高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性课堂导学案新人教A版必修1

1.3.2 奇偶性
课堂导学
三点剖析
一、函数的奇偶性概念
【例1】判断下列论断是否正确：
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；(3)如果一个函数的图象关于
y 轴对称，则这个函数为偶函数
.
思路分析：通过本题的研究，深刻理解函数的奇偶性的内涵. 解：（1）一个函数的定义域关于原点对称，是一个函数成为奇偶函数的必要条件，还必须
要看f(-x)
与-f(x)
是否相等，故（1）是错误的，（2）（3）正确.
二、函数奇偶性的判断
【例2】判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=1x +x 1;
(2)f(x)=12
x
+2
1x ;
(3)f(x)=
x
x |
|; (4)f(x)=kx+b(k ≠0);
(5)f(x)=x+x
a
(a ≠0); (6)f(x)=ax 2
+bx+c(a ≠0).
解：(1)由0
1,01x
x 得x=1，函数定义域为{x|x=1}.定义域不关于原点对称，为非奇非偶
函数. (2)
由
,
01
,012
2
x
x 得x 2
=1，函数定义域为{x|x=±1}.f(x)=0,f(-x)=f(x)
且f(-x)=-f(x).
函数是既奇又偶函数.
(3)函数定义域为{x|x ≠0}且f(-x)=x
x ||=-f(x).f(x)为奇函数.
(4)函数定义域为
R ，当b=0时，f(-x)=-f(x)，为奇函数；当
b ≠0时，为非奇非偶函
数. (5)函数定义域为{x|x ≠0}，且f(-x)=-x-x
a
=-f(x).函数为奇函数.
(6)函数定义域为
R ，当b=0时，f(-x)=f(x)
为偶函数；b ≠0时，为非奇非偶函数
.
温馨提示
1.
判断函数奇偶性的步骤：先看定义域是否关于原点对称；再看
f(-x)
与f(x)的关系，
即f(-x)=±f(x)或f(-x)
±f(x)=0.
也可以通过图象是否关于原点、y 轴对称来判断.
2.
若定义域关于原点对称，且
f(x)=0，则函数是既奇又偶的函数
.
3.一次函数y=kx+b 为奇函数
b=0.
4.
二次函数y=ax 2
+bx+c 为偶函数
b=0.
【例3】已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(1+
3
x ),求：
(1)f(-8);
(2)x<0时，f(x)的解析式. 思路分析：已知条件中的解析式是x>0,f(x)=x(1+3
x ),所求的f(-8)、x<0时的f(x)最终
要利用奇偶性化归为f(8)、f(-x)
来表示.
解：由于函数是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，因此对于任意的x 都有f(-x)=-f(x),即
f(x)=-f(-x).
(1)f(-8)=-f(8),f(8)=8(1+
3
8)=8×(1+2)=24,
∴f(-8)=-f(8)=-8(1+3
8)=-8(1+2)=-24.
(2)
当x<0时，f(x)=-f(-x).
∵-x>0,f(-x)=-x(1+3
x )=-x(1-3
x ),
∴f(x)=-［-x(1-3
x )］=x(1-3
x ).
三、函数奇偶性的应用举例
【例4】已知f(x)是偶函数，而且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)在(-∞,0)上是增函数
还是减函数，并加以证明.
思路分析：利用函数奇偶性及图象特征比较容易对函数单调性进行判断，
但是证明单调性必
须用定义证明.
解：f(x)在(-∞,0)上是增函数.证明如下：
设x 1<x 2<0,-x 1>-x 2>0, ∴f(-x
1
)<f(-x
2
).
由于f(x)是偶函数，因此f(-x
1
)=f(x
1
),f(-x
2
)=f(x
2
).
∴f(x 1)<f(x 2
)，即f(x)在(-∞,0)上是增函数.
温馨提示
利用函数的奇偶性研究关于原点对称区间上的问题，需特别注意求解哪个区间的问题，就设哪个区间的变量，然后利用函数的奇偶性转到已知区间上去，进而利用已知去解决问题
.
【例5】判断下面函数的奇偶性：
f(x)=2
|2|42
x x
∵f(-x)=
2
|2|)(42
x
x =
2
|2|42
x
x
，故f(x)为非奇非偶函数.
错因分析：上述解法产生错误的原因是忽略了函数的定义域，导致错误.
正解：由
,
02
|2|,
042
x
x
得-2≤x ≤2且x ≠0,∴函数的定义域为［
-2，0］∪(0,2)，此时。