高考数学一轮复习 专题31 数列求和教学案 理-人教版高三全册数学教学案

专题31 数列求和
1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。

1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法
①等差数列的前n 项和公式
S n ＝n （a 1＋a n ） 2
＝na 1＋n （n －1）2
d ．
②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；
(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q
.
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝ (－1)n
f (n )类型，可采用两项合并求解．
例如，S n ＝1002
－992
＋982
－972
＋…＋22
－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式
(1)
1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
.
(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.
(3)
1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n .
高频考点一 分组转化法求和
例1、(2016·某某卷)已知{a n }是等比数列，前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且1a 1－1a 2＝2
a 3
，S 6＝63.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)若对任意的n ∈N ＋，b n 是log 2a n 和log 2a n ＋1的等差中项，求数列{(－1)n b 2
n }的前2n 项和.
【方法规律】(1)若数列{}的通项公式为＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分
组求和法求数列{}的前n 项和.
(2)若数列{}的通项公式为＝⎩
⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，
b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采
用分组求和法求{a n }的前n 项和.
【变式探究】 (1)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1
2n ，…的前n 项和S n 的值等于( )
A.n 2
＋1－12n
B.2n 2
－n ＋1－12n
C.n 2
＋1－12
n －1
D.n 2
－n ＋1－12
n
(2)数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π
2
，其前n 项和为S n ，则S 2 016等于( ) A.1 008
B.2 016
C.504
D.0
【答案】 (1)A(2)A
高频考点二 错位相减法求和
例2、(2016·某某卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2
＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋
1
.
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令＝（a n ＋1）
n ＋1
（b n ＋2）
n .求数列{}的前n 项和T n .
【解析】 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式. 所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.
(2)由(1)知，＝（6n ＋6）n ＋1
（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2
n ＋1.
. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋.
得T n ＝3×[2×22
＋3×23
＋…＋(n ＋1)×2n ＋1
].
2T n ＝3×[2×23
＋3×24
＋…＋(n ＋1)×2n ＋2
].
两式作差，得
－T n ＝3×[2×22
＋23
＋24
＋…＋2
n ＋1
－(n ＋1)×2
n ＋2
]
＝3×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4＋4（1－2n ）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2. 所以T n ＝3n ·2
n ＋2
.
【方法规律】(1)一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.
【变式探究】 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2
－5x ＋6＝0的根. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 2n 的前n 项和.
高频考点三裂项相消法求和
例3、S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0，a2n＋2a n＝4S n＋3.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设b n＝1
a n a n＋1
，求数列{b n}的前n项和.
【方法规律】(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.
(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
【变式探究】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；
(2)设b n ＝1
S n
，求数列{b n }的前n 项和为T n .
【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，
由题意得⎩
⎪⎨⎪
⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，
解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.
(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）
2
d ＝n (n ＋2)，
∴b n ＝
1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋2.
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1
2－1n ＋1－1n ＋2
＝34－12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n ＋1＋1n ＋2.
【举一反三】在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2
n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12.
(1)求S n 的表达式； (2)设b n ＝
S n
2n ＋1
，求{b n }的前n 项和T n .
1.【2016高考某某理数】（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2
+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令1
(1).(2)
n n n n
n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知11
(66)3(1)2(33)
n n n n
n c n n +++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，
得2341
3[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，
345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，
两式作差，得
234123[22222(1)2]
n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯
22
4(21)
3[4(1)2]
21
32n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅ 所以223+⋅=n n n T
【2015某某高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1
{n
a 的前10项和为 【答案】
2011
【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-+
+-+=+-+
++=
所以
101111220
2(),2(1),11111
n n n S S a n n n n =-=-==+++
【2015高考某某，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足
212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且 233445,,a a a a a a 成等差数列.
(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221
log ,n
n n a b n N a -=
∈，求数列n b 的前n 项和. 【答案】(I)12
22,2,.
n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩
为奇数,
为偶数; (II)1242n n n S -+=-.
(II) 由(I)得22121log 2
n n n n a n
b a --=
=，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则
0121
1111
1232222
n n S n -=⨯
+⨯+⨯++⨯， 1231111112322222
n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ 两式相减得
2311
111111*********
2222212
n n n n n n n n n n S --
=+++++-=-=---， 整理得1
2
42n n n S -+=-
所以数列{}n b 的前n 项和为1
2
4,*2n n n N -+-∈. 【2015高考某某，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1
{
}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000
n T -<成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n
n a =；（2）10.
（2）由（1）得
112
n n a =. 所以23
11[1()]1111122112222212
n n n n
T -=
++++==--. 由1|1|1000n T -<
，得11|11|21000
n --<，即21000n
>. 因为9
10
2512100010242=<<=， 所以10n ≥. 于是，使1
|1|1000
n T -<
成立的n 的最小值为10. 【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2
n n a a +=43n S +.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）
11
646
n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，
当
2
n ≥时，
22
11
n n n n a a a a --+--=
14343
n n S S -+--=
4n
a ，即
111()()2()
n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为
0n a >，所以
1
n n a a --=2，
所以数列{n
a }是首项为3，公差为2的等差数列，
所以
n a =21n +；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =
1111
()(21)(23)22123
n n n n =-++++，
所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111
[()()(
)]23557
2123
n n -+-+
+-++ =
11
646
n -
+. 1．（2014·某某卷）已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *
)满足
a n
b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.
(1)令＝a n
b n
，求数列{}的通项公式； (2)若b n ＝3
n －1
，求数列{a n }的前n 项和S n .
2．（2014·全国卷）等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
3．（2014·某某卷）已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)
n －1
4n
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
【解析】 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12
×2＝2a 1＋2，
S 4＝4a 1＋
4×3
2
×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2
＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知，
b n ＝(－1)n －1
4n
a n a n ＋1
＝(－1)n －1
4n
（2n －1）（2n ＋1）
＝(－1)
n －1
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，
T n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫
1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝
⎛1
2n －3＋
⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12n －1＋12n ＋1
＝1－1
2n ＋1
＝2n
2n ＋1
. 当n 为奇数时，
T n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫
1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝
⎛⎭⎪⎫
1
2n －3＋12n －1＋⎝
⎛⎭
⎪
⎫
12n －1＋12n ＋1
＝1＋1
2n ＋1
＝2n ＋2
2n ＋1
. 所以T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n
2n ＋1，n 为偶数.
⎝ ⎛⎭
⎪⎫或T n
＝2n ＋1＋（－1）
n －1
2n ＋1
4．（2013·某某卷）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2
n －(n 2
＋n －1)S n －(n 2
＋n)＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n∈N *，都有T n <
564
.
5．（2013·某某卷）设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n∈N *
，则
(1)a 3＝________；
(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．
6．（2013·某某卷）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令＝b 2n (n∈N *
)，求数列{}的
前n 项和R n .
【解析】：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1
得⎩
⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1， 解得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1，n∈N *
.
(2)由题意知T n ＝λ－n 2n －1，所以n≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n 2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.
故＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n －1，n∈N *
.
所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143
＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n －1
，
则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，
两式相减得
34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n
1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n
＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ， 整理得R n ＝194－3n ＋14
n －1.
所以数列{}的前n 项和R n ＝194－3n ＋1
4
n －1.
1.等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
S n n 的前10项的和为( )
A.120
B.70
C.75
D.100
【答案】 C
【解析】析 因为S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×9
2＝75.
2.数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1
·n ，则S 17＝( )
A.9
B.8
C.17
D.16
【答案】 A
3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1
·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )
A.200
B.－200
C.400
D.－400
【答案】 B
【解析】析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
4.已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( ) A.5 B.6 C.7 D.16
【答案】 C
【解析】析 根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第
7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.
又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.
5.已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n(n∈N＋)，则S2 016＝( )
A.22 016－1
B.3·21 008－3
C.3·21 008－1
D.3·21 007－2
【答案】 B
【解析】a1＝1，a2＝2
a1＝2，又
a n＋2·a n＋1
a n＋1·a n
＝
2n＋1
2n
＝2.∴
a n＋2
a n
＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；
a2，a4，a6，…成等比数列，
∴S2 016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 015＋a2 016
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 016)
＝1－21 008
1－2
＋
2（1－21 008）
1－2
＝3·21 008－3.故选B.
6．在等差数列{a n}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|a n|}的前18项和T18的值是________．
【答案】60
【解析】析由a1＞0，a10·a11＜0可知d＜0，a10＞0，a11＜0，
∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18
＝S10－(S18－S10)＝60.
7．整数数列{a n}满足a n＋2＝a n＋1－a n (n∈N*)，若此数列的前800项的和是2013，前813项的和是2000，则其前2015项的和为________．
【答案】－13
8．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N*,2S n＝a2n＋a n，令b n＝
1
a n a n＋1＋a n＋1a n
，设{b n}
的前n项和为T n，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为________．【答案】9
9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，
a 2－1＝4，a 2－1
a 1－1
＝2，
∴a n －1＝2·2
n －1
＝2n ，∴a n ＝2n
＋1.
(2)b n ＝na n ＝n ·2n
＋n ，
故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22
＋3×23
＋…＋n ·2n
)＋(1＋2＋3＋…＋n )．
令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n
， 则2T ＝22
＋2×23
＋3×24
＋…＋n ·2
n ＋1
.
两式相减，得－T ＝2＋22
＋23
＋ (2)
－n ·2n ＋1
＝
21－2n
1－2
－n ·2
n ＋1
，
∴T ＝2(1－2n
)＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1
.
∵1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12
， ∴T n ＝(n －1)·2
n ＋1
＋
n 2＋n ＋4
2
.
10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2
n －(n 2
＋n －1)S n －(n 2
＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝
n ＋1n ＋2
2a 2
n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *
，都有T n <564
.
11.已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋1
2a n ＝1(n ∈N ＋).
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N ＋)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1
b n b n ＋1
，求T n .
【解析】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1， 由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23
，
当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－1
2a n －1，
则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝1
2(a n －1－a n )，
所以a n ＝1
3
a n －1(n ≥2).
故数列{a n }是以23为首项，1
3为公比的等比数列.
故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n (n ∈N ＋).。