高考数学大一轮复习 8.4空间的垂直关系配套练习 苏教

8.4 空间的垂直关系
随堂演练巩固
1.给出下列四个命题:
①若直线垂直于平面内的两条直线,则这条直线与平面垂直;
②若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则这条直线与平面垂直;
③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线,则这条直线垂直于两底边所在的直线; ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线,则这条直线垂直于两腰所在的直线. 其中正确的命题共有 个. 【答案】 2
【解析】 与线面垂直的定义及判定定理相对照,②③为真,①中两线可能不相交,④中两线不相交,故不正确.
2.已知αβ,是两个不同的平面,m,n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m n ⊥;②αβ⊥;③n β⊥;④m α⊥.
以其中三个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: .(写出一个即可)
【答案】 ②③④⇒①(或①③④⇒②)
【解析】 由n m αββα⊥,⊥,⊥,得m n ⊥;
由m n n m βα⊥,⊥,⊥,得αβ⊥.
3.如图所示,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧棱PA=a,PB=PD=2a ,则它的5个面中,互相垂直的面有 对.
【答案】 5
【解析】 面PAB ⊥面PAD,面PAB ⊥面ABCD,面PAB ⊥面PBC,面PAD ⊥面ABCD,面PAD ⊥面PCD.
4.如图,正方体ABCD —1111A B C D 的棱长为1,线段11B D 上有两个动点E,F,且22
EF =,有下列结论:
①AC BE ⊥;
②EF ∥平面ABCD;
③三棱锥A —BEF 的体积为定值.
其中正确结论的序号是 .
【答案】 ①②③
【解析】 易知AC ⊥平面11DBB D ,而BE ⊂平面11DBB D ,从而AC BE ⊥,故①正确; ∵EF ∥BD,∴EF ∥平面ABCD,故②正确; 对③,当2
2EF =时,可知1
112EF B D =,
所以—1132
A BEF BEF V S AC =⨯⨯V 13=⨯1111124
212DBB D S ⨯⨯=长方形为定值,故③正确. 课后作业夯基
1.给定空间中的直线l 及平面α.条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是”直线l 与平面α垂直”的 条件.
【答案】 必要不充分
【解析】 若直线l ⊥平面α,由定义,l 垂直α内任意直线,所以l 与α内无数条直线都垂直. 若l 与α内无数条相互平行的直线垂直,则不能得出l 与平面α垂直.
所以“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是”直线l 与平面α垂直”的必要不充分条件.
2.设m 、n 是两条不同的直线α,、β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 (填序号).
①m n m n αβαβ⊥,⊂,⊥⇒⊥
②α∥m n βα,⊥,∥m n β⇒⊥
③m n αβα⊥,⊥,∥m n β⇒⊥
④m n m n αβαββ⊥,⋂=,⊥⇒⊥
【答案】 ②
【解析】 ②α∥m n βα,⊥,∥m n β⇒⊥成立.
①③④显然不正确.
3.(2011届江苏苏中三市质量检测)已知直线l ⊥平面α,直线m ⊂平面β.有下面四个命题: ①若α∥β,则l m ⊥;②若αβ⊥,则l ∥m;③若l ∥m,则αβ⊥;④若l m ⊥,则α∥β.其中正确的命题的序号为 .
【答案】 ①③
【解析】 对于①,由l αα⊥,∥β,可知l β⊥,再由m β⊂即可知l m ⊥;对于②,画图很容易得知为假命题;对于③,由l ∥m l α,⊥可知m α⊥,再由m β⊂,可知αβ⊥;对于④,画图易知为假命题.
4.设a,b 是两条直线αβ,,是两个平面,则a b ⊥的一个充分条件是 .
①a b α⊥,∥βαβ,⊥
②a b αβα⊥,⊥,∥β
③a α⊂,b ⊥β,α∥β
④a b α⊂,∥βαβ,⊥
【答案】 ③
解析】 由b βα⊥,∥β,得b α⊥.又a α⊂,所以b a ⊥,故填③.
5.在正三棱锥P —ABC 中,PA=AB,D,E,F 分别是AB,BC,CA 的中点,有下列结论:
①BC ∥平面PDF;②DF ⊥平面PAE;③平面PDF ⊥平面ABC;④平面PAE ⊥平面ABC. 其中正确结论的序号是 .
【答案】 ①②④
【解析】 由题意,知BC ∥DF,且DF ⊂平面PDF,BC ⊄平面PDF,∴BC ∥平面PDF,故①正确; ∵BC PA AE BC PA ⊥,⊥,⊂平面PAE,AE ⊂平面PAE,且PA AE A ⋂=,
∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE.
又DF ⊂平面ABC,
∴平面PAE ⊥平面ABC.故②④正确.
6.如图所示,直线PA 垂直于圆O 所在的平面,△ABC 内接于圆O,且AB 为圆O 的直径,点M 为线段PB 的中点.现有以下命题:
①BC PC ⊥;②OM ∥平面APC;③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长. 其中真命题的个数为 . 【答案】 3 【解析】 ∵BC AC ⊥,又PA BC ⊥,∴BC ⊥平面PAC,
即③正确,而①②显然成立.
7.三个平面αβγ,,两两垂直,它们交于一点O,空间一点P 到三个面的距离分别为23,和25,则PO= .
【答案】 5
【解析】 把此模型想象成长方体的一个顶点到三个面的距离,PO 恰为该长方体的对角线长,故PO=222(2)(3)(25)5++=.
8.如图甲所示,在△ABC 中AB AC ,⊥,若AD BC ⊥,则2
AB =BD BC ⋅;如图乙所示,三棱锥A —BCD 中AD ,⊥平面ABC,若A 点在△BCD 所在平面内的射影为M,则有2ABC S =V BCM BCD S S ⋅V V .上述命题是 .
①真命题 ②增加条件AB AC ⊥后才是真命题 ③假命题 ④增加条件三棱锥A —BCD 是正三棱锥后才是真命题
【答案】 ①
【解析】 如图所示,连结DM 并延长交BC 于点E,
连结AE,则有DE ⊥BC.
∵AD ⊥平面ABC,
∴AD AE ⊥.又AM DE ⊥,
∴2AE EM ED =⋅. ∴221()2
ABC S BC AE =⋅V 11()()22
BC EM BC ED =⋅⋅⋅ BCM BCD S S =⋅V V .
9.(2011届江苏盐城一模)在直三棱柱ABC —111A B C 中90ABC ,∠=o
,E 、F 分别为11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点.
(1)求证:直线EF ∥平面ABD;
(2)求证:平面ABD ⊥平面11BCC B .
【证明】 (1)因为E 、F 分别为11A C 、11B C 的中点,所以EF ∥11A B ∥AB,
而EF 平面ABD AB ,⊂平面ABD,所以直线EF ∥平面ABD.
(2)因为三棱柱ABC —111A B C 为直三棱柱,所以AB ⊥1BB ,
又AB BC ⊥,而1BB ⊂平面11BCC B BC ,⊂平面11BCC B ,且1BB BC B ⋂=, 所以AB ⊥平面11BCC B ,
又AB ⊂平面ABD,所以平面ABD ⊥平面11BCC B .
10.如图,点P 为矩形ABCD 所在平面外一点,且PA ⊥平面ABCD.
(1)求证:BC ⊥平面PAB;
(2)过CD 作一平面交平面PAB 于EF,求证:CD ∥EF.
【证明】 (1)因为PA ⊥平面ABCD BC ,⊂平面ABCD,
所以PA BC ⊥.在矩形ABCD 中,有BC AB ⊥.
因为PA AB A ⋂=,所以BC ⊥平面PAB. (2)因为CD ∥AB CD ,平面PAB AB ,⊂平面PAB,所以CD ∥平面PAB.
又因为CD ⊂平面CDEF,平面CDEF ⋂平面PAB=EF,所以CD ∥EF.
11.如图,P,Q,R 是三棱锥A —BCD 的棱AC,BC,BD 的中点,过三点P,Q,R 的平面交AD 于S.
(1)求证:四边形PQRS 是平行四边形;
(2)已知AB 230AC AD BAC BAD ===,∠=∠=o ,试在棱AB 上找一点M,使平面MCD ⊥平面PQRS,并说明理由.
(1)【证明】 ∵PQ ∥AB,且12PQ AB AB =,在平面PQRS 外PQ ,⊂平面PQRS, ∴AB ∥平面PQRS.
又∵SR=平面PQRS ⋂平面ABD,
AB 在平面ABD 内,∴AB ∥SR.
∵R 是BD 中点,∴S 是AD 中点,
∴AB ∥SR 且12
SR AB =, ∴PQ ∥SR 且PQ=SR,故四边形PQRS 是平行四边形.
(2)【解】 取M 点,使3AM =即可.
理由如下:易知CM AB ⊥,
∵CM AB DM AB ⊥,⊥,CM ⋂DM=M,
⊥. ∴AB⊥平面MCD,从而AB CD
又∵AB∥PQ,QR∥CD,
⊥,⊥,
∴PQ CM PQ CD
⋂=.
由CM CD C
∴PQ⊥平面MCD,
又PQ⊂平面PQRS,
∴平面PQRS⊥平面MCD.。