单元与插值函数的构造

(1 + ξ
)
一维单元插值函数的构造（C0）
b. 二次Lagrange插值(n=3)
l12 (ξ
)
=
(ξ (ξ1
−ξ2 −ξ2
)(ξ − ξ3 ) )(ξ1 − ξ3 )
=
−
1ξ(
2
1
−ξ
)
=
1 2
ξ
1ξ
(
1
+
ξ1ξ
)
l
2 2
(
ξ
)=
(1−ξ
2
)
l32 (ξ
)
=
1ξ(1+ξ
2
)
=
1 2
ξ
3ξ
(
1
+
n
n
∑ ∑ φ =
Ni (ξ )φi =
( ) li =1
3.2.2 Hermite 单元
如果要求在单元的公共界面上保持场函数导数的连续性,
则节点参数中还应当包含场函数导数的节点值. 此时可
以采用Hermite插值多项式作为单元插值函数. 对于一维
二节点元, Hermite插值多项式可以表示为
1. 二次单元
二次单元有六个节点,单元插值函数可以表示为
∏ (( )) Ni =
2 j =1
f
(
j
i
)
L1, L2 , L3
f
(i)
j
L1i , L2i , L3i
i A
其中, ( ) f
(i
j
)
L1, L2 , L3
是通过除节点i以外
所有节点的二根直线方程
f
(i
j
)
(
L1
,
L2
,
L3
)
=
0
Ai
的左端项.例如,当i=1时,
dH
1 i
(ξ
)
dξ
ξj
= δij
当ξ1=0,
ξ2=1时,
H
0 i
(ξ
)和
H
1 i
(ξ
)
是以下形式的三次多项式
1.0
H10
H
0 2
H11
1
1
1.0
H
1 2
并且
N1 = H1(0) (ξ ) = 1− 3ξ 2 + 2ξ 3
N2
=
H
(0)
2
(ξ
)
=
3ξ
2
−
2ξ
3
N3 = H1(1) (ξ ) = ξ − 2ξ 2 + ξ 3
L2
( ) N3
=
L3 −
1 2
1 2
⋅
L3
1
=
2L3 −1
L3
N4
=
L1 ⋅ L2
11
= 4L1L2
22
N5
=
L2
1
⋅
L3
1
=
4 L2 L3
22
N6
=
L3
1
⋅
L1
1
=
4L1L3
22
3
(½,0,½) 6
(0,½, ½) 5
1 42 (½, ½,0)
（2）形函数
对于六结点三角形单元，形函数可用面积坐 标表示为
一.Lagrange单元 1.n个结点构造n-1次Lagrange插值多项式
∏ l
( i
n
−
1
)
(
ξ
)=
( ξ − ξ 1 )( ξ − ξ 2 )...( ξ − ξ i −1 )( ξ − ξ i + 1 )...( ξ − ξ n ) ( ξ i − ξ 1 )( ξ i − ξ 2 )...( ξ i − ξ i −1 )( ξ i − ξ i + 1 )...( ξ i − ξ n
)
=
n k=1
(ξ −ξk ) (ξi −ξk )
k≠i
注：
1)结点i的插值函数,2)ξi为第个i结点坐标,3)ξ为自然坐标
即：l
( i
n
−
1
)
(
ξ
)
为结点当n-1次插值函数。 i=1,2…n
一维单元插值函数的构造（C0）
2. li( n−1 )(ξ ) 的性质 i=1,2…n
1) n-1次插值函数,共有n个
对于3节点三角形单元,引入面积坐标: i
A
Li=Ai/A
Ai
单元的插值函数可以表示为: Ni=Li
三角形单元ijm中， 任一点P（x, y）的位 置，可以用如下的三个 比值来确定：
Li
=
Ai A
Lj
=
Aj A
Lm
=
Am A
Ai，A j，Am 分别别三角的面积面积、P jm、Pmi、Pij的面积 Li，L j，Lm分别为P点的面积坐标。
∑ ∑ ∑ φ
(ξ )
=
2 i =1
H
(
i
0)
(ξ
)φi
+
2 i =1
H
(1)
i
(ξ
)
⎛ ⎜⎝
dφ dξ
⎞ ⎟ ⎠i
+
2 i =1
H
(2)
i
(ξ
)
⎛ ⎜
⎝
d 2φ dξ 2
⎞ ⎟ ⎠i
或者
6
φ (ξ ) = ∑ Hi (ξ )Qi i =1
其中
N1 = H1(0) (ξ ) = 1−10ξ 3 +15ξ 4 − 6ξ 5, Q1 = φ1
面积坐标：Li = 1 Lj = Lm = 0
Li
=
Ai A
Lj
=
Aj A
Lm
=
Am A
代入上式：Ni = 1 N j = Nm = 0 Ni′ = N j′ = Nm′ = 0
角结点 : 边中结点 :
Ni = Li (2Li − 1)(i, j, m) ⎫ Ni′ = 4Lj Lm (i′, j′, m′;i, j, m)⎭⎬
的边配置一至数个边节点。为了尽可能构造完全多项 式, 一般还会附加生成单元内部节点。
单元与插值函数的构造
到目前为止, 关于单元内部节点的利弊都还待深
入研究。一般认为, 在实体(二, 三)维问题中,单元 内部节点弊大于利, 应尽量避免。而在板壳问题中, 单元内部节点对于稳定计算是有贡献的。
一维单元插值函数的构造（C0）
2. 三次单元
在构造三角形三次单元插值函数时，仍然采用自 然(面积)坐标通过划线法来形成具体的形函数。对于 角节点：
( ) Ni
（1）面积坐标与直角坐标的关系
三角形Pjm的面积为
1x Ai = 1 x j
1 xm
y
yj
=
1 2
(ai
+
bi x
+
ci
y)
ym
面积坐标为
Li
=
1 2A
(ai
+
bi x
+
ci
y)
(i, j, m)
将上式中的3个式子分别乘以xi、xj、xm 并利用
ai、bi、ci得
同理
xi Li + x j L j + xm Lm = x⎪⎫ yili + x j L j + xm Lm = y ⎪⎭⎬
单元与插值函数的构造
从运算简单和易于满足收敛性的要求来看, 采用 幂函数多项式做为插值函数比较合适, 因而得到广泛
应用。
采用幂函数多项式时, 对于仅满足C0连续性要求
的单元, 则仅在单元的角点配置节点。随着连续性要
求的增加,单元内部的函数场一般应当二次(或高次)变 化, 则要求不仅在单元的角点配置节点，还要在单元
N4
=
H
(1)
2
(ξ
)
=
−ξ
2
+
ξ3
Q1
=
φ1
, Q2
=
φ2
, Q3
=
⎛ ⎜⎝
∂φ ∂ξ
⎞ ⎟ ⎠1
, Q4
=
⎛ ⎜⎝
∂φ ∂ξ
⎞ ⎟ ⎠2
在端部节点最高保持场函数的一阶导数连续性的 Hermite多项式称为一阶Hermite多项式.0阶的Hermite 多项式就是Lagrange多项式. 一般地,在节点处保持至 场 函 数 的 n 阶 导 数 连 续 性 的 Hermite 多 项 式 称 为 n 阶 Hermite多项式. 在2节点时,它是ξ的2n+1次多项式.函 数Φ的2阶Hermite多项式可以表示为
利用广义坐标建立有限单元法的插值函数 方法，首先将场函数表示为多项式的形式，然 后利用节点条件，将多项式中的待定参数表示 成场函数的节点值和单元几何的函数。无疑， 形成插值函数的方法烦琐。尤其在形成三角形 高阶单元时，利用面积(自然)坐标可以更方便 地建立单元插值函数。
单元与插值函数的构造
从节点参数的类型来看, 可以仅包含场 函数的节点值，也可能包含场函数的导数的 节点值。取决于在单元交界面上的连续性的 要求, 这往往由泛函(或控制微分方程)中场 函数导数的最高阶决定的。例如，场函数导 数的最高阶为一阶时，仅要求在单元交界面 上的场函数连续，即：C0连续性。
⎫
边中结点 : Ni′ = 4Lj Lm (i′, j′, m′;i, j, m)⎭⎬
¾ 单元重力引起的等效结点力：
{PV }e
= − γ hA [0
3
0
0
0
0
0
0
1 0 1 0 1]T
表示各边中点承担单元重力的1/3。
¾ 单元表面力引起的结点力
∫ {PS}e = l [N]T{PS}hdl
设在ij边上受有x方向的均匀分布力ps，则
(1+ ξ1ξ )
l21 (ξ
)
=
(ξ −ξ1) (ξ2 −ξ1)
=
1 2
(1 + ξ
)
=
1 2
(1+ ξ2ξ
)
或记为： li1 (ξ )
=
1 2
(1 + ξ iξ
)
一维单元插值函数的构造（C0）
l
1 i
(ξ
)
=
1 2
(1 + ξ iξ
)
即：l11 (ξ )
=
1 2
(1 − ξ
)
l
1 2
(ξ
)
=
1 2
2)
l
( i
n−
1
)
(
ξ
j
)=
δ ij
⎧1 ⎩⎨0
i= j i≠ j
n
∑ 3)
li( n−1 ) ( ξ ) = 1
i=1
一维单元插值函数的构造（C0）
3.构造一维单元插值函数 a. Lagrange线性插值 (n=2)
l11(ξ )
=
(ξ −ξ2 ) (ξ1 −ξ2 )
=
1 2
(1 − ξ
)
=
1 2
或者
∑ ∑ φ (ξ ) =
2 i =1
H
(0)
i
(ξ
)φi
+
2 i =1
H
(1)
i
(ξ
)
⎛ ⎜ ⎝
∂φ ∂ξ
⎞ ⎟ ⎠i
4
φ (ξ ) = ∑ Hi (ξ )Qi
i =1
其中Hermite插值多项式具有以下性质
( ) H
0 i
ξj
= δij ,
( ) H
1 i
ξj
= 0,
dH
0 i
(ξ
)
dξ
ξj
=0
∫∫ ¾ 体积力引起的结点力： {PV }e = A[N ]T {PV }hdxdy
[N ]2×12 = [N i N j N m Ni′ N j′ N m′ ]
∫∫ A
Lai
Lbj
Lcmdxdy
=
(a
+
a!b!c! b+c+
2A 2)!
角结点 : Ni = Li (2Li − 1)(i, j, m)
对边上中结点i : Ai = 0 Aj = Am = A / 2
面积坐标：Li = 0 Lj = Lm = 1 / 2
代入上式：Ni' = 1 N j' = Nm' = 0 Ni = N j = Nm = 0
形态函数
（3）等效结点荷载
¾等效结点荷载：由于位移模式是非线性的，因此 体积力和表面力引起的结点力向量不能采用静力等 效原理进行分配，而应采用相应公式进行计算。
f
(1)
j
分别是
通过节点4,6的直线方程 f1(1) ( L1, L2, L3 ) = 的左端项和通过节点2,5,3的直线方
L1
−
1
2
=
0
3
程f
(1)
2
(
L1,
L2 ,
L3
)
=
L1
=
0
的左端项.
(½,0,½) 6
(0,½, ½) 5
4 1 (½, ½,0) 2
f
(i
j
)
(
L1i
,
L2i
,
L3i
)是节点i到直线j的正则化
的距离(也即面积坐标值),因此可以
得到形函数:
L1 = 0
3
( ) N1
=
L1 −
1 2
1 2
⋅
L1 1
=
2L1 −1 L1
(½,0,½) 6
(0,½, ½) 5
1 42
(½, ½,0)
L1
−
1 2
=
0
通过类似的步骤, 可以得到其余各点形函数:
( ) N2
=
L2
−
1 2
⋅
L2
1 2
1
=
2L2 −1
2011.11.14
单元与插值函数的构造
单元与插值函数的构造
问题： 利用广义坐标，建立有限单元法的插 值函数方法繁琐，形成的单元矩阵复杂。
必须注意：插值函数的构成不取决于求解的微 分方程式，插值函数构造方法仅取决于： 几何图形（单元形状）、 结点数量与位置 以及在单元结点处规定的因变量的数量。
单元与插值函数的构造
N2
=
H
(0)
2
(ξ
)
= 10ξ 3
−15ξ 4
+
6ξ 5 , Q2
= φ2
N3
=
H1(1)
(ξ
)
=
ξ
−
6ξ
3
+
8ξ
4
−
3ξ 5 , Q3
=
⎛ ⎜⎝
dφ dξ
⎞ ⎟ ⎠1
N4
=
H
(1)
2
(ξ
)
=
−4ξ
3
+
7ξ
4
−
3ξ 5 , Q4
=
⎛ ⎜⎝
dφ dξ
⎞ ⎟ ⎠2
( ) N5
=
H1(2)
(ξ
)
=