2021版高考数学一轮温习矩阵与变换课时训练选修42

选修4­2 矩阵与变换
第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法
1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22－1，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥
⎥⎤31知足AX ＝B ，求矩阵X .
解：设X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 22－1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤31得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝3，2a －b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，所以X ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤11. 2. 已知变换矩阵A ：平面上的点P(2，－1)，Q(－1，2)别离变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0，5)，求变换矩阵A .
解：设所求的变换矩阵A ＝
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤
a b c d ，依题意，可得
⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
05， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2，
所以所求的变换矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
21－12.
3. 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－4 3，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
4－1－3 1，求二阶矩阵X ，使MX ＝N .
解：设X ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x y z w ，
由题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－4 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
4－1－3 1，
按照矩阵乘法法则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝4，
2y －w ＝－1，
－4x ＋3z ＝－3，
－4y ＋3w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92
，y ＝－1，z ＝5，w ＝－1.
∴ X ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
92
－15－1. 4. 曲线x 2
＋4xy ＋2y 2
＝1在二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1a b 1的作用下变换为曲线x 2－2y 2
＝1，求
实数a ，b 的值．
解：设P(x ，y)为曲线x 2－2y 2＝1上任意一点，P ′(x′，y ′)为曲线x 2＋4xy ＋2y 2
＝1 上
与P 对应的点，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＝x′＋ay′，y ＝bx′＋y′，代入x 2－2y 2＝1得(x′＋ay′)2
－2(bx′＋y′)2＝1，整理得(1－2b 2)x′2＋(2a －4b)x′y′＋(a 2－2)y′2
＝1，
又x′2＋4x′y′＋2y′2
＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2b 2
＝1，2a －4b ＝4，a 2－2＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0.
5. (2021·扬州中学期初)已知点M(3, －1)绕原点按逆时针旋转90°后，在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，取得点N(3，5)，求a ，b 的值． 解：由题意，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
13，
又⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
35，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧a ＝3，2＋3b ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.
6. 已知曲线C: y 2
＝2x 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1002对应的变换作用下取得曲线C 1，C 1在矩阵N
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0－11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程． 解：设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0－21 0，设P ′(x′，y ′)是曲线C 上
任一点，在两次变换作用下，在曲线C 2上的对应点为P(x, y)，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－21 0⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x′y′＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－2y′ x′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y′，y ＝x′，∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝－12x.
又点P′(x′，y ′)在曲线C: y 2
＝2x 上，
∴ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12x 2
＝2y ，即曲线C 2的方程为y ＝18x 2.
7. 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2
＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下取得的曲线
为x 2＋y 2
＝1.求实数a ，b 的值．
解：设曲线2x 2＋2xy ＋y 2
＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应变换作用下取得点P′(x′，y ′)，则
⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax bx ＋y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x′y′， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，bx ＋y ＝y′.
因为x ′2＋y ′2＝1，所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，即(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2
＝1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2.解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. 8. 求圆C ：x 2＋y 2
＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5002对应的变换作用下所得的曲线的方程．
解：设圆C 上任一点(x 1，y 1)在矩阵A 对应的变换作用下取得点(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤5002⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤
x 1y 1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ，则x 1＝x 5，y 1＝y 2，代入x 2＋y 2
＝1得所求曲线的方程为x 225＋y 2
4＝1.
9. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤11201.若矩阵AB 对应的变换把直线l ：x ＋y －2＝0变成直线l′，求直线l′的方程．
解：∵ A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1002，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤
11201， ∴ AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢
⎢⎡
⎦⎥⎥⎤11201＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤11202. 在直线l′上任取一点P(x ，y)，设它是由l 上的点P 0(x 0，y 0)经矩阵AB 所对应的变换作用所得，∵ 点P 0(x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －2＝0上，∴ x 0＋y 0－2＝0 ①.
又AB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤11202⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0
y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，
∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋12y 0＝x ，2y 0＝y ，
∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝x －1
4y ，y 0＝12
y ②.
将②代入①得x －14y ＋1
2
y －2＝0，即4x ＋y －8＝0，
∴ 直线l′的方程为4x ＋y －8＝0.
10. 在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，3)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1234对应的变换作用下取
得点Q(y －4，y ＋2)，求M 2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y . 解：依题意，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
y －4y ＋2，
即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6＝y －4，3x ＋12＝y ＋2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝10， M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7101522，
所以M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7101522⎣⎢⎡⎦⎥⎤010＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤100220. 11. 已知曲线C 1：x 2＋y 2
＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1002对应的变换，再作矩阵B ＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0m 10对应的变换，取得曲线C 2：x 24＋y 2
＝1，求实数m 的值． 解：BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0m 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
02m 10，设P(x 0，y 0)是曲线C 1上的任一点，它在矩阵
BA 变换作用下变成点P ′(x′，y ′)，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02m 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2my 0x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2my 0，y ′＝x 0，即⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝y′，y 0＝1
2m x′.又点P 在曲线C 1上，则y ′2
＋x ′2
4m 2＝1，所以m 2
＝1，所以m ＝±1.
第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量 1. 已知变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x ＋2y y ，试写出变换T 对应的矩阵A ，并求出其逆矩阵A
－1
.
解：由T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1201.
设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则AA －1
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2c b ＋2d c
d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以
⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，c ＝0，d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝－2，
c ＝0，
d ＝1.
所以A －1
＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1－20 1.
2. (2021·苏北四市期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1a －1b 的一个特征值为2，其对应的一个特
征向量为α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
21.求实数a ，b 的值．
解：由条件知，Aα＝2α，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2＋a －2＋b ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
42，
所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，
b ＝4.
3. (2021·扬州期末)已知a ，b ∈R ，若点M(1，－2)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤a 1b 4对应的变换作
用下取得点N(2，－7)，求矩阵A 的特征值．
解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2－7，即
⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝2，b －8＝－7，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1， 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4114，所以矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－4－1－1λ－4＝λ2
－8λ
＋15.
令f(λ)＝0，解得λ＝5或λ＝3，即矩阵A 的特征值为5和3.
4. 已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
32，求矩阵A . 解：由特征值、特征向量概念可知，A α1＝λ1α1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1－1，
得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.同理可得⎩
⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.
因此矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2321. 5. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤302a ，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤130b 1，求A 的特征值． 解：∵AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001 , ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤302a ⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤130b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，
则⎩⎪⎨⎪⎧23＋ab ＝0，a ＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－23，
∴ A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3021 ，A 的特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3
0－2λ－1＝(λ－3)(λ－1)．
令f(λ)＝0，解得λ＝3或λ＝1. ∴ A 的特征值为3和1.
6. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1.若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，求该矩
阵的另一个特征值．
解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11，则⎩
⎪⎨
⎪⎧a ＋2＝3，b ＋1＝3， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221.
由f(λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2
－4＝0，
所以(λ＋1)(λ－3)＝0，解得λ1＝－1，λ2＝3. 所以另一个特征值是－1.
7. 已知a ，b ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a b 14，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1，属于特征值5的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵． 解：由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3－1，
得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 14⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1， ∴ 3a －b ＝3.①
由矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，
得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 14⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， ∴ a ＋b ＝5.②
联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，即A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2
314. ∴ A 的逆矩阵A
－1
＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤4
5－35－15
25
. 8. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232的一个特征向量．
(1) 求实数a 的值； (2) 求矩阵M 的特征值．
解：(1) 设⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
23是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
23，故⎩⎪⎨
⎪⎧2a ＋6＝2λ，12＝3λ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝4，a ＝1.∴ a ＝1. (2) 令f(λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－1－2－3λ－2＝(λ－1)(λ－2)－6＝0，解得 λ1＝4，λ2＝－1.
9. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
21－13将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l′.
(1) 求直线l′的方程；
(2) 判断矩阵A 是不是可逆．若可逆，求出矩阵A 的逆矩阵A －1
；若不可逆，请说明理由．
解：(1) 在直线l 上任取一点P(x 0，y 0)，设它在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
21－13对应的变换作用下
变成Q(x ，y)．
∵ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ， ∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0＋y 0，
y ＝－x 0＋3y 0，即⎩
⎪⎨⎪
⎧x 0＝3x －y 7，
y 0＝x ＋2y 7
.
∵ 点P(x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －1＝0上， ∴ 3x －y 7＋x ＋2y 7
－1＝0，
即直线l′的方程为4x ＋y －7＝0.
(2) ∵ det(A )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
21－13＝7≠0，
∴ 矩阵A 可逆．
设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ，∴ AA －1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1001，
⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，2c ＋d ＝0，－a ＋3b ＝0，－c ＋3d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝37
，b ＝1
7
，c ＝－17，
d ＝27，
∴ A
－1
＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤37－17
17
2
7
. 10. 在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x ，5)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1234对应的变换作用下取
得点Q(y －2，y)，求M －1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y . 解：依题意，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 5＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
y －2y ，
即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝y －2，3x ＋20＝y ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝8， 由逆矩阵公式知，
矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1234的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32
－12，
所以M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32
－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 8＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤ 16－10. 11. (2021·南通、泰州期末)已知向量⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－1是矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量．在
平面直角坐标系xOy 中，点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变成P′(3，3)，求矩阵A .
解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
a b c d ，
因为向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－1是矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量，
所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝(－1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1.
所以⎩
⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1.
因为点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变成P′(3，3)，
所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤33，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，
b ＝2，
c ＝2，
d ＝1，
所以A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1 2
2 1.。