圆周角定理

第 6课 圆周角定理
【学习目的】理解圆周角与圆心角、圆心角与所对弧的度数之间的关系，能熟练运用圆周角定理、圆心角定理解题。

【学习重点】能熟练运用圆周角定理、圆心角定理解题。

【学习难点】能熟练运用圆周角定理、圆心角定理解题。

【过程展示】
1、圆周角定理：
2、圆心角定理： 推论1：
推论2：
例1 如图，OA 是⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，
求证：D 是AB 的中点。

例2 如图，BC 为⊙O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 和AD 相交于
E ，求证：AE BE =。

你还有解以上各题的好方吗？
站在大家面前，勇敢地展示你的想法和解法吧！
你评、我评、大家评，评出精彩，评出智慧！
第6课时 圆内接四边形的性质与判定定理
1．圆内接四边形的性质定理
定理1 圆的内接四边形的对角_______。

定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的_________。

2．圆内接四边形的判定定理：
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点__________；
推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点______。

习题2.2
1．如图，AD 、BE 是△ABC 的两条高，求证：CED ABC ∠=∠。

B
A
C D
O
1．对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。

∠，且与BC、3．如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和CD相交于E，EG平分E
AD分别相交于F、G。

求证：CFG DGF
∠=∠。

第7课时圆的切线的性质及判定定理
1．切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

2．切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

习题2.3
1．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。

求证:AC与⊙O相切。

⊥，P是OA上任意一点，BP的延长线2．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA OB
=。

交⊙O于Q，过Q作OA的切线交OA的延长线于R，求证：RP RQ
3．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。

求证：DC是⊙O的切线。

第8课时 弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。

习题2.4
1． 如图，经过圆上的点T 的切线和弦AB 的延长线相交于点C 。

求证：ATC TBC ∠=∠。

2． 如图，⊙O 和⊙O '都经过A 、B 两点，AC 是⊙O '的切线，交⊙O 于点C ，AD 是
⊙O 的切线，交⊙O '于点D ，求证: 2
AB BC BD =∙。

第9课时 与圆有关的比例线段
相交弦定理：圆内两条相交弦，________________________________的积相等。

割线定理： 从圆外一点引圆的两条割线，________________________________的两条线段
长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是________________________________
的比例中项。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ;
圆心和这点的连线平分 的夹角。

习题2.5
1．两弦相交,一弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,求另一弦的长。

2．如图为一根轴的纵断图,求这根轴的全长。

3． 如图，点P 为⊙O 的弦AB 上的任意点，连接PO 。

PC OP ⊥，PC 交圆于C 。

求证：2
PA PB PC ∙=。

4． 如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心。

已知6PA =，
1
7
3
AB =，12PO =。

求⊙O 的半径。

5． 如图，⊙O 和⊙O '都经过点A 和点B ，PQ 切⊙O 于点P ，交⊙O '于Q 、M ，交AB
的延长线于N ，求证: 2PN NM NQ =∙。

6． 如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，过PA 的中点M 作割线交⊙O 于点B 和N 。

求证：MPB MCP ∠=∠。

7． 如图，已知AD 、BE 、CF 分别是△ABC 三边的高，H 是垂心，AD 的延长线交
△ABC 的外接圆于点G 。

求证：DH DG =。

8．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，
∙=∙。

=，DE交AB于点F。

求证：PF PO PA PB
AE AC
9．将例5的图2－32作如下变化：
以A为中心，把AC绕A逆时针旋转一个角度，连接EC并延长与圆相交于F，连接DC并延长与圆相交于G，连接FG（如图），其他条件同例5。

你能从这个图中推出∠=∠，又有什么结论？（可以在图中增添线段）。

哪些结论？如果BAD CAD
《几何证明选讲》检测题
一、选择题（每小题只有一个正确选项）
1． 如图，已知AD BE CF ，下列比例式成立的是（ ）
（A ）
AB AD
DE BE = （B ）
AB DE
EF BC = （C ）AC DF
EF BC
=
（D ）BC EF
AC DF
= 2． 下列各组的两个图形一定相似的是（ ）
（A ）对应边成比例的两个多边形 （B ）有一个角对应相等的两个菱形
（C ）等腰梯形的中位线分成的两个梯形 （D ）邻边之比都等于2的两个平行四边形
3． 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，
则△ADE 与四边形DECB 的面积之比是（ ） （A ）1∶3 （B ）1∶2 （C ）1∶5 （D ）1∶4
4． 四边形ABCD 是圆内接四边形，A ∠、B ∠、C ∠的度数之比为2∶3∶6，D ∠的度数
为（ ）
（A ）45
（B ）67.5
（C ）135
（D ）112.5
5． 如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且12PB BC =
，则PA PB
的值为（ ） （A ）2
（B ）
1
2
（C ）3
（D ）1
6． 如图，⊙O 的直径是AB ，弦CD 垂直平分OA ，垂足为E 点，则弧CAD 的度数是（ ） （A ）150 （B ）120 （C ）90 （D ）60
7． 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，且AC 、BD 交于点P 。

则此图形中一定相似的三
角形有（ ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
8． 半径为5cm 的圆内有两条平行弦，其长分别为6cm 和8cm ，则两平行弦之间的距离为
（ ）
（A ）1cm 或7cm （B ）1cm 或4cm （C ）1cm （D ）7cm 二、填空题
9． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 为圆周上一点，60AC =，
OD BC ⊥，D 为垂足，且10OD =，则AC = ，AB = 。

10．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，2CD =，3BD =，则BC =。

11．如图，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于B ，CD 切⊙O 于D ，交BA 的延长线于E 。

若3AB =，2ED =，则BC 的长为 。

12．△ABC 中，90C ∠=，30A ∠=，23AC =，则△ABC 外接圆的半径等于 。

三、解答题
13．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于点F ，
ECA D ∠=∠。

求证：AC BE CE AD ∙=∙。

14．如图，AD 是△ABC 的外角EAC ∠的平分线，AD 与△ABC 的外接圆交于点D ，N 为BC 延长线上一点，ND 交△ABC 的外接圆于点M 。

求证： ⑴DB DC =；⑵2
DC DM DN =∙。

15．如图，⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，AB 是⊙2O 的直径，过点A 作⊙1O 的切线交
⊙2O 于点E ，并与1BO 的延长线交于点P 。

PB 分别与⊙1O 、⊙2O 交于C 、D 两点。

求证：⑴PA PD PE PC ∙=∙⑵AD AE =。

四、探究题
16．如图，已知AB 为半圆的直径，O 为圆心，BE 、CD 分别为半圆的切线，切点分别为B 和C ，DC 的延长线交BE 于F ，AC 的延长线交BE 于E ，AD DC ⊥，D 为垂足。

根据这些条件，你能推出哪些结论？请你给出尽量多的结论。

第1题图
《几何证明选讲》综合复习题
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作 圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( ) A .15︒ B .30︒ C .45︒ D .60︒
2.在Rt ABC ∆中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ∆相似,则x =( ) A .0 B .1 C .2 D .3
3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( )
A .11cm
B .33cm
C .
66cm D .99cm
4.如图,在ABC ∆和DBE ∆中,5
3
AB BC AC DB BE DE ===,若ABC ∆与 DBE ∆的周长之差为10cm ,则ABC ∆的周长为( )
A .20cm
B .254cm
C .503cm
D .25cm
5.O 的割线PAB 交O 于,A B 两点,割线P C D 经过圆心,已知
22
6,12,3
PA PO AB ===,则O 的半径为( )
A .4
B .614-
C .614+
D .8
A B C
D
E
第4题图
P
C
A
B
Q 第11题图
第10题图 第9题图 6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,
且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2tan 2
θ
＝( )
A .13
B .1
4
C .423-
D .3
7.在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )
A .1:3
B .1:2
C .1:3
D .1:4
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
A .2
B .3
C .4
D .5
9.如图甲,四边形ABCD 是等腰梯形,//AB CD .由4个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形ABCD 中A ∠度数为 ( )
A .30︒
B .45︒
C .60︒
D .75︒
10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠 压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑 直径为10mm ,若所用钢珠的直径为26 mm ,则凹坑深度为( ) A .1mm B .2 mm C .3mm D .4 mm
11.如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且21
55
AP AB AC =+,AQ ＝23AB ＋14AC ,
则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为( )
A . 15
B . 45
C . 14
D . 1
3
12.如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的 离心率为 ( )
A ．12
B ．33
C ．32
D ．非上述结论
第12题图
∙
第 14 题图
O C
D
B A
第15题图 A C
P
D
O
E
F B 第18题图
第17题图
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________
14.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠C ＝720,⊙O 过A 、B 两点且 与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连结BD ,若BC ＝15-, 则AC ＝
15.如图,AB 为O 的直径,弦AC 、BD 交于点P ,
若3,1AB CD ==,则sin APD ∠=
16.如图为一物体的轴截面图,则图中R 的值
是
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
如图:,EB EC 是O 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是 O 上两点,如果46,32E DCF ∠=︒∠=︒,试求A ∠的度数.
18.(本小题满分12分)
如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,
E 为⊙O 上一点,AE AC =,DE 交AB 于点
F ,且42==BP AB , 求PF 的长度.
19.(本小题满分12分)
已知:如右图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,
135
R
180 30
第16题图 A
B C
E D
第19题图
第20题图 第21题图
O D G
C
A E
F B P AB ＝DC ,过点D 作AC 的平行线DE ,交BA 的延长线于
点E ．求证：(1)△ABC ≌△DCB (2)DE ·DC ＝AE ·BD ．
20.(本小题满分12分)
如图,△ABC 中,AB=AC ,AD 是中线,P 为AD 上一点,CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ,求证: PB 2=PE •PF ．
21.(本小题满分12分)
如图,A 是以BC 为直径的O 上一点,AD BC ⊥于点D ,
过点B 作O 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，是AD
的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F ,
延长AF 与CB 的延长线相交于点P . (1)求证:BF EF =； (2)求证:PA 是O 的切线；
(3)若FG BF =,且O 的半径长为32,求BD 和FG 的长度. ．
22.(本小题满分14分)
如图1,点C 将线段AB 分成两．部分,如果AC BC
AB AC =,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割
线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为S 的图形分成两部
分,这两部分的面积分别为1S ,2S ,如果121
S S
S S =,那么称直线l 为该图形的黄金分
割线.
(1)研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2),则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗?为什么?
(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ,再过
点D 作直线DF CE ∥,交AC 于点F ,连接EF (如图3),则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．
(4)如图4，点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线.请你画一条ABCD 的黄金分割线,使它不经过ABCD 各边黄金分割点.
三年高考题
1．( 2007广东理) (几何证明选讲选做题)
如图所示，圆O 的直径6=AB ，C 为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝ ，线段AE 的长为 ．
2．(2007海南宁夏)（Ａ（本小题满分10分）
如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．
（Ⅰ）证明A
P O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小． 3．(2008广东文、理)已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =，AC 是圆O 的直径, PC 与圆O 交于点B ,1PB =, 则圆O 的半径R =_______．
第22题图
4．(2008海南、宁夏文、理)如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP 垂直直线OM ，垂足为P ． （1）证明：OM·OP = OA 2；
（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点。

过B 点的切线交直线ON 于K ．证明：∠OKM = 90°．
5．(2008江苏) 如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与
BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求
证：2
ED EB EC =． 6．（09广东15几何证明选讲选做题）
如图，点,,A B C 是圆O 上的点，且4,45A B A C B =∠=︒，则圆O 的面积等于
．
7．09辽宁（22）（本小题满分10分）
已知∆ABC 中，AB=AC, D 是∆ABC 外接圆劣弧AC 上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E ．
⑴求证：AD 的延长线平分∠CDE ；
⑵若∠BAC=30，∆ABC 中BC 边上的高为2+3，求∆ABC 外接圆的面积．
8．（09宁夏海南）如图，已知ABC ∆的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，0
60B ∠=，F 在AC 上，
且AE AF =．
⑴证明：B,D,H,E 四点共圆： ⑵证明：CE 平分DEF ∠．。