高考数学总复习 高分攻略第16讲 定积分与微积分基本定理

(时间：35分钟 分值：80分)
基础热身
1．∫π
2
0(x －sin x)d x 等于( )
A .π2
4
－1 B .
π2
8
－1
C .
π28 D .π2
8
＋1 2．下列各命题中，不正确的是( )
A ．若f(x)是连续的奇函数，则⎠⎛－a
a f(x)d x ＝0
B ．若f(x)是连续的偶函数，则⎠⎛－a
a
f(x)d x ＝2⎠⎛0
a f （x ）d x
C ．若f(x)在[a ，b]上连续且恒正，则⎠⎛a
b f(x)d x>0
D ．若f(x)在[a ，b]上连续，且⎠⎛a
b f(x)d x>0，则f(x)在[a ，b]上恒正
3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2
，0≤x<1，1，1<x≤2，则定积分⎠⎛0
2f(x)d x ＝( )
A .83
B ．2
C .43
D .1
3
4．曲线y ＝x 3
与直线y ＝x 所围成图形的面积为( ) A .13 B .1
2 C ．1 D ．2
能力提升
5．[2013·湖南卷] 由直线x ＝－π3，x ＝π
3
，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的
面积为( )
A .12
B ．1
C .3
2
D . 3 6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3
围成的封闭图形面积为( ) A .112 B .14 C .13 D .712
7．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 J D ．0.28 J
8．若y ＝⎠⎛0
x (sin t ＋cos t sin t)d t ，则y 的最大值是( )
A ．1
B ．2
C ．－72
D ．0
9．[2013·东北名校二模] ⎠⎛01⎝
⎛⎭⎪⎫8π
1－x 2＋6x 2d x ＝________．
10．[2013·陕西卷] 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧lg x ，x>0，x ＋⎠⎛0
a 3t 2d t ，x ≤0，
若f(f(1))＝1，则a ＝________．
11．[2013·漳州模拟] 由曲线y ＝2x 2
，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．
12．(13分)计算下列定积分：
(1)⎠⎛0
3π1－cos 2x d x ；(2)⎠⎛0
11
x 2＋3x ＋2
d x ； (3)⎠⎛12
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2d x ；(4)⎠⎛0
1
()e x －e －x 2d x.
难点突破
13．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2
的切线PQ(Q 为切点)．
(1)求切线PQ 的方程；
(2)求证：由上述切线与y ＝x 2
所围成图形的面积S 与a 无关．
【基础热身】
1．B [解析] ∫π20(x －sin x)d x ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋cos x π
20＝π
2
8－1.
2．D [解析] 根据定积分的几何意义可得．
3．C [解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1
2
1d x ＝13x 3 ⎪⎪⎪ )10＋x
⎪⎪⎪ )21＝43.
4．B [解析] 如图，所围图形面积
A ＝2⎠
⎛0
1(x －x 3
)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 4⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14－0＝12
.
【能力提升】
5．D [解析] 根据定积分的简单应用的相关知识可得到：由直线x ＝－π3，x ＝π
3
，y ＝0
与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为：
S ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪∫π3－π3cos x d x ＝
)
⎪
⎪⎪
)sin x
⎪
⎪⎪ )
π
3
－π3
⎪
⎪⎪
)＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3， 故选D .
6．A [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2
，y ＝x 3
得交点为(0，0)，(1，1)．所以所求图形的面积S ＝⎠⎛0
1(x 2－x 3
)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x 3－14x 4⎪⎪⎪10＝13－14＝112.
7．A [解析] 由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ，∴k＝100，则W ＝⎠⎛0
0.06100x d x ＝
50x
2
⎪
⎪⎪ )
0.06
0＝0.18(J )． 8．B [解析] y ＝⎠⎛0
x (sin t ＋cos t ·sin t)d t ＝⎠
⎛0
x sin t d t ＋1
2⎠⎛0
x sin 2t d t ＝(－cos t)
⎪
⎪⎪ )x
0＋12⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12cos 2t
⎪⎪⎪ )x
0 ＝－cos x ＋1－14cos 2x ＋14＝－12
(cos x ＋1)2
＋2，故当cos x ＝－1时，y max ＝2.
9．4 [解析] 根据定积分的性质⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫8π
1－x 2＋6x 2d x ＝8π
⎠⎛0
11－x 2d x ＋2⎠⎛0
13x 2d x ＝8π
×
π
4
＋2×x
3
⎪
⎪⎪ )1
0＝4.
10．1 [解析] 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧lg x ， x>0，x ＋⎠⎛0
a 3t 2d t ， x≤0得
f(x)＝⎩
⎪⎨⎪
⎧lg x ， x>0，x ＋a 3
， x≤0，f(1)＝lg 1＝0， f(f(1))＝f(0)＝a 3
＝1，∴a＝1. 11.163
[解析] 联立直线方程与抛物线方程得x 2
＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，即直线y ＝
－4x －2为抛物线y ＝2x 2的一条切线(如图)，因此所求的面积为定积分⎠
⎛－1
1(2x 2
＋4x ＋2)d x ＝
23(x ＋1)
3
⎪
⎪⎪ )1－1＝16
3.
12．解：(1)⎠⎛03π1－cos 2x d x ＝⎠⎛03π2sin 2
x d x ＝2⎠⎛0
3π
⎪
⎪⎪
)sin x
⎪
⎪⎪ )d x ＝2⎠⎛0πsin x d x －2⎠⎛π2πsin x d x ＋2⎠⎛2π
3πsin x d x
＝－2cos x
⎪
⎪⎪ )π
0＋2cos x
⎪
⎪⎪ )2π
π－2cos x
⎪⎪⎪ )3π
2π＝22＋22＋22＝6 2.
(2)⎠⎛0
11x 2＋3x ＋2d x ＝⎠
⎛0
11x ＋1－1
x ＋2d x ＝ln (x ＋1)－ln (x ＋2)
⎪
⎪⎪ )10 ＝(ln 2－ln 3)－(ln 1－ln 2)＝2ln 2－ln 3.
(3)⎠⎛1
2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2d x ＝⎠⎛1
2⎝
⎛⎭⎪⎫x －2＋1x d x
＝⎠⎛1
2x d x －2⎠⎛1
21d x ＋⎠⎛1
21
x
d x ＝12
x 2
⎪
⎪⎪ )2
1－2x
⎪
⎪⎪ )2
1＋ln x
⎪
⎪⎪ )21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－(4－2)＋(ln 2－ln 1)＝ln 2－1
2.
(4)⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝⎠⎛01
(e x ＋e －x )′d x ＝(e x ＋e －x )
⎪⎪⎪ )10＝e ＋1e －2.
【难点突破】13．解：(1)点P 的坐标为(a ，a 2
－1)，
设切点Q 的坐标为(x ，x 2
)，
由k PQ ＝a 2－1－x 2a －x 及y′＝2x 知a 2－1－x
2
a －x
＝2x ，
解得x ＝a ＋1或x ＝a －1.
所以所求的切线方程为2(a ＋1)x －y －(a ＋1)2＝0或2(a －1)x －y －(a －1)2
＝0.
(2)S ＝⎠⎛a －1
a [x 2－2(a －1)x ＋(a －1)2]d x ＋⎠
⎛a
a ＋1[x 2－2(a ＋1)x ＋(a ＋1)2
]d x ＝23.
故所围成的图形面积S ＝2
3，此为与a 无关的一个常数．。