2020年全国高考数学Ⅲ(理)23题的解法探究

2020年第12期中学数学研究-59-2020年全国高考数学,（理）23题的解法探究
广东省广州市铁一中学（511447）范群
1试题呈现
(2020全国理科，卷23题)设a,b工&R,a+%
+9二0 ,a%9=1.(1)证明：ab+be+ca<0,(2)用
max{a,%,c}表示a,%,c的最大值，证明：max
{a,b,c}$槡4.
2试题证明
首先证明第(1)题：
证法1：因为a+%+c二0 ,abc=1,可见a,b,c不
全相等，a,b,c均不为零,a,b,c中一正两负，不妨设
a<%<0<c,用a,b,c分别乘以a+%+c=0的两边
有a2+ab+%2=0 ,%2+bc+c2=0,c2+ca+a2二0 ,以
上三式相加可得-(ab+bc+c a)=2(a2+%2+c2)>
0,可见a%+%+a<0.
证法2：因为a,%,&R,a+%+=0,a%=1>
0，所以a,%,c中必有两个负数,一个正数，不妨设
a>0,%<0,<0,有a%+%+a=a(%+)+%
=-(%+)2+%=-(%2+%+2)=-[(%+)2+
宁c2]证法
3：(a+%+)2=a2+2+2+2(a%+%
+c a)=0，可得ab+bc+c a=-}(a2+%2+c2)$0 ,
等号成立的条件是当且仅当a二％=c二0,但是abc
二1,所以a=%=c二0不成立，所以ab+bc+c a<0.
证法4：构造三次函数-二/(%=(%_a)(%-%)
(%_c)，不妨设-=/(%=(%-a)(%-%)(%-c),即
-=="(兀)=%3-(a+%+c)%2+(ab+bc+c a)%-abc
=%3+(ab+bc+c a)%-1,显然，/(%在[a,%],
[%,c上均满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知
/'(%在(a,b)中至少一个零点，在(%,c)中至少一个
零点，可见/(%—共至少两个零点，而'%=3%2
+(ab+bc+c a)，令@(%=0，显然当且仅当ab+bc
+ca<0时(%最多有两个零，此时必有ab+bc+
a<0.
现证明第(2)题：
证法1：如前所述，不妨设a<%<0<c,注意到a
+%+c=0 ,abc=1,令
c
"二一空+方，
（方&R）,于是
7C
%=_「
233
ab=-4-t2,abc=-4-tc=1,tc=-4-1$0,可见
c3$4 ,即c$槡4,当且仅当1=0，即a=%=-牙时取
等.
证法2:考虑到a+%+c=0,abc=1,令
■a槡c=1,
{厂1其中方<0.于是a C+%C=(a+%)C c=
%Cc=7,
—c C=1+丄,显然c3=(方+f-)=t2++2=
(t-廿+4$4 ，可得q$C，当且仅当1=-1,即a
=%=—时取等号.
证法3:假设max{a,%,c} <<槡，由a,%,c&R,
abc=1,轮换对称可设槡4>a>0>%$c,C>a=
(-%)+(_c)$2C%=2>2£=槡4,推出矛
C a c
盾，所以max{a,b,c}$槡4,当且仅当a=槡4,%=c=
-c时取等号.
证法4：因为a,%,c&R,a+%+c= 0 ,abc=1>
0,所以a,b,c中必有两个负数，一个正数，不妨设a
>0,%<0,c<0，所以有max{a,b,c}=a,由a,b,c&
R,a+%+c=0 ,abc二1,可得:%+c=-a,%c=—,故
a
%,c可以看成方程%2+a%+^=0的两个根，所以#=
a
43
a2-—$0化简整理得a3$4,即max{a,b,c}$C.
a
证法5：因为a,%,c&R,a+%+c= 0 ,abc=1>
0,所以a,b,c中必有两个负数，一个正数，不妨设a
>0,%<0,c<0，所以有max{a,b,c}=a,由a,b,c&
R,a+%+c=0,abc=1,可得a+%+£二％，化简得
a
ab2+a2%+1二0,则％是上述方程的负根.记代%=
a%2+a2%+1,则该抛物线的开口向上，其对称方程
是%=-号<0，由根的分布的知识可得#=a4-4a
$0 ,所以a$槡4，即max{a,%,c}$槡4.
・60・中学数学研究2020年第12期证法6：因为a,%,c&R,a+%+c=0,a%9=1>
0，所以a,%!c中必有两个负数!一个正数，不妨设a>0,—<0,c< 0,所以有max{a,%,c}=a,假设max{a,%,c}-a<—4,则0<-%-c<—4，又因为(-%)+(-9$2—%,所以可得—>(-%)+ (-c)$2—%,两边平方得4%c<43，即0<%c<43,
又由假设知0<a<—,把上述两个不等式相乘得
a%c<1,这与已知条件a%c-1矛盾，假设不成立,从
而max{a,%,c}$—4-
证法7：因为a,%,&R,a+%+=0,a%=1> 0,a,%,中必有两个负,一个,妨设a>0,%<0,<0,有maF{a,%,}=a,a,%,
&R,a+%+c=0 ,a%c-1>0,所以a,%,c可以看成方程%3-1-1=0的三个根,令f(%=—3-t-1, f'%-3%"-t,由(1)知一t=a%+%c+ca<0，故t> 0，令/'(%=3%"-方>0得函数的单调递增区间为
(一B-—^)或(——",+B)，令/'(%=3%"-一<0得函数的单调递减区间为-—扌<%<—扌，因为—3-一％_1=0有两个负根，一个正根,/(0)=-1,人-—寻—-1$0,所以心—，此时, /(-——)=一——[(-——)一1-1=-1V。

，所以在%< 0上有两个负根，又因/(%在(0,—f)上单调递减,故/(—!)</(0)<0，取/(—+r)=—+T・[(——+1)2-1]-1-——+1-1>0,由根的存在性定理知——<a<—+1，又注意到/(—)-(—4)3—M-1=3—M，又因为£$—^，所以/(—)=3-t——0 ,所以a——4，即max{a,%,c}$—4-
*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(*■(例析共焦点的圆锥曲线离心率的范围
福建省石狮市石光中学福建省泉州市第七中学(362700)许丽拉(362000)赖呈杰
圆锥曲线离心率一直是高考的热点和难点问题,椭圆与双曲线有公共焦点的离心率的问题，由于涉及的参量较多，容易混乱，常给解题造成困扰,本文归纳几个常用的性质，帮助消除难点-
%2-2
已知点 <、<"分别是椭圆C1:气+%=1(a1>
a1%1
%2-2
%1>0)和双曲线C":筈-归=1(a?>0,%">0)的公
a2%2
共焦点，A、A"分别是C和C"的离心率，点$为C1和C"的一个公共点，"<1$<"=2$.
性质1。

1>a?,0<a V1<A?-
性质2当|$<1|>丨$<|时，|$<1|=a1+a", $<"=a1-a".
%2-2%2-2例1设椭圆4"+》=1与双曲线冷-宁=1
m4a4
在第一象限的交点为7<1,<"为其共同的左右的焦点，且丨7<1<4,若椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e?，则A+e"的取值范围为().
(",26)B07,5")
C(1,26)D(50,+B)
分析:设|<1<2二2c,c"-42-4=a"+4,得42 =a"+8①，又丨7<1|<4，由性质2得丨4丨+|a|<4②，由①②得a"+8<(4-a)"8I a V1.所以A
2222222
mam a a m
a^&(50，+B)，故选A
例2已知<1,<"是椭圆与双曲线的公共焦点,$是它们的一个公共点，且$<1>$<"I,线段$<1的垂直平分线过<",若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e?，则A+7T的最小值为％)-
12
A.—T
B.3
C.6
D.—f
分析：设椭圆长轴长为2a1，双曲线的实轴长。