宝山区高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

宝山区高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为22，则这个圆的方程是（ ） A ．()()22210x y -++= B ．()()22
214x y -++= C ．()()2
2
218x y -++= D ．()()2
2
2116x y -++=
2． 已知函数()f x 的定义域为[],a b ，函数()y f x =的图象如图甲所示，则函数(||)f x 的图象是 图乙中的（ ）
3． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）
A ．2︰3
B ．4︰3
C ．3︰1
D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．
4． 函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，则ω的一个可能取值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．7
D ．9
5． 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）
=（ ） A ．16
B ．﹣16
C ．8
D ．﹣8
6． 设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ） A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
D ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n
7． 已知全集为R ，集合{}
|23A x x x =<->或，{}2,0,2,4B =-，则()R A B =ð（ ）
A ．{}2,0,2-
B ．{}2,2,4-
C ．{}2,0,3-
D ．{}0,2,4
8． 若P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆=1（a ＞b ＞0）上的一点，且
=0，
tan ∠PF 1F 2=，则此椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为
负的是（ ） A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
10．函数()()f x x R Î是周期为4的奇函数，且在02[,]上的解析式为(1),01
()sin ,12
x x x f x x x ì-＃ï=í
p <?ïî，则
1741
()()46f f +=（ ） A ．716 B ．916 C ．1116 D ．1316
【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．
11．随机变量x 1～N （2，1），x 2～N （4，1），若P （x 1＜3）=P （x 2≥a ），则a=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
12．将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函
数图象的一条对称轴方程是（ ）
A ．x=π
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）
①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；
②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点； ③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点； ④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；
⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．
14．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且
2AB BC CA ===，则
球表面积是_________.
15．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为3
π
，则|2|+=a b ．
16．（lg2）2+lg2•lg5+
的值为 ．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．已知数列{a n }共有2k （k ≥2，k ∈Z ）项，a 1=1，前n 项和为S n ，前n 项乘积为T n ，且a n+1=（a ﹣1）S n +2（n=1，
2，…，2k ﹣1），其中a=2，数列{b n }满足b n =log 2
，
（Ⅰ）求数列{b n }的通项公式；
（Ⅱ）若|b 1﹣|+|b 2﹣|+…+|b 2k ﹣1﹣|+|b 2k ﹣|≤，求k 的值．
18．数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足*2120()n n n a a a n N ++-+=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n S a a a =++，求n S .
19．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos )cos 0C A A B +=． （1）求角B 的大小；
（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．
【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．
20．如图，已知椭圆C
，点B 坐标为（0，﹣1），过点B 的直线与椭圆C 的另外一个交
点为A ，且线段AB 的中点E 在直线y=x 上． （1）求直线AB 的方程；
（2）若点P 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线y=x 于点M ，N ，直线BM 交椭圆C 于另外一点Q ． ①证明：OM •ON 为定值； ②证明：A 、Q 、N 三点共线．
21．设f （x ）=x 2﹣ax+2．当x ∈，使得关于x 的方程f （x ）﹣tf （2a ）=0有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．
22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，
过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．
宝山区高级中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 【答案】B 【解析】
考
点：圆的方程.1111] 2． 【答案】B 【解析】
试题分析：(||)f x 的图象是由()f x 这样操作而来：保留y 轴右边的图象，左边不要.然后将右边的图象关于y 轴对称翻折过来，故选B ． 考点：函数图象与性质．
【思路点晴】本题主要考查函数的奇偶性、数形结合的数学思想方法.由()f x 加绝对值所得的图象有如下几种，一个是()f x ——将函数()f x 在轴下方的图象翻折上来，就得到()f x 的图象，实际的意义就是将函数值为负数转化为正的；一个是()f x ，这是偶函数，所以保留y 轴右边的图象，左边不要.然后将右边的图象关
于y 轴对称翻折过来.
3． 【答案】C
【解析】由已知等式，得3cos 3cos c b C c B =+，由正弦定理，得sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，则
sin 3sin()3sin C B C A =+=，所以sin :sin 3:1C A =，故选C ．
4． 【答案】C
【解析】解：∵函数f （x ）=sin ωx+acos ωx （a ＞0，ω＞0）在x=处取最小值﹣2，
∴sin
+acos
=﹣
=﹣2，∴a=
，∴f （x ）=sin ωx+
cos ωx=2sin （ωx+
）．
再根据f （）=2sin （+
）=﹣2，可得
+
=2k π+
，k ∈Z ，∴ω=12k+7，∴k=0时，ω=7，
则ω的可能值为7， 故选：C ．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
5．【答案】B
【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．
即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．
6．【答案】D
【解析】解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；
B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；
C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；
D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．
故选D．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．
7．【答案】A
【解析】
考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集.
8．【答案】A
【解析】解：∵
∴，即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形．
∵Rt△PF1F2中，，
∴=，设PF2=t，则PF1=2t
∴=2c，
又∵根据椭圆的定义，得2a=PF1+PF2=3t
∴此椭圆的离心率为e====
故选A
【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形，根据一个内角的正切值，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．
9．【答案】B
【解析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0，
④∵sin＞0，cosπ=﹣1，tan＜0，
∴＞0，
其中符号为负的是②，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．10．【答案】C
11．【答案】C
【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称，
因为P（x1＜3）=P（x2≥a），
所以3﹣2=4﹣a，
所以a=3，
故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
12．【答案】B
【解析】解：将函数y=cosx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到y=cos x，再向右平移个单位得到y=cos[（x）]，
由（x）=kπ，得x=2kπ，
即+2kπ，k∈Z，
当k=0时，，
即函数的一条对称轴为，
故选：B
【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】①②⑤
【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=或x=1，故①正确；
对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳定点，故②正确；
对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，
1，
由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0
还有另外两解，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是
不动点，故③④错误；
对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；
若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0
即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，
假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾；
假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；
故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．
14．【答案】64 9
【解析】111]
考点：球的体积和表面积.
【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键. 15．【答案】2
【解析】解析：本题考查向量夹角与向量数量积的应用．a 与b 的夹角为23
π
，1⋅=-a b ，
∴|2|+=
a b 2=．
16．【答案】 1 ．
【解析】解：（lg2）2
+lg2•lg5+
=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，
故答案为：1．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】
【解析】（本小题满分13分）
解：（1）当n=1时，a 2=2a ，则
；
当2≤n ≤2k ﹣1时，a n+1=（a ﹣1）S n +2，a n =（a ﹣1）S n ﹣1+2，
所以a n+1﹣a n =（a ﹣1）a n ，故
=a ，即数列{a n }是等比数列，
，
∴T n =a 1×a 2×…×a n =2n a
1+2+…+（n ﹣1）
=，
b n ==
．…
（2）令，则n ≤k+，又n ∈N *
，故当n ≤k 时，
，
当n ≥k+1时，
．…
|b 1﹣|+|b 2﹣|+…+|b 2k ﹣1﹣|+|b 2k ﹣|
=
+（）+…+（）…
=（k+1+…+b 2k ）﹣（b 1+…+b k ）
=[+k]﹣[]
=，
由
，得2k 2
﹣6k+3≤0，解得，…
又k ≥2，且k ∈N *
，所以k=2．…
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．
18．【答案】（1）102n a n =-；（2）2
29(5)
940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．
【解析】
试题分析：（1）由2120n n n a a a ++-+=，所以{}n a 是等差数列且18a =，42a =，即可求解数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）令0n a =，得5n =，当5n >时，0n a <；当5n =时，0n a =；当5n <时，0n a >，即可分类讨论求解数列n S ．
当5n ≤时，12||||||n n S a a a =++
2
129n a a a n n =+++=-
∴2
29(5)940(5)
n n n n S n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩.1
考点：等差数列的通项公式；数列的求和． 19．【答案】（1）3
B π
=；（2）[1,2).
【
解
析
】
20．【答案】
【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），
∵点A在椭圆C上，∴，
整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），
∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），
∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；
（2）证明：设P（x0，y0），则，
①直线AP方程为：y+=（x+），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，
直线BP的方程为：y+1=，
联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，
∴OM•ON=|x M||x N|
=2•||•||
=||
=||
=||
=．
②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k==），
联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4kx=0，
∴x Q=，y Q=，
∴k AN===1﹣，k AQ==1﹣，
要证A、Q、N三点共线，只需证k AN=k AQ，即3x N+4=2k+2，
将k=代入，即证：x M•x N=，
由①的证明过程可知：|x M|•|x N|=，
而x M与x N同号，∴x M•x N=，
即A、Q、N三点共线．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．【答案】
【解析】设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈，则t=，
∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；
∴时，t取得最小值，此时x=9
∴税率t的最小值为．
【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，
∴，解得a2=4，b2=3，
∴椭圆C的方程为=1．
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣），
代入椭圆，化简，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，
∴，，
设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），
则直线F1M：，令x=4，得P（4，），同理，Q（4，），
∴=||=15×||=180×||，
令μ=∈[1，），则=180×，
∵y==在[1，）上是增函数，
∴当μ=1时，即t=0时，（）min=．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．。