高考总动员高考数学总复习 课时提升练69 相似三角形的判定及有关性质 理 新人教版-新人教版高三全册

课时提升练(六十九) 相似三角形的判定及有关性质
一、选择题
1．在△ABC中，AC＝6，BC＝4，BA＝9，△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′最短边为12，则它的最长边的长度为( )
A．16 B．18 C．27 D．24
【解析】因为△ABC∽△A′B′C′，AC＝6，BC＝4，BA＝9，所以△A′B′C′的最短
边是B′C′，最长边是A′B′，
BC
B′C′
＝
BA
B′A′
，即
4
12
＝
9
B′A′
，所以A′B′＝27.
【答案】 C
2．如图15所示，已知AB∶BD＝2∶3，且BC∥DE，则S△ABC∶S梯形BDEC等于( ) A．4∶21 B．4∶25
C．2∶5 D．2∶3
图15
【解析】∵AB∶BD＝2∶3且BC∥DE，∴AB∶AD＝2∶5，
∴S△ABC
S△ADE
＝
4
25
，
∴
S△ABC
S梯形BDEC
＝
4
21
.
【答案】 A
3．一个直角三角形两条直角边的比为1∶5，则它们在斜边上的射影比为( ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶ 5 D．1∶5
【解析】如图，在Rt△ABC中，BC∶AC＝1∶5，
作CD⊥AB于D.
∴BC2＝AB·BD，AC2＝AB·AD，
∴BC2
AC2
＝
AB·BD
AB·AD
，∴
BD
AD
＝
1
5
.
因此它们在斜边上的射影比为1∶5.
【答案】 D
4．如图16所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF 等于( ) A ．4 B ．5 C ．2 D ．3
图16
【解析】 由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝3
5
，因为DE ＝6，所以BC ＝10.
又因为DF ∥AC ，所以四边形DFCE 为平行四边形， 所以CF ＝DE ＝6，即BF ＝10－6＝4.故选A. 【答案】 A
5．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝3∶2，则△ACD 与△CBD 的相似比为( )
A ．2∶3
B ．3∶2
C ．9∶4 D.6∶3
【解析】 如图Rt △ABC 中，由CD ⊥AB 及射影定理知，
CD 2＝AD ·BD ，即CD AD ＝BD
CD
，
又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°， ∴△ACD ∽△CBD . ∵BD ∶AD ＝3∶2 ∴令BD ＝3t ，AD ＝2t ，
即CD 2
＝6t 2
，即CD ＝6t ，∴AD CD
＝
2t 6t
＝
63
. 故△ACD 与△CBD 的相似比为6∶3. 【答案】 D
6．如图17，ED ∥FG ∥BC ，且DE 、FG 把△ABC 的面积分为相等的三部分，若BC ＝15，则FG 的长为( )
A ．56
B ．10
C ．43
D ．7.5
图17
【解析】∵DE 、FG 把△ABC 的面积分为相等的三部分 ∴
S △AFG S △ABC ＝2
3
. ∵DE ∥FG ∥BC ，∴△AFG ∽△ABC .
∴S △AFG S △ABC ＝23＝FG 2BC 2
. ∴FG BC
＝
2
3
，又BC ＝15，∴FG ＝5 6. 【答案】 A 二、填空题
7．(2014·某某高考)如图18，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与
DE 交于点F ，则
△CDF 的面积
△AEF 的面积
＝________.
图18
【解析】 根据EB ＝2AE 求出两个相似三角形的对应边所成的比例，再利用相似三角形的性质求解．
在平行四边形ABCD 中，因为EB ＝2AE ，所以AE AB ＝13＝AE CD ，故CD
AE ＝3.因为AE ∥CD ，所以△
AEF ∽△CDF ，所以S △CDF S △AEF ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫CD AE 2
＝9.
【答案】 9
8．(2013·某某高考)如图19，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.
图19
【解析】 因为PE ∥BC ，所以∠C ＝∠PED .又因为∠C ＝∠A ，所以∠A ＝∠PED .又∠P ＝∠P ，所以△PDE ∽△PEA ，则
PD PE ＝PE PA
，即PE 2
＝PD ·PA ＝2×3＝6，故PE ＝ 6. 【答案】 6
9．如图20，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD ＝4
5
，则
CD ＝________，BC ＝________.
图20
【解析】 在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，得AC ＝5，CD ＝AC 2－AD 2
＝3，
又由射影定理AC 2
＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝25
4
.
∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝9
4
，
由射影定理BC 2
＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154.
【答案】 3 15
4
三、解答题
10．如图21所示，已知▱ABCD 中，G 是DC 延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于E ，F 两点，证明：AF ·AD ＝AG ·BF .
图21
【证明】 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB ∥DC ，AD ∥BC ，
又AB ∥CG ，所以△GCF ∽△ABF . 因为AD ∥CF ，所以△GCF ∽△GDA . 所以△ABF ∽△GDA ，
所以AF AG ＝BF AD
，即AF ·AD ＝AG ·BF .
11．如图22，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .
(1)求证：△ABF ∽△EAD .
(2)若∠BAE ＝30°，AD ＝3，求BF 的长．
图22
【解】 (1)证明：∵AB ∥CD ， ∴∠BAF ＝∠AED . 又∵∠BFE ＝∠C ，
∠BFE ＋∠BFA ＝∠C ＋∠EDA ， ∴∠BFA ＝∠ADE . ∴△ABF ∽△EAD .
(2)∵∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝60°，∴AB AE
＝s in 60°，
由(1)知BF AD ＝
AB AE ，∴BF ＝AB AE ·AD ＝33
2
.
12．如图23所示，AD 与BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB 于F ，直线FD 交BE 于点G ，交
AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .
图23
【证明】 在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°，
∠GBF ＋∠BAC ＝90°， 所以∠H ＝∠GBF .
因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ，
所以HF BF ＝AF GF
，故AF ·BF ＝GF ·HF . 因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 由射影定理，得DF 2
＝AF ·BF ， 故DF2＝GF·HF.。