2023届重庆市松树桥中学数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知，则的值为（ ） A.3
B.6
C.9
D.
2．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是（）
A.2x +y -12＝0
B.x -2y -1＝0或2x -5y ＝0
C.x -2y -1＝0
D.2x +y -12＝0或2x -5y ＝0 3．设集合M ＝{x|x ＝
2k ×180°＋45°，k∈Z}，N ＝{x|x ＝4k ×180°＋45°，k∈Z}，那么( ) A.M ＝N
B.N ⊆M
C.M ⊆N
D.M∩N＝∅
4．已知0>ω，函数()sin()3f x x πω=+在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上递减，则ω的取值范围为（ ） A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
B.17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C.15,36⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D.(]0,3 5．缪天荣()19142005-，浙江人，著名眼科专家、我国眼视光学的开拓者.上世纪50年代，我国使用“国际标准视力表”检测视力，采用“小数记录法”记录视力数据，缪天荣发现其中存在不少缺陷.经过3年苦心研究，1958年，他成功研制出“对数视力表”及“5分记录法”.这是一种既符合视力生理又便于统计和计算的视力检测系统，使中国的眼视光学研究站在了世界的巅峰.“5分记录法”将视力L 和视角α（单位：'）设定为对数关系：5lg L α=-.如图，标准对数视力表中最大视标E 的视角为10'，则对应的视力为5lg10 4.0L =-=.若小明能看清的某行视标E 的大小是最大视标E 的14
（相应的视角为2.5′），取lg 20.3=，则其视力用“5分记录法”记录（）
A.3.6
B.4.3
C.4.6
D.4.7 6．设a ＝2019202220212022⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝2021
2022
20192022⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2019
2022
20192022⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A.a b c >>
B.a c b >>
C.c a b >>
D.b c a >>
7．已知函数()f x 满足∶当1x ≤时，()31f x x =+， 当1x >时，2()1f x x =-， 若n m >，且()()f n f m =，设
t n m =-，则( )
A.t 没有最小值
B.t 的最小值为51-
C.t 的最小值为43
D.t 的最小值为1712
8．函数()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,在一个周期内的图像如图所示，此函数的解析式可以是（）
A.22sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭ B.2sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
C.2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
D.2sin 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
9．设2log 0.3a =，e 0.8b =，0.8e c =则a ，b ，c 的大小关系是（）
A.a b c >>
B.c a b >>
C.c b a >>
D.b c a >>
10．x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，十八世纪，函数[]
y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[][]4.8 3.5--=（）
A.0
B.1
C.7
D.8 11．若三点()()()1,,5,7,10,12A b B C 在同一直线上，则实数b 等于
A.11-
B.11
C.3-
D.3
12．集合{}{}
(2),2,0x A x
y x x B y y x ==-==>∣∣，则A ∩B ＝（ ） A.[0，2]
B.（1，2]
C.[1，2]
D.（1，＋∞） 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t (单位：h)间的关系为0e kt P P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么10h 后还剩百分之几的污染物________.
14．已知0x >，0y >，212x y xy ++=，则221318
xy x y xy +++的最大值为___________. 15．若0x >，0y >，且4x y +=，则1y x y
+的最小值为__________ 16．当0x >时，函数()2()1x
f x a =-的值总大于1，则a 的取值范围是________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17．已知函数()()23102x x f x a a
-=+>+为定义在R 上的奇函数. （1）求()f x 的值域；
（2）解不等式：()()652f x f x +
≤+ 18．已知函数())()442sin cos 22cos 0f x x x x x ωωωωω=
-+⋅>最小正周期为π.
（1）求ω的值：
（2）将函数()f x 的图象先向左平移8π个单位，然后向上平移1个单位，得到函数()y g x =，若()y g x =在[]()0,0b b >上至少含有4个零点，求b 的最小值.
19．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}
（1）当m ＝﹣1时，求A ∩B ；
（2）若集合B 是集合A 的子集，求实数m 的取值范围
20．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =++.
（1）求角C 的大小；
（2）若3c =，求ABC ∆周长的取值范围.
21．对于函数()()221
x f x a a R =-∈+ （1）判断()f x 的单调性，并用定义法证明；
（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由
22．求值：
（1）1030.256341
782(23)86；
（2）2552lg4lg log 5log 48
++⋅.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、A
【解析】直接由对数与指数的互化公式求解即可
【详解】解：由
，得，
故选：A
2、D
【解析】根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距式求得直线方程.
【详解】当直线过原点时，直线方程为25
y x =
，即250x y -=. 当直线不过原点时，设直线方程为12x y a a +=，代入()5,2得52162a a a +=⇒=， 所以直线方程为2120x y +-=.
故选：D
3、C
【解析】变形表达式为相同的形式，比较可得 【详解】由题意可{|18045}{|2145}2
k M x x k Z x x k k Z ==⋅︒+︒∈==+⋅︒∈得，（），， 即M 为45︒的奇数倍构成的集合， 又{|18045}{|145}4k N x x k Z x x k k Z ==
⋅︒+︒∈==+⋅︒∈，（），，即N 为45︒的整数倍构成的集合，M N ∴⊆， 故选C
【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题
4、B
【解析】求出f （x ）的单调减区间A ，令（
2π，π）⊆A ，解出ω的范围 【详解】解：f （x ）=sin （ωx 3π+
）， 令322232k x k ππ
ππωπ+≤+≤+，解得26k ππωω+≤x 726k ππωω
≤+，k ∈Z ∵函数f （x ）=sin （ωx 3π+）（ω＞0）在（2π，π）上单调递减， ∴262726k k πππωωπππω
ω⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得143k +≤ω76≤+2k ，k ∈Z ∴当k ＝0时，
13≤ω76≤ 故选：B
【点睛】本题考查了三角函数的单调性与单调区间，考查转化能力与计算能力，属于基础题
5、C
【解析】将 2.5α=代入5lg L α=-，求出L 的值，即可得解.
【详解】将 2.5α=代入函数解析式可得105lg 2.55lg
5lg10lg 442lg 2 4.64
L =-=-=-+=+≈. 故选：C.
6、C
【解析】根据指数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为20192022y x
=在(0,)+∞上单调递增，20192022x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减 所以2019
22020192022212022202202120192022202201920222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故a c b >>.
故选：C
7、B
【解析】根据已知条件，首先利用n 表示出m ，然后根据已知条件求出n 的取值范围，最后利用一元二次函数并结合n 的取值范围即可求解.
【详解】∵()()f n f m =且n m >， 则1m ，且1n >，∴ 2
311m n +=-， 即223n m -= 由21014
n n >⎧⎨<-≤⎩
⇒1n <≤ ∴222211317(32)()333212
n t n m n n n n -⎡⎤=-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，
又∵1n <≤
∴当n =
1t n m =-=，
当1n =
时，413t n m =-=
>， 故t
1.
故选：B.
8、A
【解析】根据图象，先确定2A =以及周期，进而得出2ω=，再由()212f π-
=求出ϕ，即可得到函数解析式. 【详解】显然2A =， 因为5212122T πππ=+=，所以T π=，所以222T ππωπ
===， 由()212f π-
=得2sin[2()]212πϕ⨯-+=， 所以2,62k ππ
ϕπ-+=+k Z ∈，即223k πϕπ=+
，k Z ∈，
因为0||ϕπ<<，所以23ϕπ=， 所以2()2sin(2)3
f x x π=+
. 故选：A
9、C 【解析】根据指数函数与对数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围，即可求解.
【详解】由对数的性质，可得22log 0.3log 10a =<=，
又由指数函数的性质，可得e 000.80.81<<=，即01b <<，且0.80e e 1c =>=，
所以c b a >>.
故选：C.
10、D
【解析】根据函数的新定义求解即可.
【详解】由题意可知[][]4.8 3.5--=4－(－4)＝8.
故选：D.
11、D
【解析】由题意得：
712751105b --=-- 解得3b =
故选D
12、B
【解析】先求出集合A ，B ，再求两集合的交集即可
【详解】解：由(2)0x x -≥，得02x ≤≤，所以{}02A x x =≤≤，
由于0x >，所以0221x >=，所以{}1B y y =>，
所以{}
12A B x x ⋂=<≤，
故选：B
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、81%
【解析】根据题意，利用函数解析式，直接求解.
【详解】由题意可知,5000.9e k P P -=，所以50.9k e -=.
所以10小时后污染物含量()210520000e e 0.90.81k k
P P P P P --====⨯，
即10小时后还剩81%的污染物.
故答案为:81%
14、19
【解析】由题知(]0,4xy ∈，进而令1t xy =+，(]1,5t ∈，再结合基本不等式求解即可.
【详解】解：12226x y xy xy xy =++≥⇒≤，当2x y ==时取等，
所以(]020,4xy <⇒∈，
故令1t xy =+，则(]
1,5t ∈， 所以()(
)222211116318169131181xy t t x y xy t t t t t t +===≤=++++-+-+++，
当4t =时，等号成立. 所以221318xy x y xy +++的最大值为19
故答案为：
19 15、54
##1.25 【解析】运用均值不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：因为0x >，0y >，且4x y +=，
所以11544444y x y y x x y x y ++=++≥=，当且仅当8343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时等号成立， 故答案为：54
. 16
、a <
a >
【解析】由指数函数的图象和性质可得211a ->即可求解.
【详解】因为0x >时，函数()2()1x f x a =-的值总大于1，
根据指数函数的图象和性质可得211a ->
，解得：a <
a >
故答案为：a <a >
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17、（1）()2,2-
（2）21log ,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】（1）根据函数的奇偶性可得1a =，进而可得函数的单调性及值域；
（2）由（1）可得该不等式为()()()()4
10f x f x -+≤，根据函数的单调性解不等式即可.
【小问1详解】 由题意可知，()20101f a -=+=+，解得1a =，则()23121
x x f x -=++， 经检验，()()f x f x -=-恒成立，
令()20x t t =>，则341211
t y t t -=+=-++， ∴函数在()0,∞+单调递增，
∴函数的值域为()2,2-
【小问2详解】
由（1）得()20f x +>，则
()()()()()()()()2653404102f x f x f x f x f x f x +
≤⇔--≤⇔-+≤+， ∴()12f x -≤<， ∴2231112log 213
x x x --≤+<⇔≥+， ∴不等式的解集为21log ,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 18、（1）1 （2）2312
π 【解析】（1）利用平方关系、二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，然后根据周期公式即可求解；
（2）利用三角函数的图象变换求出()g x 的解析式，然后借助三角函数的图象即可求解.
【小问1详解】
解：
))(
)
442222()sin cos cos sin cos sin cos cos f x x x x x x x x x x x ωωωωωωωωωω=-+⋅=-++
⋅222sin 24x x x πωωω⎛⎫=+=- ⎪⎝
⎭， 因为函数的最小正周期为π，即
22ππω=， 所以1ω=；
【小问2详解】
解：由（1）知()2sin 24f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
， 由题意，函数()2sin 212sin 2184y g x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+-+=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦， 令()2sin 210g x x =+=，即1sin 22
x =-， 因为()y g x =在[]()0,0b b >上至少含有4个零点， 所以
2326b π≤，即2312
b π≥， 所以b 的最小值为2312π. 19、（1）A ∩B ＝∅；（2）（﹣∞，﹣5）
【解析】（1）由m ＝﹣1求得B ，再利用交集运算求解.
（2）根据B ⊆A ，分B ＝∅和B ≠∅两种求解讨论求解.
【详解】（1）m ＝﹣1时，B ＝{x |﹣7≤x ≤﹣3}；
∴A ∩B ＝∅；
（2）∵B ⊆A ；
∴①B ＝∅时，m ﹣6＞2m ﹣1；
∴m ＜﹣5；
②B ≠∅时，5
{62215
m m m -->--，此不等式组无解；
∴m 的取值范围是（﹣∞，﹣5）
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及集合基本关系的应用，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.
20、（1）23π；（2
）
(
2 【解析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.
【详解】（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，
即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，
由正弦定理得222a b c ab +-=- 由余弦定理得2221cos 222
a b c ab C ab ab +--===-， 又20,3
C C ππ<<∴=. （2
）2,2sin ,2sin sin sin sin sin 3
a b c a A b B A B C
====∴=
=，
则ABC ∆的周长
()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=+-=
+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦20,,sin 1333323A A A π
π
π
π
π⎛⎫<<∴
<+<∴<+
≤ ⎪⎝
⎭， 2sin 23
A π⎛⎫∴
<++≤ ⎪⎝
⎭ ABC ∴∆周长的取值范围是(
2.
【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.
21、（1）()f x 在R 上单调递增；
（2）存在1a =使得()f x 为奇函数.
【解析】(1)利用函数单调性的定义证明；
(2) 利用函数奇偶性的定义()()0f x f x +-=求参数
【小问1详解】
证明：任取12，∈x x R 且12x x <，
则()()1212222121x x f x f x a a ⎛
⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()()
121212112122221212121x x x x x x x +--=-=++++ 又12x x <
210221-∴>=x x 且120x >，220x >
()()120f x f x ∴-<
即()()12f x f x <
()f x ∴在R 上单调递增
【小问2详解】
若()f x 为R 上为奇函数，则对任意的x ∈R 都有()()0f x f x +-=
2202121-⎛⎫⎛⎫∴-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
x x a a ()
2122021+∴-=+x x a
1a
22、（1）112（2）3
【解析】（1）依据幂的运算性质即可解决；
（2）依据对数的运算性质及换底公式即可解决.
【小问1详解】 1030.256341782(23)861
1
13110.25336233424432122(23)2223112
【小问2详解】 22555lg5lg 42lg 4lg
log 5log 4lg 4lg 88lg 2lg525lg 42lg 2lg 4lg101238lg 2lg 2。