部编版数学五年级上册第6讲.神奇的9.优秀A版

（2）法 1：本题可用找规律方法：
3×6=18 ； 33 × 66 =2178 ；333 × 666 =221778；3333 × 6666 =22217778；……
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所以： 33....36 6....6 22...217 7...7 8 ，则原式数字之和 2 6 1 7 6 8 63
且末位不是 0；令 M= abcdef
则 M×999999=M×（1000000-1）=1000000M-M
= abcdef 000000 - abcdef
相减时借位 6 次，所以差的数字之和为（a+b+c+d+e+f）-（a+b+c+d+e+f）+6×9=54
（4） M 999...9 1000 M M 相减时借位 k 次，因此差的数字之和为：M 的数字之和
22222220000000 2222222 两式相减，借位 7 次，所以差的数字之和为 6-6+9×7=63 （3）我们可以先求出 1993×123 的乘积，再计算与(1000000-1)的乘积，但是 1993×123 还是有点繁琐． 设 1993×123=M，则(1000×123=)123000<M<(2000×123=)246000，所以 M 为 6 位数，并
则 2 0 2 a b 8 9 17 ， 其 中 满 足 除 以 9 余 1 的 只 有 10 ， 所 以 a b 10 ，
第+十+一+届+华+杯+赛45 a b45 10 35 ．
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第6讲
神奇的九 九，是我们中华民族所崇拜的数字，在中国古代人们的观念中，将天称为“九天”、“九 重”、“九霄”；将地划为“九州”、“九域 ”；将宗庙称为“九庙”；道路谓之“九陌”；山有 “九崇”；水曰“九河”；地有“九泉”；人分“九级”；官为“九品”。在古乐古诗中有九辩、 九喜 、九歌 、九章等。 九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位； 作为一个数学爱好者 ，应 该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意 。 《易经》上说，九数含有吉祥的意思，如果按照"阴阳"来说，奇数为阳，偶数为阴，而九 是阳数中最大的，称为"极阳数"。十是一个完美的数，而九接近十而不到十，具有很强的倾向 性，数字只有十个，而九是最大的一个，故为数字之极，寓义崇高。也许，就是这个原因，九 有着最多的奇妙特点，最多的趣味性质。 九有一个非常奇妙的性质，是其它数字所没有的。如果要求一个自然数除以九的余数，则 只要将这个数各位数字相加，其和除以九的余数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇 妙特点，总使数学爱好者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学老师常 用“弃九”法验算学生的算式是否有误。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数，可知九 的倍数是一个非常和谐圆满的数系。
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694+795=1489；（2）当十位不进位时，整个式子共进位 1 次，六个数字之和为 1+4+8+9+9 ×1=31.构造如下：614+875=1489. 【拓展】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表 1，2，3，4，5，6，7，8， 9 中的 7 个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、 杯、赛”所代表的 7 个数字的和等于_______．
当 B 大时，数字之和为 54-46+9×3=35
例2
如下式,从 1-9 中选出 6 个不同的数字填入方框中,使竖式成立,则方框中的 6 个数字之和为_____
1 209 （学案对应：学案 2） 【分析】由加法的运算性质可知，这个竖式中，十位，百位相加均进位了，因此共进位 2 次，由例
1 的结论可知：原来六个数字之和为 1+2+9+9×2=30. 构造如下：235+974=1209.（仅需构造一组即可） 此题为例 1 的逆用.
法 2：本题也可采用弃九法．由于第十一届华杯赛 2006 ，所以 第+十+一+届+华+杯+赛
除以 9 的余数等于 2006 除以 9 的余数，为 8．由于“第、十、一、届、华、杯、赛”，代表 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中的 7 个数字，且不同的汉字代表不同的数字，假设 1～9 中
的另外两个数为 a 和 b ，那么 第+十+一+届+华+杯+赛45 a b，故 45 a b 除以 9 的余数为 8，则 a b 除以 9 的余数为 1．由题意可以看出“第”1，所以 a 、 b 不能为 1，
=111111×1000000-111111×1
=111111000000 -111111
=111110888889
数字之和为 96 54
法 2：原式=111111×(1000000-1)
=111111×1000000-111111×1
=111111000000 -111111
两式相减，借位 6 次，所以差的数字之和为 6-6+9×6=54
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ讲
第六讲 神奇的 9
知识站牌
五年级寒假
因数与倍数进阶 五年级秋季
五年级秋季 神奇的 9 五年级暑假 因数与倍数初步 质数与合数进阶
五年级春季 带余除法
综合数字谜和数论的弃九法
漫画释义
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课堂引入
九，这个数字王国中的明珠，它太神奇，太美妙啦！得到人们最高的崇尚，最好的赞扬，最多 的欣赏，最有情感的偏爱. 看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美的数 10 差 1，只不过是一 个完全平方数 ，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原因，竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你 随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发现九之规律所在，你会为此兴奋不已，感叹不尽. 可 你要知道 ，你这也仅仅是在九的奇妙独特性质的海岸上 ，拾到的 一块小小的贝壳而已！要真正地全 面了解九的神奇，九的美妙，无论是哪个数学爱好者，都必须进行艰苦的探索和顽强的钻研. 那么 我们今天就研究一下九到底 神奇在什么地方？
k个 9
k个9
（5）111...11 111...11 乘积的各位数字之和为_______.
1989个1
1989个1
（学案对应：学案 3）
【分析】（1）法 1：观察可以发现，两个乘数都非常大，不便直接相乘，其中 999999 很接近 1000000,
于是我们采用添项凑整，简化运算.
原式=111111×(1000000-1)
想想练练：如下式,在方框中填入 6 个数字（可重复）,使竖式成立,则方框中的 6 个数字之和为_____
1 48 9 【分析】个位没有进位，百位进位 1 次，十位可能进位（9+9），也可能不进位，因此有 2 种可能. （1）
当十位进位时，整个式子共进位 2 次，六个数字之和为 1+4+8+9+9×2=40.构造如下：
例3
（1）111111 × 999999 乘积的各位数字之和为______.
（2） 3333333 6666666 乘积的各位数字之和为_____.
（3）1993×123×999999 乘积的各位数字之和为______.
（4） M 999...9 (其中 M 为自然数，且 M≤ 999...9 )乘积的各位数字之和为_______．
3. 计算：12345679×9 【分析】12345679×9=111111111
例题思路
模块 1：例 1-2：加减法中数字和的关系 模块 2：例 3：乘法中的数字和的关系
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第6讲
模块 3：例 4-5：同余的简单应用.
例1
通过枚举一些数回答下面的问题. (1)A 的数字之和为 5,B 的数字之和为 3,则 A+B 的和的数字之和为____. (2)A 的数字之和为 15,B 的数字之和为 13,A+B 进位 1 次,则 A+B 的和的数字之和为____. (3)A 的数字之和为 15,B 的数字之和为 13,A-B 没有借位,则 A-B 的差的数字之和为____. (4)A 的数字之和为 15,B 的数字之和为 13,A-B 借了 1 次位,则 A-B 的差的数字之和为____. 通过上面几道例题,你能否总结出数的加减与数字之和或差的关系. （学案对应：学案 1） 【分析】(1)5+3=8,14+12=26,104+3=107,…可发现结果为 5+3=8;
1989个1
1989个1
例4
（学生版中仅有 1，2，3 题） 根据整除的特征，我们知道一个数能否被 9 整除，只需要看其各个数字之和即可. 而一个数除
以 9 的余数，也可以用其各个数字之和除以 9 计算. 例如 712÷9 的余数与（7+1+2）÷9 的余数是一 样的 .
第十一 届 + 华杯 赛
2006
【分析】法 1：显然十位和百位都出现了进位，所以有以下的等式：“第”=1，“十”“华”=9，如果 “届”“赛”没有出现进位，那么“一”“杯”=10，“届”“赛”=6，那么“届”和“赛”一个是 2 另一个是 4，那么“一”“杯”中有一个小于 5 的数必然是 3，另一个是 7，这样的话就不存 在不重复的“十”和“华”使它们的和是 9，所以“届”“赛”必定出现进位．由于“届”“赛”出 现进位，那么“一”“杯”=9，“届”“赛”=16，所以 7 个汉字代表的 7 个数字之和等于 19 9 16 35 ．经过尝试“十”、“华”、“一”、“杯”、“届”、“赛”分别是 3、6、4、5、7、 9 时可满足条件(答案不止一种)．
n个3
n个6
(n-1)个 2 (n-1)个7
法 2：原式 9999999 2222222
(10000000 1) 2222222
22222220000000 2222222 22222217777778 所以，各位数字之和为 7 9 63 法 3：原式 9999999 2222222 (10000000 1) 2222222
教学目标
1、 掌握加减法数字和与 9 的关系 2、 掌握多位数的计算中数字和与 9 的关系 3、 了解 9 在余数与数字谜中的应用
知识点回顾
9 的整除特征：一个数各数位数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除. 1. 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□ 32□ 是 9 的倍数. 请随便填出一种， 并检查自己填的是否正确.
想想练练：A 的数字之和为 46,B 的数字之和为 54,A+B 进位 9 次,则 A+B 的和的数字之和为____. 【 分析】 46 +54- 9×9 =19
【拓展】A 的数字之和为 46,B 的数字之和为 54,A 与 B 作差（大减小）时，有 3 次借位. 那么差的 各位数字之和可能为多少？ 【分析】当 A 大时，数字之和为 46-54+9×3=19；
【分析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 □ 3 2 □是 9 的倍数， 而 4 3 2 9, 所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数．依次填入 3、6，因为 4 3 32 6 18 是 9 的倍数，所以 43326 是 9 的倍数.
2. 一个数字互不相同的四位数乘以 9 后，得到它的反序数，则原数为多少？ 【分析】1089×9=9801
(2) 591+58=649,555+904=1459,…可发现结果为 15+13-9=19 (3)555-535=20,5127-4126=11,…可发现结果为 15-13=2 (4)555-418=137,5622-5503=119,…可发现结果为 15-13+9=11 结论: (1)若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A+B 进位 k 次,则和的数字之和为 x+y-9k (2) 若 A 的数字之和为 x,B 的数字之和为 y,A-B 借位 k 次,则差的数字之和为 x-y+9k 原因:求和时,会将低位的 10 当成高位的 1 用,因此数字和会减少 9;求差时,会将高位的 1 当成低位的 10 用,因此差的数字之和会增加 9.
k个9
k个0
-M 的数字之和+9k=9k
（
5）111...11
1989个1
111...11
1989个1
999...99
1989个9
111918.9.个.11119
999...99 N
1989个9
，其中
N＜ 999...99
1989个9
所以111...11 111...11 的各个位数字之和为：9×1989=17901