数学试卷

（第4题）
福州十九中2012-2013学年初中毕业班中考模拟测试
数 学 试 卷
（本卷共4页，三大题，共22小题；满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1．2013-的绝对值为
A ．2013
B ．2013-
C ．
12013 D ．12013
- 2．如图，直线AB ∥CD ，AF 交CD 于点E ，∠CEF =140°，则∠A 等于
A ．35°
B ．40°
C ．45°
D ．50°
3．据某域名统计机构公布的数据显示，截至2012年5月21日，我国“.NET”域名注册量约为
560 000个，居全球第三位．将560 000用科学记数法表示应为 A ．560×103 B ．56×104 C ．5.6×105 D ．0.56×106 4．长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为 A ．3 B ．4 C ．12 D ．16 5．一元二次方程2
(1)10x ++=的根的情况是
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．无实数根 6．如图，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集
A ．x 5x 3>≥-⎧⎨-⎩
B ．x 5x 3>-⎧⎨≥-⎩
C ．x 5x 3<<-⎧⎨-⎩
D ．x 5
x 3<>-⎧⎨-⎩
7．如图，正方形网格中，5个阴影小正方形是一个正方体表面展开图 的一部分．现从其余空白小正方形中任取一个涂上阴影，则图中六 个阴影小正方形能构成这个正方体的表面展开图的概率是
A ．
47 B ．37 C ． 27 D ．17
8．体育课上，某班两名同学分别进行5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通
常需要比较这两名学生成绩的
A ．平均数
B ．频数分布
C ．中位数
D ．方差
（第2题）
（第6题）
（第7题）
9．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是
A．B．C．D．
10．已知锐角
．．三角形的两条边长为2、3，那么第三边x的取值范围是
A．1＜x＜ 5 B．5＜x＜13 C．13＜x＜5 D．5＜x＜15
二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡的相应位置）11．分解因式：221
m m
-+=．
12．已知反比例函数
1
y
x
=，当1
x>时，y的取值范围为．
13．如图， ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F
不重合．若△ACD的面积为3，则图中的阴影部分的面积为.
14．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0）、（－3m，0）（m≠0），对称轴为直线x＝1，则该二次函数的最小值为．
15．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P
是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，
点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从点D运动到点C时，
tan QCN
∠的最大值为．
三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置．作图或添加辅助线先用铅笔画完，再用黑色签字表描黑）
16．（每小题7分，共14分）
⑴计算：(
)
1
01
5
3
-
︒⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
；
⑵先化简,再求：
x
x
x
x
-
+
-1
1
2
，其中x=
17．（每小题8分，共16分）
⑴如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两
点，再分别以E，F为圆心，大于
1
2
EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
⑵我市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上榕树，要求路的两端各
栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完，那么市政园林部门原来准备了多少棵树苗？
（第15题）
（第13题）
（第17（1）题）
该校每年“定向生”人数占近四年
“定向生”总人数的百分比统计图
该校近四年每年“定向生”人数统计图
（第19题）
（第20题）
18．（10分）高中“定向招生”是我市中考招生制度改革的一项重要措施．某初级中学对该校
近四年“定向生”人数进行了统计，制成了如下两幅不完整的统计图：
（1）该校近四年“定向生”人数的极差是 ．请将折线统计图补充完整；
（2）该校2009年“定向生”中只有1位女同学，学校打算从中随机选出2位同学了解他们进入高中阶段的学习情况．请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．
19．（11分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这
些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ． （1）AB 的长为 ；
（2）画图：在网格中小正方形的顶点上找一点Q ，连接AQ 、 BQ ，使得△ABQ ∽△CDB ，并直接写出．．．．△ABQ 的面积； （3）tan ∠APD 的值是 ．
20．（12分）如图，在△ABC 中，BE 是它的角平分线，∠C =90°，D 在AB 边上，以DB 为
直径的半圆O 经过点E ，交BC 于点F ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）已知sinA =
1
2
，⊙O 的半径为4，求图中阴影部分的面积．
21．（13分）如图，A 、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P 以每秒2个单位长度由点
B 出发沿BA 方向向点A 作匀速直线运动，同时点Q 以每秒a 个单位长度由A 出发沿AO （O 为坐标原点）方向向点O 作匀速直线运动，连接PQ ．设时间为t （05t <<）秒． （1）当1a =时．
①当t 为何值时，PQ ∥BO ？
②设△AQP 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并 求出S 的最大值．
（2）当0a >时，以点O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相 似，求a 的值．
22．（14分）如图1，已知△AOC 的两个顶点坐标分别为A （2，0），C （0，2）．
（1）请你以AC 的中点为对称中心，画出△AOC 的中心对称图形△ABC ，此图与原图组成的四边形OABC 的形状是 ，并说明理由；
（2）如图2，已知D （1
2
-，0），过A ，C ，D 的抛物线与（1）所得的四边形OABC 的边
BC 交于点E ，求抛物线的解析式及点E 的坐标；
（3）在问题（2）的图形中，点P 为抛物线上一点（与点E 不重合），且PAC ACE S S =△△，求点P 的坐标．
（第21题）
（第22题）
福州十九中2012－2013学年初中毕业班模拟测试数学试卷
参考答案与评分标准
一、选择题（仅有一个选项是正确的，每小题4分，共40分）
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．2
(1)
m-；12．01
y
<<；13．3；14．4-；15.
三、解答题（共90分）
16．（每小题7分，共14分）
（1）解：原式＝13
2
+-
…………4分
＝1．……………7分
（2）解：原式＝
2
11
x x
x x
-
--
…………2分
＝
2
1
x x
x
-
-
………4分
＝
(1)
1
x x
x
-
-
＝x．…………6分
当x=7分
17．（每小题8分，共16分）
（1）证明：由作法可知：AM是∠ACB的平分线，∴∠CAM=∠MAB．………3分∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，∴∠CAN=∠CMN．………5分
又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC=90º．………6分
在△ACN和△MCN中，
,
,
,
ANC MNC
CAN MNC
CN CN
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACN≌△MCN（AAS）．………8分
（2）解：设原来准备了x棵树苗，则由题意得：………1分
5(x 211)6(x 1)+-=-，………5分
解得：106x =．………7分
答：市政园林部门原来准备了106棵树苗．………8分 18．（10分）解：（1）5；………3分
补充折线统计图如下：………5分
（2）记3名男同学为A 1，A 2，A 3，女同学为B ，列表如下：
由表可知，共有12种情况，每种情况的可能性相等，选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的有6种情况，………8分
∴P （选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学）＝61
122
=．………10分 19．（11分）（13分 （2）画图正确；………6分 △ABQ 的面积为
5
2
；………9分 （3）2．………11分 20．（12分）解：（1）连接OE ．
∵OB =OE ，∴∠OBE =∠OEB ．
∵BE 是△ABC 的角平分线，∴∠OBE =∠EBC ．………2分 ∴∠OEB =∠EBC ，∴OE ∥BC ．………4分
∵∠C =90°，∴∠AEO =∠C =90°． ∴AC 是⊙O 的切线．………6分 （2）连接OF ．
∵sinA =
1
2
，∴∠A =30°．………7分 Q
∵⊙O 的半径为4，∴AO =2OE =8． ∴AE AOE =60°，∴AB =12， ∴BC =
1
2
AB =6，AC CE =AC ﹣AE 9分 ∵OB =OF ，∠ABC =60°，∴△OBF 是正三角形． ∴∠FOB =60°，CF =6﹣4=2，∴∠EOF =60°．………10分
∴S 梯形OECF =12
（2+4）×， S 扇形EOF =26048=3603ππ⋅⋅，
∴S 阴影部分=S 梯形OECF ﹣S 扇形EOF ﹣8
3
π．………12分
21．（13分）解：（1）①40
13
；………3分
②由题意可知：OB=6，OA=8，∴AB 10==．……4分 如图②所示，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，则PD ∥BO ， ∴△APD ∽△ABO ，∴AP PD AB OB =，即102t PD
106
-=， 解得PD=6﹣
6
5
t ，………6分 ∴21163
S AQ PD t 6t =t +3t 2255
⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅-- ⎪⎝⎭（0＜t ＜5）．………7分
∴当t=
5
2时，S 取得最大值，最大值为154
（平方单位）．………8分 （2）若△OPQ 与△AOB 相似，由题意可知：090POQ ︒<∠<︒，则
①当POQ OAB ∠=∠且90PQO ∠=︒时（如图③）， △OPQ ∽△ABO ，∴PQ 垂直平分OA ，
∴AP =5，AQ =4，∴1025t -=,4at =，∴85
a =．
②当POQ OAB ∠=∠且90OPQ ∠=︒时（如图③）， △OPQ ∽△AOB ，∴525
44
OQ OP =
=
， ∴257844at =-=．又∵52t =，∴7
10
a =．
③当POQ ABO ∠=∠且90PQO ∠=︒时（如图④），图③
△OPQ ∽△BAO ，此时，OP AB ⊥， ∴42455OP OB ==
，318
55
BP OB ==， ∴95t =
，31288525at OP =-=，∴12845
a =． ∴a 的值为
85或710或128
45
．………13分 22．（14分）解：（1）设AC 的中点为F ，连接OF 并延长至B ，使得BF=OF ；
连接AC ，AB ，则△ABC 为所求作的△AOC 的中心对称图形．………1分 ∵A （2，0），C （0，2），∴OA=OC ． ∵△ABC 是△AOC 的中心对称图形， ∴AB=OC ，BC=OA ，∴OA=AB=BC=OC ， ∴四边形OABC 是菱形，………3分
又∵∠AOC=90º，∴四边形OABC 是正方形．………4分 （2）设经过点A 、C 、D 的抛物线解析式为y=ax 2
+bx+c ，则
∵A （2，0），C （0，2），D （1
2-，0），
∴4a+2b+c=0c=211a b+c=0
4
2⎧
⎪⎪⎨⎪⎪-⎩，解得a=2b=3c=2-⎧⎪⎨⎪⎩，………7分
∴抛物线的解析式为：y=﹣2x 2
+3x+2．………8分
由（1）知，四边形OABC 为正方形，∴B （2，2），∴直线BC 的解析式为y=2， 令y=﹣2x 2
+3x+2=2，解得x 1=0，x 2=32，∴点E 的坐标为（3
2
，2）．………9分 （3）由题意，可得：1133
22222
ACE S CE AB =
=⨯⨯= △．………10分 ①当点P 在直线AC 的上方时，过点E 作直线m ∥AC ，与抛物线的交点为所求点P ． 设直线m 的表达式为11y k x b =+，则由题意，可得：11k =-，∴1y x b =-+． 又∵点E 在直线m 上，∴1322b -
+=，∴17
2
b =，∴72y x =-+．
由27,2232,y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩
得：111,23,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或223,22,x y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩ ∴点1
1(,3)2P ．………12分 ②当点P 在直线AC 的下方时，作点E 关于直线AC 的对称点1
(0,)2
E '，过点E '作直线n ∥AC ，与抛物线的交点为所求点P ．与①同理，可求得直线n 的表达式为12
y x =-+
，则由21,2
232,
y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩
得：111,2x y ⎧=+⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩
或2212
52
x y ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，
∴点25(122P -+
，35(1,22
P -．………14分。