广东省中考数学复习 第一部分 中考基础复习 第三章 函数 第4讲 二次函数课件

3.(2017 年江苏徐州)若函数 y＝x2 －2x＋b 的图象与坐标轴
有三个交点，则 b 的取值范围是( )
A.b<1，且 b≠0
B.b＞1
C.0<b<1
D.b<1
解析：∵函数 y＝x2－2x＋b 的图象与坐标轴有三个交点，
∴Δb≠＝0－. 22－4b>0， 解得 b＜1，且 b≠0.
答案：A
确定二次函数的关系式 4. 若抛物线 y ＝ ax2 ＋bx ＋c 的顶点是 A(2,1) ，且经过点 B(1,0)，则抛物线的函数关系式为 y＝__________. 答案：－x2 ＋4x－3
x＝－2ba －2ba，4ac4－a b2
向下(a<0)
x＝－2ba －2ba，4ac4－a b2
(续表)
知识点
二次函数的 图象和性质
增减性 最值
内容
当 x>－2ba时，y 随 x 当 x>－2ba时，y 随 x 的增大而增大； 的增大而减小；
当 x＜－2ba时，y 随 x 当 x＜－2ba时，y 随 x
(3)若点 P 在第一象限内的抛物线上，且
S△ABP＝4S△COE ，求 P 点坐标. 注：二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶
点坐标为－2ba，4ac4－a b2.
图 3-4-4
解：(1)由 A(－1,0)，B(3,0)，得－－91＋－3bb＋＋c＝c＝00，. 解得bc＝＝32.， ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3. (2)C(0,3)，D(1,4) (3)设 P(x，y)(x>0，y>0) S△COE＝12×1×3＝32.
【试题精选】 1.(2017 年山东日照)已知抛物线 y＝ ax2＋bx＋c(a≠0)的对 称轴为直线 x＝2，与 x 轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象 如图 3-4-1，下列结论：
图 3-4-1
①抛物线过原点；②4a＋b＋c＝0；③a－b＋c<0；④抛物
线的顶点坐标为(2，b)；⑤当 x<2 时，y 随 x 增大而增大.其中结
第4讲 二次函数
1.通过对实际问题情境的分析，体会二次函数的意义. 2.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象了解二次 函数的性质. 3. 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y ＝ a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐 标、开口方向， 画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题. 4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
y 轴的交点在正半轴
上；
பைடு நூலகம்
c 的符号决定抛物线 与 y 轴的交点在正半 轴或负半轴或原点
当 c＝0 时，抛物线经 过原点；
当 c＜0 时，抛物线与
y 轴的交点在负半轴
上
(续表)
知识点
内容
当 a，b 同号，对称轴
在 y 轴左边；
系数 a，b
a，b 的符号决定对称 轴的位置
当 b＝0 时，对称轴为 y 轴；
b 2a
＝3，解得b＝12.
把(3,8)代入 y＝－2x2 ＋12x＋c 中，得 c＝－10. ∴解析式为 y＝－2x2 ＋12x－10.
(2)设 M(m，－2m2＋12m－10)， ∴S＝12OA·|yM|＝9，∴|yM|＝|－2m2＋12m－10|＝6. ①当－2m2＋12m－10＝6 时， 解得 m1＝2，m2＝4. ∴M1(2,6)，M2(4,6)． ②当－2m2＋12m－10＝－6 时， 解得 m1＝3＋ 7，m2＝3－ 7. ∴M3(3＋ 7，－6)，M4(3－ 7，－6)．
交点式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
二次函数的平 y＝ax2 的图象
y＝
移与解析式的
关系
a(x－h)2 的图象
y＝
a(x－h)2＋k 的图象
(续表)
知识点
内容
(1)从实际问题中抽象出二次函数，并能利用二次函数 的最值公式解决实际问题中的最值问题；
二次函数的 (2)二次函数综合几何图形，要充分抓住几何图形的特 综合运用 点并结合二次函数图象的特点才能有效解决问题.二 次函数综合动点问题，要弄清楚在动的过程中，什么
5.(2017 年江苏盐城)如图 3-4-3，将函数 y＝12(x－2)2＋1 的 图象沿 y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点 A(1，m)， B(4，n)平移后的对应点分别为点 A′，B′.若曲线段 AB 扫过
的面积为 9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )
A.y＝12(x－2)2－2 B.y＝12(x－2)2＋7 C.y＝12(x－2)2－5 D.y＝12(x－2)2＋4
答案：C
2.二次函数 y＝ x2 －2x－3 的图象如图 3-4-2，下列说法中错 误的是( )
图 3-4-2 A.函数图象与 y 轴的交点坐标是(0，－3) B.顶点坐标是(1，－3) C.函数图象与 x 轴的交点坐标是(3,0)，(－1,0) D.当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小 答案：B
5.(2017 年宁夏)已知点 A(－1,1)，B(1,1)，C(2,4)在同一个函 数图象上，这个函数图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
知识点
内容
二次函数的 形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，
定义 叫做二次函数
图象
二次函数的 图象和性质
开口 对称轴
顶点坐标
向上(a>0)
变了，什么没变，动中求静才能有效解决问题
二次函数的图象和性质 例：(2016 年天津)已知二次函数 y＝(x－h)2＋1(h 为常数)， 在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为( ) A.1 或－5 B.－1 或 5 C.1 或－3 D.1 或 3 [思路分析]由解析式可知该函数在 x＝h 时取得最小值 1、 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大、当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减 小，根据 1≤x≤3 时，函数的最小值为 5 可分两种情况：①若 h＜1≤x≤3，当 x＝1 时，y 取得最小值 5；②若 1≤x≤3＜h， 当 x＝3 时，y 取得最小值 5，分别列出关于 h 的方程求解即可.
答案：y＝－38x2＋34x＋3 4.(2017 年辽宁沈阳)某商场购进一批单价为 20 元的日用商 品.如果以单价 30 元销售，那么半月内可销售出 400 件.根据销 售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提 高 1 元，销售量相应减少 20 件，当销售单价是_________元时， 才能在半月内获得最大利润. 答案：35
解析：∵当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，当x＝1时，y取得最小值5. 可得(1－h)2＋1＝5.解得h＝－1或h＝3(舍去)； ②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5. 可得(3－h)2＋1＝5，解得h＝5或h＝1(舍去). 综上所述，h的值为－1或5. 答案：B [名师点评]本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二 次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键.
二次函数的综合运用
8.(2017 年黑龙江齐齐哈尔) 如图 3-4-4 ，已知抛物线 y ＝
－x2 ＋bx＋c 与 x 轴交于点A(－1,0)和点 B(3,0)，与 y 轴交于点C，
连接 BC 交抛物线的对称轴于点 E，D 是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)直接写出点 C 和点 D 的坐标；
图 3-4-3
解析：∵函数 y＝12(x－2)2＋1 的图象过点 A(1，m)，B(4， n)，∴m＝12×(1－2)2＋1＝32，n＝12(4－2)2＋1＝3.∴A1，32， B(4,3)．过点 A 作 AC∥x 轴，交 B′B 的延长线于点 C，则 C4，32. ∴AC＝4－1＝3.∵曲线段 AB 扫过的面积为 9(图中的阴影部分)， ∴AC·AA′＝3AA′＝9.∴AA′＝3.即将函数 y＝12(x－2)2＋1 的 图象沿 y 轴向上平移 3 个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是 y＝12(x－2)2＋4.故选 D.
S△ABP＝4×y×12＝2y. ∵S△ABP＝4S△COE，∴2y＝4×32. ∴y＝3. ∴－x2＋2x＋3＝3. 解得 x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝2. ∴P(2,3)．
9.(2017 年浙江金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球 飞行的路线为抛物线的一部分.如图 3-4-5，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 y(单位：m)与水平距离 x(单 位：m)之间满足函数表达式 y＝ a(x－4)2 ＋h，已知点 O 与球网 的水平距离为 5 m，球网的高度 1.55 m.
系数 a，b，c 和 Δ 的符号与
几何意义
当 a，b 异号，对称轴 在 y 轴右边 Δ＝b2－4ac＞0，两个 不相等的实数根；
ax2＋bx＋c＝0(a≠0) Δ＝b2－4ac＝0，两个
Δ 的根的个数
相等的实数根；
Δ＝b2－4ac＜0，不存
在实数根
(续表)
知识点
内容
Δ＝b2－4ac＞0，有两
系数 a，b，c 和 Δ 的符号与
答案：D
6. 抛物线 y ＝ ax2 ＋bx ＋c(a≠0) 与 x 轴交于点 A( －4,0) ， B(2,0)，与 y 轴交于点 C(0,2).求抛物线的解析式.
解：设这条抛物线的解析式为 y＝a(x＋4)(x－2)， 根据题意，得 a(0＋4)(0－2)＝2.
解得 a＝－14. ∴这条抛物线的解析式为 y＝－14(x＋4)(x－2)．
论正确的是( )
A.①②③
B.③④⑤
C.①②④
D.①④⑤
解析：①∵抛物线 y＝ ax2 ＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x ＝2，与 x 轴的一个交点坐标为(4,0)，∴抛物线与 x 轴的另一交 点坐标为(0,0)，结论①正确；②∵抛物线 y＝ ax2 ＋bx＋c(a≠0)
的对称轴为直线 x＝2，且抛物线过原点，∴－ 2ba＝2，c＝0， ∴b＝－4a，c＝0，∴4a＋b＋c＝0，结论②正确；③∵当 x＝ －1 和 x＝5 时，y 值相同，且均为正，∴a－b＋c＞0，结论③错 误；④当 x＝2 时，y＝ ax2 ＋bx＋c＝4a＋2b＋c＝(4a＋b＋c)＋b ＝b，∴抛物线的顶点坐标为(2，b)，结论④正确；⑤观察函数 图象可知：当 x＜2 时，y 随 x 增大而减小，结论⑤错误．综上 所述，正确的结论有①②④.故选 C.
7.(2017 年云南改编)已知二次函数 y＝－2x2 ＋bx＋c 图象的
顶点坐标为(3,8)，该二次函数图象的对称轴与 x 轴的交点为 A，
M 是这个二次函数图象上的点，O 是原点.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)设 S 是△AMO 的面积，求满足 S＝9 的所有点 M 的坐标.
解：(1)∵a＝－2，而－
1.(2017 年湖南邵阳)若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向下， 则 a 的值可能是____________.(写一个即可)
答案：－1(负数即可)
2.(2017 年黑龙江哈尔滨)抛物线 y＝－35x＋122－3 的顶点坐 标是________________.
答案：－12，－3
3.(2017 年广西百色)经过 A(4,0)，B(－2,0)，C(0,3)三点的抛 物线解析式是________________.
几何意义
Δ
抛物线 y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)与 x 轴的交点 个数
个交点； Δ＝b2－4ac＝0，有一 个交点； Δ＝b2－4ac＜0，没有
个交点
(续表)
知识点
二次函数的 解析式
内容
(1)已知抛物线上的三点，选一般式 y
用待定系数法 求二次函数的 解析式
＝ax2＋bx＋c(a≠0); (2)已知顶点或对称轴、最大(小)值，选 顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0); (3)已知抛物线与 x 轴的两个交点，选
[解题技巧](1)当已知抛物线上三点求二次函数的解析式 时，一般采用一般式 y＝ax2 ＋bx＋c(a≠0)；
(2)当已知抛物线顶点坐标(或对称轴或最大、最小值)求解 析式时，一般采用顶点式 y＝a(x－h)2 ＋k；
(3)当已知抛物线与 x 轴的交点坐标求二次函数的解析式 时，一般采用两根式 y＝a(x－x1)(x－x2).
的增大而减小
的增大而增大
有最小值，即 y 最小＝ 有最大值，即 y 最大＝
4ac－b2
4ac－b2
4a
4a
(续表)
知识点
系数 a，b，c 和Δ的符号与
几何意义
系数 a 系数 c
内容
当 a＞0 时，抛物线开
a 的符号决定抛物线 口向上；
的开口方向
当 a＜0 时，抛物线开
口向下
当 c＞0 时，抛物线与