九年级上册数学《一元二次方程》单元检测题带答案

九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷
（满分120分，考试用时120分钟）
一、单选题
1．关于x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程2220y ny m ++=同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②22(1)(1)2m n -+-≥；③1221m n -≤-≤，其中正确结论的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．若实数A 、B 满足A 2﹣8A +5=0，B 2﹣8B +5=0，则1111
b a a b --+--的值是（ ） A ．﹣20 B ．2 C ．2或﹣20 D ．12
3．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为x ，则可列方程（ ） A ．()220020011400x ++=
B ．()()2
200200120011400x x ++++= C ．()220011400x += D ．()()2200120011400x x +++= 4．教育局组织学生篮球赛，有x 支球队参加，每两队赛一场时，共需安排45场比赛，则符合题意的方程为（ ）
A ．()11452x x -=
B ．()11452x x +=
C ．()145x x -=
D ．()145x x +=
5．已知关于x 的方程x 2+mx+1＝0根的判别式的值为5，则m ＝（ ）
A ．±3
B ．3
C ．1
D ．±1
6．若α，β是方程x 2+2x ﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A ．2005
B ．2003
C ．﹣2005
D ．4010
7．甲公司前年缴税A 万元，去年和今年缴税的年平均增长率均为B ，则今年该公司应缴税（ ）万元. A ．2(1%)a b + B ．2(1)a b + C ．2(%)a ab + D ．2(1%)a b -
8．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A ．m≤54
B ．m≤54且 m≠1
C ．m ＜54
D ．m ＜
54，且 m≠1 9．将方程2650x x --=化为2()x m n +=的形式，则m ，n 的值分别是（ ）
A ．3和5
B ．-3和5
C ．3和14
D ．-3和14
10．微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2016年“元旦节”收到微信红包为300元，2018年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为( )
A ．300(1+2x)＝675
B ．300(1+x 2)＝675
C ．300(1+x)2＝675
D ．300+x 2＝675
11．已知关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．2a ≤
B ．2a >
C ．2a ≤且1a ≠
D ．2a <-
12．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ）
A ．x 2﹣2x ＝5
B ．x 2+4x ＝5
C ．2x 2﹣4x ＝5
D ．4x 2+4x ＝5
二、填空题 13．已知关于x 的方程22521
x px x ++-=5x +p 有且只有一个正实数根，则p 的范围为__________. 14．若a 与b 是关于x 的方程2220120x x +-=的两根，则23________a a b ++=．
15．某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了
原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x 月的利润的月平均值w （万元）满足1090w x =+，问前________个月的利润等于1620万元？
16．若ABC 的一边为4，另两边分别满足2560x x -+=的两根，则ABC 的周长为________．
三、解答题
17．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()22
3220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？
18．已知方程()2
160x k x ++-=是关于x 的一元二次方程． （1）求证；对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．
19．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x 元．
（1）根据题意，填表：
（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？
20．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=A 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为
一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；
=的解；
（2）拓展：用“转化”x
（3）应用：如图，已知矩形草坪A B C D 的长A D =8m，宽A B =3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边沿B A ，A D 走到点P处，把长绳PB 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD 、D C 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C ．求A P的长．
21．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多商家都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的A商品成本为500元，在标价800元的基础上打9折销售．
(1)现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于10%？
(2)据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售A商品，成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，为扩大销量，尽快减少库存，他决定打折促销．但他先将标价提高3m%，再大幅降价26m元，使得A商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了
12
m%，这样一天的利润达到了20000元，求m．
5
22．百货商店服装专柜在销售中发现：某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．为占有市场份额，在确保盈利的前提下．
()1降价多少元时，每星期盈利为6125元．
()2降价多少元时，每星期盈利额最大，最大盈利额是多少？
23．已知关于x的一元二次方程tx2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1、x2．
（1）当t=m=1时，若x1＜x2，求x1、x2；
（2）当m=1时，求t的取值范围；
（3）当t=1时，若x1、x2满足3|x1|=x2+4，求m的值．
24．如图，矩形A B C D 中，A B =6C m，B C =8C m，点P从点A 沿边A B 以1C m/s的速度向点B 移动，同时点Q从点B 沿边B C 以2C m/s的速度向点C 移动，当P、Q两点中有一个点到终点时，则另一个点也停止运动．当△D PQ的面积比△PB Q的面积大19.5C m2时，求点P运动的时间．
参考答案
一、单选题
1．关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
[答案]D
[解析]
[分析]设方程的两根为x 1、x 2，方程同的两根为y 1、y 2．①根据方程解的情况可得出x 1•x 2=2n ＞0、y 1•y 2=2m ＞0，结合根与系数的关系可得出x 1+x 2=-2m 、y 1+y 2=-2n ，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m 2-2n≥0、n 2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y 1+1）（y 2+1）-1、2n-2m=（x 1+1）（x 2+1）-1，结合x 1、x 2、y 1、y 2均为负整数即可得出-1≤2m -2n≤1，③成立．综上即可得出结论．
[详解]
设方程的两根为x 1、x 2，方程同的两根为y 1、y 2． ①∵关于x 的一元二次方程x 2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x 1•x 2=2n ＞0，y 1•y 2=2m ＞0，
∵x 1+x 2=-2m ，y 1+y 2=-2n ，
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x 的一元二次方程x 2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny+2m=0
x 2220x mx n ++=y 2220y ny m ++=22(1)(1)2m n -+-≥1221m n -≤-≤2220x mx n ++=2220y ny m ++=2220x mx n ++=2220y ny m ++=
同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m 2-8n≥0，4n 2-8m≥0，
∴m 2-2n≥0，n 2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m 2-2n+1+n 2-2m+1≥2，②正确；
③∵y 1•y 2=2m ，y 1+y 2=-2n ，
∴2m-2n=y 1•y 2+y 1+y 2=（y 1+1）（y 2+1）-1，
∵y 1、y 2均为负整数，
∴（y 1+1）（y 2+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x 1•x 2=2n ，x 1+x 2=-2m ，
∴2n-2m=x 1•x2+x 1+x 2=（x 1+1）（x 2+1）-1，
∵x 1、x 2均为负整数，
∴（x 1+1）（x 2+1）≥0，
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m -2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D ．
[点评]本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点．
2．若实数A 、B 满足A 2﹣8A +5=0，B 2﹣8B +5=0，则的值是（ ） 1111
b a a b --+--
A ．﹣20
B ．2
C ．2或﹣20
D ． [答案]C
[解析] [分析]分两种情况进行讨论：①当A =B 时，可直接得出答案；②当A ≠B 时，根据实数A 、B 满足A 2﹣8A +5=0，B 2﹣8B +5=0，即可看成A 、B 是方程x 2﹣8x +5=0的解，根据根与系数的关系列出关于A ，B 的等式即可求解．
[详解]
解：①当A =B 时，原式=2；
②当A ≠B 时，根据实数A 、B 满足A 2﹣8A +5=0，B 2﹣8B +5=0，即可看成A 、B 是方程x 2﹣8x +5=0的解，∴A +B =8，A B =5．
则= =， 把A +B =8，A B =5代入得：
= =﹣20．
综上可得：的值为2或﹣20． 故选C ．
[点评]本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是把A 、B 是方程x 2﹣8x +5=0的解，然后根据根与系数的关系解题．
12
1111b a a b --+--221111b a a b -+---（）（）（）（）
22221
a b ab a b ab a b +--++-++（）（）（）2810162581
--+-+1111
b a a b --+--
3．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得三年的总产量达到1 400件．若设这个百分数为，则可列方程（ ） A ．
B ．
C ．
D ． [答案]B
[解析]
[分析]根据题意：第一年的产量+第二年的产量+第三年的产量=1400且今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数x ．
[详解]
解：已设这个百分数为x ．
200+200（1+x ）+200（1+x ）2=1400．
故选：B ．
[点评]本题考查对增长率问题的掌握情况，理解题意后以三年的总产量做等量关系可列出方程． 4．教育局组织学生篮球赛，有x 支球队参加，每两队赛一场时，共需安排45场比赛，则符合题意的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．
[答案]A
[解析]
[分析]先列出x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x （x-1）场，再根据题意列出方程为． [详解] x ()220020011400x ++= ()()2
200200120011400x x ++++= ()220011400x += ()()2200120011400x x +++= ()11452x x -=()11452x x +=()145x x -=()145x x +=()11452
x x -=
解：∵有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为， 故选：A ．
[点评]本题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．
5．已知关于x 的方程x 2+mx+1＝0根的判别式的值为5，则m ＝（ ）
A ．±3
B ．3
C ．1
D ．±1
[答案]A
[解析]
[分析]根据根的判别式得出方程m 2﹣4×1×1＝5，求出方程的解即可．
[详解]
解：∵关于x 的方程x 2+mx+1＝0根的判别式的值为5，
∴m 2﹣4×1×1＝5，
解得：m ＝±
3， 故选A ．
[点评]本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
6．若α，β是方程x 2+2x ﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A ．2005
B ．2003
C ．﹣2005
D ．4010 [答案]B
[解析]
[分析]根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程A x 2+B x+C ()11452
x x -=
=0（A ≠0，A ，B ，C 为常数）的两个实数根，则x 1+x 2=-
，x 1x 2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解．
[详解]
α,β是方程x 2+2x−2005=0的两个实数根，则有α+β=−2. α是方程x 2+2x−2005=0的根,得α2+2α−2005=0,即：α2+2α=2005.
所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=α2+2α−2=2005−2=2003，
故选B .
[点评]此题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.
7．甲公司前年缴税A 万元，去年和今年缴税的年平均增长率均为B ，则今年该公司应缴税（ ）万元. A ．
B ．
C ．
D ． [答案]B
[解析]
[分析]解答此题运用的数量关系：前年缴税数×（1+年平均增长率）2=今年缴税数，由此直接列式解答即可．
[详解]
因为公司前年缴税A 万元，两年的年平均增长率均为B ，所以今年缴税数=A （1+B ）2万元． 故选B ．
[点评]解答此题的关键是找准单位“1”，去年是前年的（1+B ）倍，今年是去年的（1+B ）倍，由此解决问题．
8．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A ．m≤
B ．m≤且 m≠1 b a c a
2(1%)a b +2(1)a b +2(%)a ab +2(1%)a b -5454
C ．m ＜
D ．m ＜，且 m≠1 [答案]B
[解析] [分析]根据根的判别式和一元二次方程的定义得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
[详解]
∵关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1＝0有实数根，
∴△＝12﹣4（m ﹣1）•1≥0且m ﹣1≠0，
解得：m≤且m≠1， 故选：B ．
[点评]本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义等知识点，能根据题意得出不等式组是解此题的关键． 9．将方程化为的形式，则m ，n 的值分别是（ ）
A ．3和5
B ．-3和5
C ．3和14
D ．-3和14
[答案]D
[解析]
∵x2−6x−5=0，
∴x 2−6x=5，
∴x 2−6x+9=5+9，
∴(x−3)2=14，
∴m=−3，n=14.
故选：D . 5454
54
2650x x --=2()x m n +=
10．微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2016年“元旦节”收到微信红包为300元，2018年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为( )
A ．300(1+2x)＝675
B ．300(1+x 2)＝675
C ．300(1+x)2＝675
D ．300+x 2＝675
[答案]C
[解析]
[分析]根据题意得2017年收到的微信红包为300(1+x)元，2018年收到的微信红包为300(1+x)(1+x)元，进而可列出方程.
[详解]
这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x ，由题意得：
300(1+x)2＝675，
故选C ．
[点评]本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意，表示出2017、2018年微信收到的红包是解题的关键.
11．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．且
D ．
[答案]C
[解析]
[分析]根据方程有两个实数根列出关于A 的不等式，求出A 的取值范围即可．
[详解]
解：∵关于x 的一元二次方程（A －1）x 2－2x ＋1＝0有两个实数根， x 2(1)210a x x --+=a 2a ≤2a >2a ≤1a ≠2a <-
∴，
解得A ≤2且A ≠1．
故选：C ．
[点评]本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程A x 2＋B x ＋C ＝0（A ≠0）的根与△＝B 2－4A C 的关系是解答此题的关键．
12．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ）
A ．x 2﹣2x ＝5
B ．x 2+4x ＝5
C ．2x 2﹣4x ＝5
D ．4x 2+4x ＝5 [答案]B
[解析]
[分析]配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
[详解]
A 、因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；
B 、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；
C 、将该方程的二次项系数化为x 2 -2x=
，所以本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；
D 、将该方程的二次项系数化为x 2 +x=
，所以本方程的一次项系数是1，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方；故本选项错误； 1044(1)0
a a -≠⎧⎨=--⎩525414
故选B ．
[点评]本题考查的知识点是配方法解一元二次方程，解题关键是注意选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
二、填空题
13．已知关于x 的方程=5x +p 有且只有一个正实数根，则p 的范围为__________. [答案]p ≥-5
[解析]
[分析]把方程=5x +p 转化为9x 2-5x -p -5=0,然后根据一元二次方程根与系数的关系求解即可. [详解]
原方程变形为9x 2-5x -p -5=0,
∵关于x 的方程=5x +p 有且只有一个正实数根, ∴设方程的两个实根为x 1,x 2,
即∆≥0且x 1,x 2≤0,
∴25+36(p +5) ≥0且-p -5≤0,
解得p ≥-5,
故答案为p ≥-5.
[点评]本题考查了一元二次方程A x 2+B x +C =0（A ≠0）的根的判别式∆=B 2﹣4A C 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
22521
x px x ++-22521
x px x ++-22521
x px x ++-
14．若与是关于的方程的两根，则．
[答案]2010
[解析]
[详解]
∵A 是关于的方程的根，
∴A 2+2A ﹣2012=0，即A 2+2A =2012，
∴原式=A +B +2012，
又∵与是关于的方程的两根，
∴A +B =﹣2，
则原式=﹣2+2012=2010.
故答案为2010.
15．某电解金属锰厂从今年月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的至月的利润的月平均值（万元）满足，问前________个月的利润等于万元？
[答案]9
[解析]
[分析]设前x 个月的利润和等于1620万元，根据 “总利润=月利润的平均值×月数”列出方程，解方程即可求解．
[详解]
设前x 个月的利润和等于1620万元，
x （）=1620
a b x 2220120x x +-=23________a a b ++=x 2220120x x +-=a b x 2220120x x +-=11x w 1090w x =+16201090x +
整理得：x 2+9x-162=0
解得x 1=9，x 2=-18（舍去），
答：前9个月的利润和等于1620万元．
故答案为：9.
[点评]本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系“总利润=月利润的平均值×月数”，正确列出方程是解决问题的关键．
16．若的一边为，另两边分别满足的两根，则的周长为________．
[答案]9
[解析]
[分析]设x 2-5x+6=0的两个根分别为x 1、x 2，由根与系数的关系可得出x 1+x 2=5，再加上三角形的另外一边长度即可求解．
[详解]
设的两个根分别为x 1、x 2，则有x 1+x 2=-=5， ∴△A B C 的周长为x 1+x 2+4=5+4=9．
故答案为：9．
[点评]本题考查了根与系数的关系以及三角形的周长，解题的关键是找出三角形的两边之和．解决该题型题目时，由根与系数的关系得出两根之和，再结合三角形的周长公式即可解决问题．
三、解答题
17．已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由？
[答案]存在，n=0. ABC 42560x x -+=ABC 2560x x -+=b a
-
x 24832x nx n --=()223220x n x n -+-+=n n
[解析]
[分析]在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.
[详解]
若存在n 满足题意.
设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-，但1-n=不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-
(舍)， 综上所述，n=0.
18．已知方程是关于的一元二次方程．
（1）求证；对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．
[答案]（1）见详解；（2），另一个根是.
[解析]
[分析]（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行判断，即可得到结论成立；
（2）直接把代入方程求出k ，然后利用根与系数的关系，即可得到另一个根.
[详解]
解：（1）∵， 324
n +-
12
3214()2160x k x ++-=x k 2k 0k =3-2x =()2
160x k x ++-=
∴，
∵，
∴，
∴对于任意实数，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵， 当时，有
，
解得：；
∴原方程为：，
设另一个根为，则
，
∴，
∴原方程的另一个根是.
[点评]本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握根的判别式和根与系数的关系进行解题.
19．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多售5件，若设每件降价x 元．
（1）根据题意，填表：
22(1)41(6)(1)24k k ∆=+-⨯⨯-=++2(1)0k +≥2(1)240k ++>k ()2
160x k x ++-=2x =()42160k ++-=0k =260x x +-=2x 226x =-23x =-3-
（2）若每天盈利1600元，则每件应降价多少元？
[答案]（1）见解析（2）降价4元或36元
[解析]
[分析]（1）根据题意确定出降价后的利润与销售量，以及利润即可；
（2）根据盈利的钱数，确定出应降的价即可．
[详解]
（1）根据题意，填表：
（2）根据题意得：（44﹣x）（20+5x）=1600
整理得：（x﹣4）（x﹣36）=0
解得：x=4或x=36．
答：每件应降价4元或36元．
[点评]本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解答本题的关键．
20．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=A 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，
把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x 2+x-2)=0，解方程x=0和x 2+x-2=0，可得方程x 3+x 2-2x=0的解．
（1）问题：方程x 3+x 2-2x=0的解是x 1=0,x 2= ，x 3= ；
（2）拓展：用“转化”
的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪A B C D
的长A D =8m ，宽A B =3m ，小华把一根长为10m 的绳子的一端
固定在点B ，沿草坪边沿B A ，A D 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD 、
D C 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C ．求A P 的长．
[答案](1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
[解析]
[分析]（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设A P 的长为xm ，根据勾股定理和B P+C P=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
[详解]
解：（1），
， --x =3220x x x +-=()
220x x x +-=
所以或或
，，；
故答案为，1；
（2
，
方程的两边平方，得
即
或
，，
当
，
所以
不是原方程的解．
的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
()()210x x x
+-=0x =20x +=10x -=10x ∴=22x =-31x =2-x =223x x +=2230x x --=()()310x x -+=30x ∴-=10x +=13x ∴=21x =-1x =-11==≠-1-x =3x =ABCD 90A D ∠=∠=︒3AB CD m ==AP xm =()8PD x m =-10BP CP +=BP =CP =
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
[点评]考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．
21．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多商家都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的A 商品成本为500元，在标价800元的基础上打9折销售．
(1)现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于10%？
(2)据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售A 商品，成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出50件，为扩大销量，尽快减少库存，他决定打折促销．但他先将标价提高3m%，再大幅降价26m 元，使得A 商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了125m%，这样一天的利润达到了20000元，求m ．
[答案]（1）最多降价170元，才能使利润率不低于10%；（2）m =
2503
[解析]
∴
10=∴
10=
()22891009x x -+=-
+49x =+28160x x -+=()240x -=4x =4x =AP 4m
[分析]（1）设降价x 元，根据“利润率不低于10%”列出不等式求解即可；
（2）设m %=A ，根据“A 商品在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了125m %，这样一天的利润达到了20000元”列出方程求得A 后即可求得m 的值．
[详解]
解：（1）设降价x 元，列不等式为：
（800×
0.9﹣x ）≥500（1+10%） 解得：x ≤170．
答：问最多降价170元，才能使利润率不低于10%．
（2）设m %=A ，根据题意得：[800（1+3A ）﹣2600A ﹣500]•50（1+125A ）=20000
整理得：24A 2﹣26A +5=0
解得：A 1=56，A 2=14（舍去），∴m %=56，∴m =2503．
[点评]本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系和不等关系，难度不大．
22．百货商店服装专柜在销售中发现：某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．为占有市场份额，在确保盈利的前提下．
降价多少元时，每星期盈利为元．
降价多少元时，每星期盈利额最大，最大盈利额是多少？
[答案](1) 见解析；（2）降价元时，每星期盈利为元.
[解析]
[分析]（1）设降价x 元时，每星期盈利为6125元，根据等量关系“每件商品的利润×数量=总利润6125元”，
4060300120()16125()2 2.56125
列出方程，解方程即可求解；（2）设降价x 元时，每星期的盈利为x 元，根据等量关系“每件商品的利润×数量=总利润”，列出y 与x 的函数关系式，利用二次函数的性质解答即可.
[详解]
（1）设降价x 元时，每星期盈利为6125元，
根据题意，得：（20-x ）（300+20x ）=6125，
解得：=2.5，
答：降价2.5元时，每星期盈利为6125元．
设降价元时，每星期的盈利为元，
则． 因为降价要确保盈利，所以，
解得：，
∴当时，有最大值， 答：当降价元时，利润最大且为元．
[点评]本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，根据题目中关键描述语，找到等量关系准确的列出方程和二次函数解析式是解决问题的关键．
23．已知关于x 的一元二次方程tx 2﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1、x 2．
（1）当t=m=1时，若x 1＜x 2，求x 1、x 2；
（2）当m=1时，求t 的取值范围；
（3）当t=1时，若x 1、x 2满足3|x 1|=x 2+4，求m 的值．
12x x =()2x y 2y 20x 30020x 20x 100x 6000=
-+=-++（）（）406060x <-≤020x ≤<()100 2.5220x ==⨯-y ()()
2
42060001006125420⨯-⨯-=⨯-2.56125
[答案]（1）x 1=1，x 2=5（2）t≤
且t≠0（3）﹣59或 [解析] [分析]⑴根据题意，直接代入即可求解方程的两根；⑵根据题意，直接代入即可求解；⑶根据一元二次方程的判别式，求解出方程的两根，再根据题意求解即可.
[详解]
（1）当t=m=1时，方程变形为x 2﹣6x+5=0，
（x ﹣5）（x ﹣1）=0，
∵x 1＜x 2，
∴x 1=1，x 2=5；
（2）当m=1时，方程变形为tx 2﹣6x+5=0，
根据题意得t≠0且（﹣6）2﹣4•t•5≥0，
∴t≤且t≠0；
（3）当t=1时，方程变形为x 2﹣6x+m+4=0，
△=（﹣6）2﹣4（m+4）≥0，解得m≤5，
则x 1+x 2=6，x 1•x 2=m+4，
当x 1＜0时，﹣3x 1=x 2+4，解得x 1=﹣5，x 2=11，m+4=﹣55，解得m=﹣59，
当x 1＞0时，3x 1=x 2+4，解得x 1=，x 2=，m+4=，解得m=，
∴m 的值为﹣59或
[点评]本题考查了一元二次方程的性质，掌握一元二次方程的定义求解是解决本题的关键.
24．如图，矩形A B C D 中，A B =6C m ，B C =8C m ，点P 从点A 沿边A B 以1C m/s 的速度向点B 移动，同时点Q 从点B 沿边B C 以2C m/s 的速度向点C 移动，当P 、Q 两点中有一个点到终点时，则另一
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个点也停止运动．当△D PQ的面积比△PB Q的面积大19.5C m2时，求点P运动的时间．
[答案]当△D PQ的面积比△PB Q的面积大19.5cm2时，点P经过了1
2
秒.
[解析]
[分析]设x秒后△D PQ的面积比△PB Q的面积大19.5cm2，用含x的代数式分别表示出△D PQ的面积和△PB Q的面积，列出方程求值即可．
[详解]
解:设当△D PQ的面积比△PB Q的面积大19.5cm2时，点P运动了x秒.
根据题意得：1
2×8×x+1
2
×2x(6−x)+1
2
×6(8−2x)+[1
2
×2x(6−x)+19.5]=6×8
化简得：2x2−10x+9
4
=0
解这个方程得：x1=1
2，x2=9
2
.（不符合题意，舍去）
答：当△D PQ的面积比△PB Q的面积大19.5cm2时，点P经过了1
2
秒.
[点评]考查一元二次方程的应用；表示出所给三角形的两条直角边长是解决本题的突破点；用到的知识点为：直角三角形的面积=两直角边积的一半．。