8讲义(转动惯量)

动力法测量刚体转动惯量
【实验简介】
转动惯量是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要参数，例如设计电动机转子、钟表摆轮、精密电动圈等。

对于工程设计中，转动惯量的大小，常常用实验的方法测量。

对于不同形状的刚体，设计了不同的测量方法和测量仪器，常用的有振动法（三线摆、扭摆、复摆）和动力法法；本实验采用动力法测量刚体的转动惯量。

【实验目的】
1、学习用动力法测定刚体的转动惯量；
2、验证刚体的转动定理和平行轴定理。

【实验仪器】
转动惯量实验仪～电脑毫秒计（两种配套形式：JM-2～HMS-2或JM-3～JM-3）、圆环、2个圆柱体、砝码及细线，滑轮，天平，水平仪，米尺，游标卡尺。

【实验原理】
1、转动惯量的定义
刚体是在外力作用下，形状、大小皆不变的物体，通常将受外力作用形变甚微的物体视为刚体。

刚体绕轴转动惯性的度量称为转动惯量，转动惯量是表示刚体转动惯性大小的物理量。

转动惯量的计算公式为：
22i i I m r I r dm =∆⇒=∑⎰
转动惯量取决于刚体的总质量、质量的分布和转轴的位置。

图1 转动惯量实验仪
A 承物台
B 挡光片
C 绕线塔轮
D 光电门
E 定滑轮
F 砝码
G 待测物
下面给出了质量均匀的几种刚体绕指定转轴转动所表现出来的转动惯量的理论计算公式：
所以，我们说转动惯量时，一定要说明是相对那个转轴的转动惯量。

2、平行轴定理
一般的我们将质量为
m 的刚体绕着过其质心的转轴的转动惯量用c I 表示，若刚体转动轴线不过质心，并知道质心到转轴间的距离d ，由平行轴定理可知，此时刚体所表现的转动惯量为：2d c I I
md =+。

3、运动学和动力学中的基本公式 ①匀加速转动过程中角位移与时间的关系
201
2
w t t θβ=+
其中：θ为角位移，0w 为初始角速度，β为角加速度，t 为时间。

②合外力矩和角加速度之间的关系
L I β=合
其中：L 合为合外力矩，I 为刚体的转动惯量，β为刚体转动的角加速度。

③转动惯量满足叠加原理：
12I I I =+总
其中：I 总为总转动惯量，1I 、2I 为各部分的转动惯量。

4、刚体转动惯量的测量
实验中塔座在阻力矩的作用下有：1f L I β-＝； 在动力矩和阻力矩共同的作用下有：2f Tr L I β-＝；
212I mr
=2212I m r r =外内（+）
2
2
12
I mr md =+
T 为引线的张力，r 为绕线塔轮半径，f L 是阻力矩，主要来源于接触摩擦力矩。

另外mg T ma -＝，2a r β＝ 联立上式有222121
mgr I mr b b b b b =
+--（单位：2kg m ⋅）
m 为悬线下挂砝码的总质量，29.80/g m s =,r 为绕线塔轮的半径。

()Tr mr g a mgr =-≈（忽略砝码下落过程中的加速度a ）得：21
mgr
I b b =
-，由此可知
只要将公式中的12m r 、、、b b 测量出来，被测刚体的转动惯量I 就可计算出来。

实验中m r 、是容易测量的，但角加速度12、b b 如何测量呢？ 5、刚体转动角加速度β的测定
在所受合力矩不变的情况下，刚体绕定轴作匀加速转动，其角位移：
2012
t t θωβ+＝
分别在不同的时刻1t 、2t 对应取两个角位移1θ、2θ，则有：
2101112t t θωβ＝－ ， 2202212
t t θωβ＝－ 根据上两式求解得：
)()(212212112t t t t t t --=
θθβ
转动惯量测定仪转台的边缘对称的装着2只挡光片。

若设置仪器参数，使得一
个脉冲记录一次时间数据，从第一次挡光开始计时，连续记录每次挡光对应的时间。

则第k 次挡光，塔座转过的角度为：(1)k θπ=-。

可以导出：
211212212((1)(1))
()
k t k t t t t t πβ---=
- （在此约定12k =、3、4、5、6、211k k =+）
其中1t 为挡光片第1k 次触发光电门时间，2t 为挡光片第2k 次触发光电门时间。

【实验内容及要求】
1、安装、调试、熟悉实验仪器：
①确定线长和转动仪放置的位置：将挂砝码的拉线跨过定滑轮，砝码刚好落地或略
悬空，线的另一端刚到塔轮边缘（离定滑轮最近处的边缘）；
②用手指将线的节点压入塔轮的小缺口中，绕线；绕线后，线所在的面与定滑轮的所在的平面正好平行。

表明转动仪放置位置适中。

③借助于水准仪，通过调节转动惯量仪的底脚螺丝调节仪器的载物台水平。

④熟悉和练习电脑计数器的设置和数据的提取。

参数设置为0107。

2、测定塔座转动惯量，即本底转动惯量0I
①用手拨动塔座，使塔座以一定的初始角速度作匀减速转动。

测量转动过程中挡光片触发光电门的时间序列。

②利用减速过程中的时间序列计算塔座的角加速度1β。

③再选取某一绕线塔轮（如：r=2cm ），测量在动力矩和阻力矩共同的作用下塔座转动过程中挡光片触发光电门的时间序列。

④利用加速过程中的时间序列计算塔座的角加速度2β。

⑤测量砝码质量m 。

⑥计算塔座本底转动惯量0I 3、测定圆环的转动惯量I 环
①测定圆环的质量m 环和内外直径D 环内、D 环外，以计算圆环相对中心转轴转动惯量的理论值I 环理。

②将圆环平稳的放在塔座上，按照实验内容2中的方法测量塔座和圆环的总转动惯量I 总。

并利用转动惯量的叠加原理，计算出圆环对中心轴的转动惯量的实验值I 环实。

③比较圆环相对于中心转轴的实验值I 环实和理论值I 环理，计算其相对误差E 环。

4、测定圆柱体的转动惯量并验证平行轴定理
①测定柱体的质量（12m m m =+柱柱柱）和圆柱体直径D 柱。

以计算圆柱体相对自身轴线转动惯量的理论值I 柱理。

②将两个圆柱体对称的放置在转台上，测出两圆柱体之间的距离2d ，得出柱体离中心转轴的距离d 。

从而根据平行轴定理计算两个圆柱体转动惯量的理论值I 柱理。

③按照实验内容2中的方法测出塔座和2个柱体的转动惯量I 总，根据转动惯量的叠
加原理计算圆柱体转动惯量的实验值I 柱实。

④比较圆柱体转动惯量的理论值I 柱理和实验值I 柱实，计算相对误差E 柱。

以验证平行轴定理。

【数据记录与处理】
1、塔座转动惯量的测量（29.80/g m s =，r = m ）重物质量=m kg
021
I b b =
-
2、测量圆环转动惯量——验证转动定理
r = m ，m 环= kg ， D =环内 m ,D =环外 m
21
I 总b b =
- I I I 0总环实=-
22
18I m D D =+环理
环环外环内（） 100%I I E I -=⨯环理环实环环理
3、测量圆柱体转动惯量——验证平行轴定理
r = m ，两圆柱体总质量：m =柱 kg ，D =柱 m ， d = m
21
mgr
I 总b b =- I I I 0总柱实=-
22
18I m D m d =+柱理
柱柱柱 100%I I E I -=⨯柱理柱实柱环理
【实验注意事项】
1、在移动转动惯量实验仪时，请不要碰位于实验仪两侧的信号线。

2、实验前必须将转动惯量实验仪调节水平，并注意保持水平拉线与塔轮轴垂直。

水平拉线和铅直铅直拉线均于定滑轮轴线垂直。

3、释放砝码时，砝码应该保持静止，不可摇摆、晃动；手不可以给圆盘任何的切向力。

4、用手拨动塔座时，不能让挡光片经过光电门。

这样才能保证整个计时过程都处于匀加速。

【思考题】
1、什么是刚体？什么是刚体的转动惯量？影响刚体转动惯量的基本因素有哪些？测量转动惯量常用的实验方法有哪些？
2、实验中，测定一个圆柱体相对于仪器转轴的转动惯量时，为什么要在承物台上对称的放两个质量近似相等的圆柱体，而不是只放置一个圆柱体，试分析原因？
3、试验中，弦线的长度和测定仪的放置位置必须调节适中，应如何调节？如果弦线长度或测定仪的位置不当，对测量结果有何影响？试分析之。

4、如何测定任意形状的物体绕特定轴转动的转动惯量？
5、实验中你主要做了哪几部分内容？每部分内容中转动惯量I 是如何计算的？
实验仪器使用说明
HMS-2，开机后，显示屏上显示“P 0164”,表示一个脉冲记录一次时间，共记录64组，这是系统默认的值，最多记录数值为64组
JM-3，开机后，显示屏上显示“F 0164”，表示一个脉冲记录一组数据，共。