高考数学压轴专题2020-2021备战高考《坐标系与参数方程》难题汇编含答案

【最新】数学《坐标系与参数方程》专题解析(1)
一、13
1．如图，扇形的半径为1，圆心角150BAC ∠=︒，点P 在弧BC 上运动，
AP mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v
，则3m n -
的最大值是（）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．23
【答案】C 【解析】 【分析】
以A 为原点可建立坐标系，设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o
；根据AP mAB nAC
=+u u u v u u u v u u u v 可求得cos 3sin 2sin m n θθθ
⎧=+⎪⎨
=⎪⎩，从而得到()
32sin 60m n θ-=+o
，利用三角函数值域求
解方法可求得结果. 【详解】
以AB 为x 轴，以A 为原点，建立坐标系，如下图所示：
设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o ，则()0,0A ，()10B ,，31,22C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
()cos ,sin AP θθ∴=u u u v ，()1,0AB =u u u v ，3122AC ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v
AP mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v Q 3
cos 21sin 2m n n
θθ⎧=-⎪⎪∴⎨
⎪=⎪⎩
，解得：cos 32sin m n θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()33sin 2sin 60m n θθθ∴-=+=+o
0150θ≤≤o o Q 6060210θ∴≤+≤o o o ()1sin 6012
θ∴-≤+≤o
132m n ∴-≤-≤，即3m n -的最大值为2
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题.
2．在极坐标中，为极点，曲线：
上两点
对应的极角分别为
，则
的面积为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、
，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出
的面积。

【详解】 依题意得：、
，
，
所以，故选：A 。

【点睛】
本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。

3．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：20y kx ++=与曲线C ：
2cos ρθ=相交，则k 的取值范围是( )
A ．34
k <-
B ．34
k ≥-
C ．k R ∈
D ．k R ∈但0k ≠
【答案】A 【解析】
分析：一般先将原极坐标方程2cos ρθ=两边同乘以ρ后，把极坐标系中的方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．
详解：将原极坐标方程2cos ρθ=，化为：2
2cos ρρθ=，
化成直角坐标方程为：22
20x y x +-=，
即22(1)1x y -+=．
则圆心到直线的距离d =
由题意得：1d <
，即1d =<，
解之得：34
k <-． 故选A ．
点睛：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用
cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，进行代换即得．
4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为sin x y θ
θ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数），直线l
的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） A
B
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
设曲线C
上任意一点的坐标为
),sin θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公
式可得出曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值. 【详解】
设曲线C
上任意一点的坐标为
)
,sin θθ，
所以，曲线C 上的一点到直线l
的距离为
d =
=
42sin πθ⎛⎫-+ ⎪= 当()232
k k Z π
π
θπ+
=
+∈时，d
取最小值，且min d =
= B. 【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.
5．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中
取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是1
3x t y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数），圆C 的极坐标方程
是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）
A B ．
C
D ．【答案】D 【解析】 【分析】
先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】
由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，
圆心到直线l 的距离d =，
直线l 被圆C 截得的弦长为= 【点睛】
(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式
||AB =.
6．已知曲线C 的极坐标方程为：22cos 2sin 0ρρθρθ--=，直线l 的极坐标方程为：
4
π
θ=
（ρ∈R ），曲线C 与直线l 相交于A B 、两点，则AB 为（ ）
A B ．
C D ．【答案】B 【解析】 【分析】
把圆和直线的极坐标方程都转化成直角坐标方程，可得弦AB 过圆心，则2AB r =。

【详解】
因为曲线C 的极坐标方程为：2
2cos 2sin 0ρρθρθ--=
所以曲线C 的直角坐标方程为2
2
220x y x y +--=，即22
(1)+（y-1）2x -=，以
（1，1）为圆心，半径r =
l 的极坐标方程为：4
π
θ=
（ρ∈R ），所以直线l 的直角坐标方程为y x =。

因为直线y x =经过圆心（1，1），所
以弦AB 为直径，且有2AB r ==B 。

【点睛】
本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，解决题目的关键是判断出弦AB 经过圆点，从而 AB 为直径。

7．直线34x t
y t
=-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P 的点的坐标是( )
A ．()4,3
B ．()4,5-或()0,1
C ．()2,5
D ．()4,3或()2,5
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
因为直线3(4x t
t y t
=-⎧⎨
=+⎩为参数），
所以设直线上到点(3,4)P 的点的坐标是(3,4)t t --，
=1t =±，
代入直线的参数方程，得点的坐标为(4,3)或(2,5)，故选D.
8．在极坐标系中，点(),ρθ与(),ρπθ--的位置关系为（ ） A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合 D ．关于直线()2
R π
θρ=
∈对称
【答案】A 【解析】 【分析】
由点(),ρπθ--和点(,)ρθ-为同一点. 则比较点(,)ρθ-和点(),ρθ，可推出点(),ρθ与
(),ρπθ--的位置关系.
【详解】
解：点(),ρπθ--与点(),ρθ-是同一个点，(),ρθ-与点(),ρθ关于极轴对称.∴点
(),ρθ与(),ρπθ--关于极轴所在直线对称.
故选：A. 【点睛】
考查极坐标的位置关系.题目较为简单，要掌握极坐标的概念.
9．如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH ……叫作“正方形的渐开线”，其
中¶AE ，¶EF ，·FG
，¶GH ，……的圆心依次按,,,B C D A 循环，则曲线AEFGH 的长是（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．5π
D ．6π
【答案】C 【解析】 【分析】
分别计算»AE ，»EF
，»FG ，¼GH 的大小，再求和得到答案. 【详解】
根据题意可知，»AE 的长度
2
π，»EF 的长度为π，»FG
的长度为32π，¼GH 的长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π. 【点睛】
本题考察了圆弧的计算，意在考察学生的迁移能力和计算能力.
10．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( ) A ．1 B ．1- C 21 D ．21-
【答案】C 【解析】 【分析】
设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论 【详解】
设2
2
(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,
则2312sin 1214x y cos sin sin cos πααααα⎛
⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝
⎭,
故选：C 【点睛】
本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值
11．椭圆22
1164
x y +=上的点到直线220x y +-=的最大距离是（ ）
A ．3
B 11
C ．22
D 10
【答案】D 【解析】【分析】
设椭圆
22
1
164
x y
+=上的点P（4cosθ，2sinθ
），由点到直线20
x y
+=的距离公
式，计算可得答案．【详解】
设椭圆
22
1
164
x y
+=上的点P（4cosθ，2sinθ）
则点P
到直线20
x y
+=的距离
=
，
max
d==，故选D．
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
12．已知圆的极坐标方程为4sin
4
P
π
θ⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，则其圆心坐标为（）
A．2,
4
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．
3
2,
4
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
C．2,
4
π
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
D．()
2,0
【答案】B
【解析】
【分析】
把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.
【详解】
由题意知，圆的极坐标方程为4sin
4
π
ρθ⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，即ρθθ
=-，
即2sin cos
ρθθ
=-
，所以220
x y
++-=，
所以圆心坐标为(，
又由
cos
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
，可得圆心的极坐标为
3
(2,)
4
π
，故选B.
【点睛】
本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直
角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
13．在极坐标系中，曲线C 的方程为2
23
12sin ρθ
=
+，以极点O 为直角坐标系的原点，
极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）
A ．1⎡⎤⎣⎦
B ．[]3,1-
C ．[]22-,
D ．[]
2,1--
【答案】B 【解析】 【分析】
将曲线C 的方程2
2
312sin ρθ=+化为直角坐标形式，可得2
213
x y +=，设
x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.
【详解】
解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程2
23
12sin ρθ
=
+，
可得：2
2
2
2sin 3ρρθ+=，即2
2
33x y +=，2
213
x y +=
设x α=，sin y α=，
可得1sin 1sin )12sin()1213
x y π
ααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.
14．已知(,)P x y 是椭圆sin x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，则点P 到40x --=的距离的最
大值为（ ）
A ．
42
+ B ．2
C ．
42
- D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
设点,sin )P αα，求得点P
到直线的距离为d =
数的性质，即可求解. 【详解】
由题意，点(),P x y
是椭圆x y sin α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩上任意一点，
设点,sin )P αα，
则点P
到直线40x --=
的距离为
d =
=
当cos()14
π
α+=-时，距离d
A. 【点睛】
本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应
用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
15．在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -
，(0B ,()30C ，
，动点D 满足1CD =u u u r
, 则OA OB OD ++u u r u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A ．[]
46，
B
．⎤⎦ C
．⎡⎣
D
．⎤⎦
【答案】D 【解析】
试题分析：因为C 坐标为()
3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则
D 满足参数方程3cos {
sin D D x y θθ
=+=(θ为参数且[
)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,
则
OA OB OD ++=
u u u r u u u r u
u u r
=
因为2cos θθ+的取值范围为⎡⎡=⎢⎣⎣
1=
=1=
=,所以
OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的取值范围为1⎤=⎦,故选D.
考点：参数方程 圆 三角函数
16．方程sin cos k ρθθ=++ 的曲线不经过极点，则k 的取值范围是（ ）
A ．0k ≠
B ．k R ∈
C ．k >
D ．k …
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可知，极点不在方程表示的sin cos k ρθθ=++曲线上，可知sin cos k θθ+=-无
解，利用辅助角公式得出4sin cos πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，结合正弦函数的性质，即可得
出k 的取值范围. 【详解】
当0ρ=时，sin cos k θθ+=-，则此方程无解
由4sin cos πθθθ⎛
⎫+=+≤ ⎪⎝
⎭k >时，方程无解.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了点与直线的位置关系，涉及了正弦函数的性质，属于中档题.
17．参数方程22sin { 12x y cos θ
θ
=+=-+ (θ为参数)化成普通方程是( )
A ．240x y -+=
B ．240x y +-=
C ．[]240,2,3x y x -+=∈
D ．[]
240,2,3x y x +-=∈ 【答案】D 【
解
析
】
试
题
分
析
：
2cos212sin θθ
=-Q ,
22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2y θ∴=-
,代入2
2sin x θ=+可得22
y x =-,整理可得240x y +-=.[]2
sin
0,1θ∈Q ,[]22sin 2,3θ∴+∈,即[]2,3x ∈.
所以此参数方程化为普通方程为[]
240,2,3x y x +-=∈.故D 正确. 考点：参数方程与普通方程间的互化.
【易错点睛】本题主要考查参数方程与普通方程间的互化,属容易题.在参数方程与普通方程间的互化中一定要注意x 的取值范围,否则极易出错.
18．已知1F ，2F 分别是椭圆22
22:1x y C a b
+=(0,0)a b >>的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于D 、E 两点，115,DF F E
=2DF =2DF x ⊥轴.若点P 是圆
22:1O x y +=上的一个动点，则12PF PF ⋅的取值范围是（ ）
A ．[3,5]
B ．[2,5]
C ．[2,4]
D ．[3,4]
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得,D E 两点坐标，代入椭圆方程可求出椭圆的焦点，然后设()cos ,sin P θθ， 利用两点间的距离公式以及三角函数的性质可求出12PF PF ⋅的范围.
【详解】
由题意可知，(D c
，7,5E c ⎛- ⎝⎭，
将,D E 代入椭圆方程得222222222
2112492412525c c a b a c b a b ⎧⎧+=⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎩， 所以()12,0F -，()22,0F ，
设()cos ,sin P θθ， 则
12PF PF ⋅== 所以12PF PF ⋅的取值范围是[3,5].
故选：A
【点睛】
本题考查了椭圆的性质，考查了转化与化归的思想，同时考查了圆的参数方程以及三角函数的性质，属于中档题.
19．在极坐标系中，点2,
6π⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是( )
A B ．3 C ．1
D ．2 【答案】C
【解析】
【分析】
先将点的极坐标化成直角坐标，直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离求解．
【详解】 在极坐标系中，点2,
6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，1）， 直线ρsin （θ﹣6
π）＝1化为直角坐标方程为x
+2＝0，
1）到x
+2＝0
的距离1=，
即点（2，
6π）到直线ρsin （θ﹣6
π）＝1的距离为1， 故选C ．
【点睛】 本题考查直角坐标和极坐标的互化，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题.
20．已知二次函数()()2
1211y a a x a x =+-++，当1,2,3,,,a n =L L 时，其抛物线在x 轴上截得线段长依次为12,,,,n d d d L L ，则()12lim n n d d d →+∞
+++K 的值是 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】
当a n =时，()()21211y n n x n x =+-++
，运用韦达定理得
()1211111
n d x x n n n n =-====-++，运用裂项相消求和可得12.n d d d ++⋯+由此能求出()12lim n n d d d →+∞
+++K 【详解】
当a n =时，()()21211y n n x n x =+-++，
由()()212110n n x n x +-++=，可得()12211n x x n n ++=+，()
1211x x n n =+，
由()1211111
n d x x n n n n =-====-++， 1211111111112233411
n d d d n n n ∴++⋯+=-+-+-+⋯+-=-++． ∴()121lim lim 111n n n d d d n →+∞→+∞⎛⎫+++=-= ⎪+⎝⎭
K
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了函数的极限的运算，裂项相消求和，根与系数的关系，属于中档题．。