递增，即)(x f 在a x 1=处有极小值．
∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，
当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点． ················ 5分 (2)∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ， ∴b x
x
x bx x f ≥-+⇔-≥ln 112)(， ····················
7分 令x
x
x x g ln 11)(-
+
=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)
+∞,2e 上递增， ∴2
2min 11)()(e e g x g -==，即2
1
1b e ≤-
． ················· 9分 (3)解：令1)(ln 1)(-=-=
x g x
x x x h ， ·················· 10分 由(2)可知)(x g 在),0(2e 上单调递减，则)(x h 在),0(2e 上单调递减 ∴当20e y x <<<时，)(x h >)(y h ，即
y
y
x x ln 1ln 1->-． ········ 12分 当e x <<0时，,0ln 1>-x ∴
x y
x y ln 1ln 1-->， 当2
e x e <<时，,0ln 1<-x ∴x
y x y ln 1ln 1--< ··············· 14分
请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，直线l 的参数方程是：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+-=t y t x 225225 为参数）
t (. （1）求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程； （2）将曲线C 横坐标缩短为原来的
2
1
，再向左平移1个单位，得到曲线曲线1C ，求曲线1C
上的点到直线l 距离的最小值.
【答案】(1)曲线C 的方程为4)2(22=+-y x ，直线l 的方程是：052=+-y x …4分 （2）将曲线C 横坐标缩短为原来的
2
1
，再向左平移1个单位，得到曲线曲线1C 的方程为4422=+y x ，设曲线1C 上的任意点)sin 2,(cos θθ
到直线l 距离2
|
)sin(552|2
|
52sin 2cos |ϕθθθ+-=
+-=
d .
到直线l 距离的最小值为2
10。

…………………10分 23.
已知函数()()R a x a x x f ∈---=12. （1）当a=3时，求函数()x f 的最大值； （2）解关于x 的不等式()0≥x f . 【答案】（1）当a =3时，
1,(3)
()32135,(13)1,(1)x x f x x x x x x x --≥⎧⎪
=---=-+<<⎨⎪+≤⎩
…………３分
所以，当x =1时，函数f (x )取得最大值2. …………５分 （2）由()0f x >得21x a x -≥-，
两边平方得：()()2
2
41x a x -≥-，
即2
232(4)40x a x a +-+-≤， …………７分 得()(2)(3(2))0x a x a ---+≤， 所以，①当1a >时，不等式的解集为2[2,
]3
a
a +-； ②当1a =时，不等式的解集为{}
1x x =； ① 1a <时，不等式的解集为2[
,2]3
a
a +-.………10分。