数学初三九年级上册 压轴解答题专题练习(解析版)

数学初三九年级上册 压轴解答题专题练习（解析版）
一、压轴题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：162y x =-
+分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ，且与直线2l ：12
y x =交于点A .
（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标；
（2）若D 是线段OA 上的点，且COD △的面积为12，求直线CD 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P 是射线CD 上的点，在平面内里否存在点Q ，使以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
2．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从
A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒）
（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形.
（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？
3．如图①，O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ．
（1）求证：BD BE =．
（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．
（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．
4．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.
（1）求证：AEF BCE ∽；
（2）若23AC =，求AB 的长；
（3）在（2）的条件下，求出ABC 的外接圆圆心与CEF △的外接圆圆心之间的距离？
5．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着A C B →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）.
（1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示）
（2）求S 与t 的函数表达式；
（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.
6．如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分BAF ∠，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .
(1)求证:CD 是⊙O 的切线;
(2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.
7． 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P 为边BC 上一个动点（可以包括点C 但不包括点B ），以P 为圆心PB 为半径作⊙P 交AB 于点D 过点D 作⊙P 的切线交边AC 于点E ，
（1）求证：AE=DE ；
（2）若PB=2，求AE 的长；
（3）在P 点的运动过程中，请直接写出线段AE 长度的取值范围．
8．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，∠ABC ＝60°．点P 是边BC 上一动点，作△PAB 的外接圆⊙O 交BD 于E ．
（1）如图1，当PB ＝3时，求PA 的长以及⊙O 的半径；
（2）如图2，当∠APB ＝2∠PBE 时，求证：AE 平分∠PAD ；
（3）当AE 与△ABD 的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O 的半径．
9．平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，C 的抛物线2
y x bx c =-++的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．
10．抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交
于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4．
（1）请直接写出a 的值____________； （2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等，
①求b 的值；
②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求c 的取值范围；
（3）若1c b =--，2727b -<<，设线段AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ，将抛物线绕原点逆时针旋转α，且1tan 2
α=，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大值．
11．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.
（1）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，点F ，H 分别在边AB 和CD 上，且1AF DH ==，线段CE 与FH 交于点G ，求证：EF 为四边形AFGE 的相似对角线；
（2）在四边形ABCD 中，BD 是四边形ABCD 的相似对角线，120A CBD ∠=∠=，2AB =，6BD =CD 的长；
（3）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，90A ∠=，8AB =，6AD =，
点E是AB的中点，点F是射线AD上的动点，若EF是四边形AECF的相似对角线，请直接写出线段AF的长度（写出3个即可）.
12．如图1，ABC
∆是⊙O的内接等腰三角形，点D是弧AC上异于,A C的一个动点，射线AD交底边BC所在的直线于点E，连结BD交AC于点F.
（1）求证：ADB CDE
∠=∠；
（2）若7
BD=，3
CD=，①求AD DE
•的值；②如图2，若AC BD
⊥，求
tan ACB
∠；
（3）若
5
tan
2
CDE
∠=，记AD x
=，ABC
∆面积和DBC
∆面积的差为y，直接写出y关于x的函数关系式.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．(1)A(6，3)，B(12，0)，C(0，6)；(2)y=-x+6；(3)满足条件的Q点坐标为：(-3，3)或
22)或(6，6).
【解析】
【分析】
（1）根据坐标轴上点的坐标特点，可求出B,C两点坐标.两个函数解析式联立形成二元一次方程组，可以确定A点坐标.（2）根据坐标特点和已知条件，采用待定系数法，即可作答.（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q，使以O、C、P、2为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：①当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90°，得到四边形OP1Q1C为正方形；②当四边形OP2CQ2为菱形时；③当四边形OQ3P3C为菱形时；分别求出Q坐标即可.
【详解】
解：(1)由题意得
1
6
2
1
2
y x
y x
⎧
=-+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
解得
6
3 x
y
=⎧
⎨
=⎩
∴A(6，3)
在y=-1
6
2
x+中，当y=0时，x=12，
∴B(12，0)
当x=0时，y=6，
∴C(0，6).
(2)∵点D在线段OA上，
∴设D(x，1
2
x) (0≤x≤6)
∵S△COD=12
∴1
2
×6x=12
x=4
∴D(4，2)，
设直线CD的表达式为y=kx+b，
把(10，6)与D(4，2)代入得
6
24
b
k b
=
⎧
⎨
=+⎩
解得
1
6 k
b
=-⎧
⎨
=
⎩
直线CD的表达式为y=-x+6
(3) 存在点2，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
如图所示，分三种情况考虑：
①当四边形OP1Q1C为菱形时OC==OP1，由∠COP1=90°，得到四边形OP1Q1C为正方形，此时Q1P1=OP1=OC=6，即Q:（6，6）；
②当四边形OP2CQ2为菱形时，OP2=CP2，由C坐标为（0，6），得到Q2纵坐标为3，把y=3代入直线OQ2解析式y=-x中，得：x=-3，此时Q2（-3，3）；
③当四边形0Q3P3C为菱形时，OC=CP3，则有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，设坐标为（x，-x+6），∵OC=CP3
∴x2+x2= CP32= OC2=62
解得，P的坐标为，)
此时Q3).
综上，点Q的坐标是(-3，3)或，)或(6，6).
【点睛】
本题是一次函数、勾股定理、特殊的平行四边形的综合应用，是一道压轴题，在考试中第一问必须作答，二三问可以根据自己的情况进行取舍.
2．（1）4；（2）t为4s，20
3
s，
28
3
s时，⊙P与⊙Q外切．
【解析】
试题分析：（1）四边形APQD为矩形，也就是AP=DQ，分别用含t的代数式表示，解即可；
（2）主要考虑有四种情况，一种是P在AB上，一种是P在BC上时．一种是P在CD上时，又分为两种情况，一种是P在Q右侧，一种是P在Q左侧．并根据每一种情况，找出相等关系，解即可．
试题解析：（1）根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．此时，4t=20-t，解得t=4（s）．
答：t为4时，四边形APQD为矩形
（2）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切．
①如果点P在AB上运动．只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4．由（1），得t=4（s）；
②如果点P在BC上运动．此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，∴⊙P与⊙Q外离；
③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧．可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，
⊙P与⊙Q外切．此时，t-（4t-24）=4，解得t=20
3
（s）；
④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧．当CP-CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．此时，4t-24-t=4，
解得t=28
3
（s），
∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s，点Q从C开始沿CD边移动到D需要
20s，而28
3
＜11，
∴当t为4s，20
3
s，
28
3
s时，⊙P与⊙Q外切．
考点：1.矩形的性质；2.圆与圆的位置关系．
3．(1)证明见解析；(2)(3) 2
30
a
【解析】
【分析】
(1)根据△ABC是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C，结合圆周角定理即可证明；
(2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据△ABC 是等边三角形，可以得到BG 、AG 的值，由BF ∥AG 可得到AF BG EF EB
=，求出BE ，最后利用勾股定理即可求解； (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知AF BG EF EB =，CG=BG=1122
AC a =，可以得到BM 的值，根据BF ∥AG ，可证得△EBF ∽△EGA ，列比例式求出BF ，从而表示出△OFB 的面积．
【详解】
(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°， ∴∠DEB=∠D ，
∴BD=BE ；
(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，
∵△ABC 是等边三角形，AC=6，
∴BG=11322
BC AC ==， ∴在Rt △ABG 中，333AG BG ==
∵BF ⊥EC ，
∴BF ∥AG ，
∴
AF BG EF EB
=， ∵AF ：EF=3：2，
∴BE=23BG=2， ∴EG=BE+BG=3+2=5，
在Rt △AEG 中，()2222335213AE AG EG =+=+=(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，
由题(2)知
AF BG EF EB =，CG=BG=1122AC a =， ∴3=2
AF BG EF EB =， ∴22113323
EB BG a a ==⨯=， ∴EC=CG+BG+BE=
11142233a a a a ++=， ∴EM=12EC =23
a ， ∴BM=EM-BE=
211333a a a -=， ∵BF ∥AG ，
∴△EBF ∽△EGA ， ∴123=115
32
a BF BE AG EG a a ==+， ∵332AG BG a ==
， ∴2335BF ==， ∴△OFB 的面积＝
21313223BF BM a a ⋅=⨯=． 【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判定和性质求解．
4．（1）详见解析；（2）23）
12
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质得到90EAF CBE ∠=∠=︒，再根据同角的余角相等，得到
AFE BEC =∠∠，即可证明相似；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质，得到222AB BC =，再利用勾股定理，即可求出AB 的长度；
（3）分别找出两个三角形外接圆的圆心M 、N ，利用三角形中位线定理，即可求出MN 的长度. 【详解】
（1）证明：在矩形ABCD 中，有90EAF CBE ∠=∠=︒，
∴90AEF AFE ∠+∠=︒，
∵EC EF ⊥，
∴90FEC ∠=︒，
∴90AEF BEC ∠+∠=︒，
∴AFE BEC =∠∠，
∴AEF BCE ∽；
（2）在矩形ABCD 中，有AD=BC ，
∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，
∴22,2AB AE BE AD AF ===；
∵AEF BCE ∽，
∴AE AF BC BE
=， ∴222AB BC =，
在Rt △ABC 中，由勾股定理得，
222AB BC AC +=，
∴221122
AB AB +=， 解得：22AB =；
（3）如图：
∵△ABC 是直角三角形，
∴△ABC 的外接圆的圆心在AC 中点M 处，
同理，△CEF 的外接圆的圆心在CF 的中点N 处，
∴线段MN 为△ACF 的中位线，
∴1124
MN AF AD ==， 由（2）知，22222AB BC AD ==，
∴2AD AB =
，
∴12
MN AB =
==. 【点睛】 本题考查了求三角形外接圆的圆心距，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练利用所学性质进行证明和求解.
5．（1）7-t （2）()()()22904;25{1674725
t t S t t ππ<≤=-<<（3）516,23t t == 【解析】
【分析】
（1）先判断出点P 在BC 上，即可得出结论；
（2）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：利用相似三角形的性质得出比例式建立方程求解即可得出结论；
（3）分点P 在边AC 和BC 上两种情况：借助（2）求出的圆P 的半径等于PC ，建立方程求解即可得出结论．
【详解】
（1）∵AC =4，BC =3，∴AC +BC =7．
∵4＜t ＜7，∴点P 在边BC 上，∴BP =7﹣t ．
故答案为：7﹣t ；
（2）在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，根据勾股定理得：AB =5，由运动知，AP =t ，分两种情况讨论：
①当点P 在边AC 上时，即：0＜t ≤4，如图1，记⊙P 与边AB 的切点为H ，连接PH ，∴∠AHP =90°=∠ACB ．
∵∠A =∠A ，∴△APH ∽△ACB ，∴PH AP BC AB =，∴35PH t =，∴PH 35=t ，∴S 925=πt 2； ②当点P 在边BC 上时，即：4＜t ＜7，如图，记⊙P 与边AB 的切点为G ，连接PG ，∴∠BGP =90°=∠C ．
∵∠B =∠B ，∴△BGP ∽△BCA ，∴
PG BP AC AB =，∴745PG t -=，∴PG 45=（7﹣t ），∴S 1625
=π（7﹣t ）2． 综上所述：S 22904251674725t t t t ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩
（＜）（）（＜＜）； （3）分两种情况讨论：
①当点P在边AC上时，即：0＜t≤4，由（2）知，⊙P的半径PH
3
5
=t．
∵⊙P与△ABC的另一边相切，即：⊙P和边BC相切，∴PC=PH．
∵PC=4﹣t，∴4﹣t
3
5
=t，∴t
5
2
=秒；
②当点P在边BC上时，即：4＜t＜7，由（2）知，⊙P的半径PG
4
5
=（7﹣t）．
∵⊙P与△ABC的另一边相切，即：⊙P和边AC相切，∴PC=PG．
∵PC=t﹣4，∴t﹣4
4
5
=（7﹣t），∴t
16
3
=秒．
综上所述：在⊙P运动过程中，当⊙P与三角形ABC的另一边也相切时，t的值为5
2
秒或
16
3
秒．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．
6．（1）详见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）通过证明OE∥AD得出结论OE⊥CD，从而证明CD是⊙0的切线；
（2）在Rt△ADE中，求出AD，DE，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠CAE＝∠DAE．
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE．
∴∠DAE＝∠AEO，．
∴AD∥OE．
∵AD⊥CD，
∴OE⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接BF 交OE 于K ．
∵AB 是直径，
∴∠AFB ＝90°，
∵AB ＝10，AF ＝6，
∴BF 22106-8，
∵OE ∥AD ，
∴∠OKB ＝∠AFB ＝90°，
∴OE ⊥BF ，
∴FK ＝BK ＝4，
∵OA ＝OB ，KF ＝KB ，
∴OK ＝12
AF ＝3， ∴EK ＝OE ﹣OK ＝2，
∵∠D ＝∠DFK ＝∠FKE ＝90°，
∴四边形DFKE 是矩形，
∴DE ＝KF ＝4，DF ＝EK ＝2，
∴AD ＝AF+DF ＝8，
在Rt △ADE 中，AE 22AD DE +2284+45． 【点睛】
本题考查切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
7．（1）详见解析；（2）AE=
194；（3）74≤AE ＜254
． 【解析】
【分析】
（1）首先得出∠ADE+∠PDB=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PB 得∠EDA=∠A 进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出ED 2+PD 2=EC 2+CP 2=PE 2，求出AE 即可；
（3）分别根据当D （P)点在B 点时以及当P 与C 重合时，求出AE 的长，进而得出AE 的取值范围．
【详解】
（1）证明：如图1，连接PD ．
∵DE切⊙O于D．
∴PD⊥DE．
∴∠ADE+∠PDB=90°．
∵∠C=90°．
∴∠B+∠A=90°．
∵PD=PB．
∴∠PDB=∠B．
∴∠A=∠ADE．
∴AE=DE；
（2）解：如图1，连接PE，设DE=AE=x，则EC=8-x，∵PB=PD=2，BC=6．
∴PC=4．
∵∠PDE=∠C=90°，
∴ED2+PD2=EC2+CP2=PE2．
∴x2+22=（8-x）2+42．
解得x=19
4
．
∴AE=19
4
；
（3）解：如图2，当P点在B点时，此时点D也在B点，
∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，
∴EC2+BC2=BE2，
∴（8-x）2+62=x2，
解得：x=25
4
，
如图3，当P与C重合时，
∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，∴EC2=DC2+DE2，
∴（8-x）2=62+x2，
解得：x=7
4
，
∵P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），
∴线段AE长度的取值范围为：7
4
≤AE＜
25
4
．
【点睛】
本题主要考查圆的综合应用、切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．
8．（1）PA13O 39
2）见解析；（3）⊙O的半径为2或
47
5
7
【解析】
【分析】
（1）过点A作BP的垂线，作直径AM，先在Rt△ABH中求出BH，AH的长，再在
Rt△AHP中用勾股定理求出AP的长，在Rt△AMP中通过锐角三角函数求出直径AM的长，即求出半径的值；
（2）证∠APB＝∠PAD＝2∠PAE，即可推出结论；
（3）分三种情况：当AE⊥BD时，AB是⊙O的直径，可直接求出半径；当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，通过证△BFE∽△DAE，求出BE的长，再证△OBE是等边三角形，即得到半径的值；当AE⊥AB时，过点D作BC的垂线，通过证△BPE∽△BND，求出PE，AE的长，再利用勾股定理求出直径BE的长，即可得到半径的值．
【详解】
（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，
在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BH
＝1
2
AB＝2，AH＝AB•sin60°＝
∴HP＝BP﹣BH＝1，
∴在Rt△AHP中，
AP
∵AB是直径，
∴∠APM＝90°，
在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°，
∴AM＝AP
sin60︒
2
，
∴⊙O的半径为
3
，
即PA⊙O的半径为
3
；
（2）当∠APB＝2∠PBE时，
∵∠PBE＝∠PAE，
∴∠APB＝2∠PAE，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAD，
∴∠PAD＝2∠PAE，
∴∠PAE＝∠DAE，
∴AE平分∠PAD；
（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴r＝1
2
AB＝2；
②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，
∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，
∴BF
AD ＝
EF
AE
，
在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，
∴AF
＝AB•sin60°＝BF＝1
2
AB＝2，
∴2
8
，
∴EF，
在Rt△BFE中，
BE
5
，
∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴r；
③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴∠BPE＝90°，
如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，
∴DN＝DC•sin60°＝
CN＝1
2
CD＝2，
∴PQ＝DN＝
设QE＝x，则PE＝x，
在Rt△AEQ中，∠QAE＝∠BAD﹣BAE＝30°，∴AE＝2QE＝2x，
∵PE∥DN，
∴△BPE∽△BND，
∴PE
DN ＝
BP
BN
，
∴
BP 10
，
∴BP＝10x，
在Rt△ABE与Rt△BPE中，
AB2+AE2＝BP2+PE2，
∴16+4x
2＝（10﹣
3
x）2+（x）2，
解得，x1＝（舍），x2，
∴AE＝
∴BE ＝22AB AE +＝224(23)+＝27，
∴r ＝7，
∴⊙O 的半径为2或47或7．
【点睛】
此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的
判定与性质.
9．（1）2y x 2x 3=-++；（2）3(1,)2；（3）14m <≤或78
m =
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得出点B 的坐标，将点B 、C 的坐标分别代入二次函数解析式，求出b 、c 的值即可．
（2）在对称轴上取一点E ，连接EC 、EB 、EA ，要使得EAB 的周长最小，即要使EB+EA 的值最小，即要使EA+EC 的值最小，当点C 、E 、A 三点共线时，EA+EC 最小，求出直线AC 的解析式，最后求出直线AC 与对称轴的交点坐标即可．
（3）求出直线CD 以及射线BD 的解析式，即可得出平移后顶点的坐标，写出二次函数顶点式解析式，分类讨论，如图：①当抛物线经过点B 时，将点B 的坐标代入二次函数解析式，求出m 的值，写出m 的范围即可；②当抛物线与射线恰好只有一个公共点H 时，将抛物线解析式与射线解析式联立可得关于x 的一元二次方程，要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点，即要使一元二次方程有两个相等的实数根，即0∆=，列式求出m 的值即可．
【详解】
（1）矩形OABC ， ∴OC=AB ，
A(2，0)，C(0，3)，
∴OA=2，OC=3，
∴B(2，3)，
将点B ，C 的坐标分别代入二次函数解析式，
4233
b c c -++=⎧⎨=⎩， ∴23
b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++．
（2）如图，在对称轴上取一点E ，连接EC 、EB 、EA ，当点C 、E 、A 三点共线时，EA+EC 最小，即EAB 的周长最小，
设直线解析式为：y =kx +b ，
将点A 、C 的坐标代入可得：
203k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得：323
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴一次函数解析式为：3=32
y x -+． 2y x 2x 3=-++=2(1)4x -+-，
∴D(1，4)，
令x =1，y =332-+=32
． ∴E(1，32
)．
（3）设直线CD 解析式为：y =kx +b ，
C(0，3)，D(1，4)，
∴43k b b +=⎧⎨=⎩
, 解得13k b =⎧⎨=⎩
， ∴直线CD 解析式为：y =x +3，
同理求出射线BD 的解析式为：y =－x +5(x ≤2)， 设平移后的顶点坐标为(m ，m +3)，
则抛物线解析式为：y =－(x －m )2+m +3，
①如图，当抛物线经过点B 时，
－(2－m )2+m +3=3，
解得m =1或4，
∴当1<m ≤4时， 平移后的抛物线与射线只有一个公共点；
②如图，当抛物线与射线恰好只有一个公共点H 时，
将抛物线解析式与射线解析式联立可得：－(x －m )2+m +3=－x +5，
即x 2－(2m +1)x +m 2－m +2=0，
要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点，
即要使一元二次方程有两个相等的实数根，
∴22[(21)]4(2)0m m m ∆=-+⨯-+=－，
解得78
m =． 综上所述，14m <≤或78m =
时，平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点．
【点睛】
本题为二次函数、一次函数与几何、一元二次方程方程综合题，一般作为压轴题，主要考查了图形的轴对称、二次函数的平移、函数解析式的求解以及二次函数与一元二次方程的关系，本题关键在于：①将三角形的周长最小问题转化为两线段之和最小问题，利用轴对称的性质解题；②将二次函数与一次函数的交点个数问题转化为一元二次方程实数根的个数问题．
10．（1）1；（2）①4b =-；②26c ≤<；（3）D 一定在线段AB 上，
2
=CD 【解析】
【分析】
（1）根据题意顶点P （k ，h ）可将二次函数化为顶点式：()2
y a x k h =-+，又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，即可得出a 的值； （2）①根据抛物线x=0和x=4时函数值相等，可得到顶点P 的横坐标，根据韦达定理结合（1）即可得到b 的值，
②根据（1）和（2）①即可得二次函数对称轴为x=2，利用点Q （0，2）关于对称轴的对称点R （4，2）可得QR=4，又QR 在直线y=2上，故令M 坐标（t ，2）（0≤t ＜2），代入二次函数即求得c 的取值范围；
（3）由c=-b-1代入抛物线方程即可化简，将抛物线绕原点逆时针旋转αα，且tanα=2，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tanα=2，可得到直线l 的解析式，最后联立直线方程与抛物线方程运算求解．
【详解】
解：（1）根据题意可知1二次函数2y ax bx c =++（a≠0）的顶点为P （k ，h ），
故二次函数顶点式为()2y a x k h =-+，
又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，且无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，
∴a=1；
故答案为：a=1．
（2）①∵二次函数当0x =和4x =时的函数值相等 ∴222
b b x a =-=-= ∴4b =-
故答案为：4b =-．
②将点Q 向右平移4个单位得点()4,2R
当2c =时，2
42y x x =-+
令2y =，则2242x x =-+
解得14x =，20x =
此时()0,2M ，()4,2N ，4MN QR ==
∵4QM QN +=∵QM NR =
∴4QN NR QR +==
∴N 在线段QR 上，同理M 在线段QR 上
设(),2M m ，则02m ≤<，224m m c =-+
2242(2)6c m m m =-++=--+
∵10-<，对称轴为2m =，02m ≤<
∴c 随着m 的增大而增大
∴26c ≤<
故答案为：26c ≤<．
（3）∵1c b =--∴21y x bx b =+--
将抛物线绕原点逆时针旋转α，且tan 2α=，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tan 2α=，
∴l 的解析式为2y x =
221
y x y x bx b =⎧⎨=+--⎩∴2(2)10x b x b +---= ∴222
4(2)448b ac b b b ∆=-=-++=+
∴x =
∴12,22b D b ⎛-+-++ ⎝⎭ 22244124442444
AB ac b b b b y k b a ---+-+=+=+==-++
122442244AB D b b y y b b ⎛⎫-+-+-=-++-++= ⎪⎝
⎭ ∵20b ≥
∴12404410444
D AB b y y -+-+-=≥==> ∴点1D 始终在直线AB 上方
∵2C b -+-⎝⎭
∴24224B C A b y y b b ⎛⎫-+-=-+--++= ⎪⎝⎭
∴224841644
AB C b b y y -++--++-==
()2282164b -+-+
=
∵2727b -<<，即2028b ≤<， ∴22284b ≤+<
设28n b =+，224n ≤<
∴2(2)164
AB C n y y --+-= ∵104
-<，对称轴为2n = ∴当224n ≤<时，AB C y y -随着n 的增大而减小
∴当4n =时，0AB C y y -=
∴当224n ≤<时，AB C y y >
∴区域S 的边界与l 的交点必有两个
∵1D AB y y >
∴区域S 的边界与l 的交点D 一定在线段AB 上
∴D AB y y =
∴2(2)164
D C C AB n y y y y --+-=-= ∴当22n =时，D C y y -有最大值122+
此时1222
D C x x +-= 由勾股定理得：()()2252102
C C
D D CD x x y y +=-+-=，
故答案为：5210+=
CD ． 【点睛】 本题考查二次函数一般式与顶点式、韦达定理的运用，以及根与系数的关系判断二次函数交点情况，正确理解相关知识点是解决本题的关键．
11．（1）详见解析；（2）333CD =或3；（3）详见解析.
【解析】 【分析】 （1）只要证明△EAF ∽△FEG 即可解决问题；
（2）如图3中，作DE ⊥BA 交BA 的延长线于E ．设AE=a ．在Rt △BDE 中，利用勾股定理构建方程求出a ，分两种情形构建方程求解即可；
（3）①当△AFE ∽△EFC 时，连接BC ，AC ，BD ．②当△AFE ∽△FEC 时，作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ，作OM ⊥AD 于M ，连接OA ．③当△AFE ∽△CEF 时，分别求解即可，注意答案不唯一．
【详解】
解：（1）如图1，∵正方形ABCD 中4AB AD CD ===，90A D ∠=∠=，E 为AD 中点
∴2AE ED ==，∵1AF DH ==，∴
12AF DE AE CD == ∴AEF DCE ∆∆∽
∴AEF DCE ∠=∠，AFE DEC ∠=∠
∵//AF DH ，∴四边形AFHD 为平行四边形
∴AD FH ，∴AEF EFG ∠=∠，DEC EGF AFE ∠=∠=∠
∴AEF EFG ∆∆∽
∴EF 为四边形AFGE 的相似对角线.
（2）如图2，过点D 作DE BA ⊥，垂足为E ，设AE a =
∵120A CBD ∠=∠=，∴60EAD ∠=，∴3DE a =
∵2AB =，6BD =
∴()22236a a ++=
312
a -=（负根已经舍弃）， ∴31AD =-
分为两种情况：
①如图3，当ABD BCD ∆∆∽时，
AD BD BD CD = ∴()
316CD -=，∴333CD =
②如图4，当ABD BDC ∆∆∽时，
AB BD BD CD
= ∴26CD =，∴3CD = 综上，333CD =+或3
（3）①如图5，∵∠FEC=∠A=90°，∠BEF=∠BEC+∠FEC=∠A+∠AEF ，
∴AFE BEC ∠=∠，AF EF AF AE EC BE
==，∴AFE BEC ∆∆∽，∴90B ∠= 由“一线三等角”得83AF =
.
②如图，当△AFE ∽△FEC 时，作CH ⊥AD 交AD 的延长线于H ，作OM ⊥AD 于M ，连接OA ．
∵△AFE ∽△FEC ，
∴∠AFE=∠FEC ，
∴AD ∥EC ，
∴∠CEB=∠DAB=90°，
∵∠OMA=∠AHC=90°，
∴四边形AEOM ，四边形AECH 都是矩形，
∵OM ⊥AD ，
∴AM=MD=3， ∴AM=OE=3，
∵OE ⊥AB ，
∴AE=EB=4，
∴OA=2234+=5，
∴CE=AH=8，设AF=x ，则FH=8-x ，CH=AE=4，
由△AEF ∽△HFC ，可得AF CH =AE FH
， ∴
448x x
=-， 解得x=4， 经检验x=4是分式方程的解，
∴AF=4．
③如图当△AFE ∽△CEF 时易证四边形AECF 是矩形，AF=EC=8．
综上所述，满足条件的AF 的长为83
或4或8．（答案不唯一） 【点睛】 本题属于圆综合题，考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
12．(1)证明见解析；（2）①215（3）21029
y x =
【解析】
【分析】 ()1由圆内接四边形性质知ABC CDE ∠∠=，由AB AC =知ABC ACB ∠∠=，从而得ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠===；
()2①由BAD DCE ∠∠=，ADB CDE ∠∠=可证
ADB ∽CDE.从而得
AD DB CD DE =； ②连接AO 并延长交BD 于点M ，连接CM ，证MAF ≌DAF 得MF DF =，据此知BM CM CD 3===，MF DF 2==，求得22CF CD DF 5=-=定义可得答案；
()3证ABD ∽AEB 得2AB AD AE.=⋅证ABD ∽CED 得BD CD AD DE.⋅=⋅从而得2ABC BCD 111S S AB AC sin BAC BD CD sin BDC x sin BAC 222
∠∠∠-=⋅⋅-⋅⋅=，再由5tan ABC tan CDE 2∠∠==
，可设BM 2a =，知AM 5a =，AB 29a =，由面积法可得BN a 29=
，即20sin BAC 29∠=，据此得出答案． 【详解】
解：()1四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，
ABC 180ADC CDE ∠∠∠∴=-=．
AB AC =，
ABC ACB ∠∠∴=．
ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠∴===；
()2①四边形ABCD 内接于圆，
BAD 180BCD DCE ∠∠∠∴=-=．
又ADB CDE ∠∠=，
ADB ∴∽CDE ．
AD DB CD DE
∴=， AD DE BD CD 7321∴⋅=⋅=⨯=；
②连接AO 并延长交BD 于点M ，连接CM ，
AM 平分BAC ∠，
AM BC ∴⊥，
CAD CBD 90ACB MAF ∠∠∠∠∴==-=．
MAF ∴≌()DAF ASA ．
MF DF ∴=，即AC 是线段MD 的中垂线．
BM CM CD 3∴===，
MF DF 2∴==，
在Rt CDF 中，2222CF CD DF 325=--=，
BF tan ACB 5CF 5
∠∴===. ()3BAD EAB ∠∠=，ADB ACB ABE ∠∠∠==，
ABD ∴∽AEB ，
AB AD AE AB ∴=，即2AB AD AE =⋅． CDE ADB ∠∠=，DCE BAD ∠∠=
ABD ∴∽CED ，
BD AD DE CD
∴=，即BD CD AD DE ⋅=⋅． ABC BCD 11S S AB AC sin BAC BD CD sin BDC 22
∠∠-=⋅⋅-⋅⋅, ()1sin BAC AD AE AD DE 2
∠=⋅-⋅. 21x sin BAC 2
∠=，
又5tan ABC tan CDE 2
∠∠==， 如图2，设BM 2a =，则AM 5a =，AB 29a =
， 由面积法可得BN 29=，即20sin BAC 29
∠=， 22ABC BCD 12010S S x x 22929y ∴-==
⨯=． 【点睛】
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形和全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角函数的应用等知识点．。