甘肃省高台县第一中学高三数学下学期期中试题 理

甘肃省高台县第一中学2015年春学期期中考试
高三数学(理)试卷
第I 卷 （选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M=（ ）
A ．U
B ．{1，3，5}
C ．{3，5，6}
D ．{2，4，6} 2．若复数z 满足3(1)i z i -=+，则复数z 的共轭复数z 的虚部．．
为 A ．3 B ．3i C ．3- D ．3i -
3．等差数列{}
1418161042,30,a a a a a a n -=++则中的值为（ ） A ．20
B ．－20
C ．10
D ．－10
4．已知4
(,0),cos ,tan 225x x x π
∈-
==则 ( ) A ．24-7 B ．7-24 C ．724
D ．247
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )
A.
1
6
B.
13
C.
2
3
D ．1
6．若一条直线与一个平面成720
角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于 （ ）
A ．720
B ．900
C ．1080
D ．1800
7．已知M 是ABC ∆内的一点，且AB AC 3⋅=u u u r u u u r BAC 30∠=o
，若MBC ∆，MCA ∆，
MAB ∆的面积分别为x y 1,,2
，则x y 14
+的最小值为（ ）
A.20
B.18
C.16
D.9
8．函数cos y x x =+的大致图像是（ ）
9．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ） A. 0.42 B. 0.28 C. 0.3 D. 0.7 10．如图所示的程序框图输出的结果是S ＝720，则判断框内应填的条件是( )
A ．i≤7
B ．i>7
C ．i≤9
D ．i>9
11．给出定义：若11
22
m x m -
<≤+（其中m 为整数）
，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}，即{}.x m = 在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题：
①11()22f -=；②(3.4)0.4f =-；③11
()()44f f -<；④()y f x =的定义域是R ，值域
是11
[,]22
-. 则其中真命题的序号是 （ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
12、已知双曲线122
22=-b y a x 的左右焦点分别为12F F ，，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支
上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线
，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率,则
A.
OB OA = B. OA e OB = C. OB e OA = D. OB 与OA 大小关系不确定
第II 卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。

13．如图3.在△ABC 中，AB=5，AC=9，若O 为△ABC 内一点,且满足
OC
OB OA ==，
则BC AO ⋅的值是 .
14．抛物线2
4
1x y -
=上的动点M 到两定点（0，-1）
、（1，-3）的距离之和的最小值为_____________________.
15．已知9)(
x x
a -的展开式中3x 的系数为49
，则常数a 的值为 .
16．设函数()()()
22
0log 0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为22-=n n a S ，数列{}n b 是首项为1a ，公差不为零的等差数列,且1131,,b b b 成等比数列． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足1
1+=n n n b b c ，前n 项和为n T ,若对于n N +
∀∈不等式n T t <恒成立，求实数t 的取值范围．
18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，222===CD AD AB ，
P
E
E 是PB 上的点.
（1）求证：平面⊥EAC 平面PBC ；
（2）若E 是PB 的中点，且二面角E AC P --的余弦值为3
6
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
19．（本大题12分）
一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个． 求：
（I ）连续取两次都是红球的概率；
（II ）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，取球次数最多不超过
4次，求取球次数ξ的概率分布列及期望．
20．（本大题12分）
已知椭圆：()222210y x a b a b +=>>，离心率为2
2
，焦点()()120,,0,F c F c -过1F 的直线
交椭圆于,M N 两点，且△MN F 2的周长为4.
(I) 求椭圆方程;
(II) 与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点P(0,m)(m ≠0),与椭圆C 交于相异两点A,B 且
AP PB λ=u u u r u u u r .若4OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r
,求m 的取值范围。

21．（本大题12分）
已知函数)ln ()(x a x x f +=有极小值2--e ． （I ）求实数a 的值；
（II ）若Z k ∈，且1
)
(-<
x x f k 对任意1>x 恒成立，求k 的最大值. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分10分）
如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M . （I ）求证：DC 是⊙O 的切线； （II ）求证：AM ·MB =DF ·DA .
23．（本小题满分10分）
极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.
已知直线l 的参数方程为1223x t y t ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数）
，曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.
（I ）求C 的直角坐标方程；
（II ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()214f x x x =+--．
（1）解不等式()0f x >；
（2）若()34f x x m +-≥对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．
高三期中数学（理科）答案
1．C
解析∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}， 故选C ． 2．A 3．D 解析：
1410161011814111,3010910
2(17)2(13)(9)10n a a a a a a a d a a a d a d a d D ++=∴=+=-=+-+=-+=-Q 设等差数列的首项为公差为d
即故选
4．A 解析：略 5. B
解析:由三视图知底面是边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高为2.∴V＝13×1
2
×1×1×2＝
13
. 6.B 解析略 7．B 解
：
cos 23AB AC AB AC A ⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r
4
AB AC ∴=u u u r u u u r 1sin 12
ABC
S AB AC A ∆∴==u u u
r u u u r 12
x y ∴+=
， x y 14+=()(144225252418y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫
++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当4y x x y =时等号成立取最值
考点：向量数量积及均值不等式
点评：均值不等式求最值验证等号成立条件 8．B
解析：因为1sin 0y x '=-≥，所以函数cos y x x =+在R 上单调递增，故可排除C 选项；又因为0x =时，0cos01y =+=，故可排除A 选项；当(,)22
x ππ
∈-
时，cos y x x x =+>，故此时函数cos y x x =+的图像在直线y x =的上方，故D 错误，B 正确． 考点：函数的图像． 9． C
解析：1(0.420.28)0.3-+= 10. B
解析：程序框图所示的运算是10×9×8×7×…，若输出结果是S ＝720，则应是10×9×8＝
720，所以i ＝10,9,8时累乘，即当i>7时执行循环体． 11．B 12．A
13．28 14．4 15．4
1
16．2
解析：试题分析：当0≤x 时，()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦＝112log 1)2(2-=-=-x f x
x
，
令,01=-x 则,1=x 显然与0≤x 矛盾，表明此时()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦无零点. 当0>x 时，分两种情况：当1>x 时，,
0log 2>x ()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦＝()1log log 1)(log 222-=-x x f ，令(),01log log 22=-x (),2log 1log log 222==x ,2log 2=x .
解得4=x ；当10≤<x 时，,0log 2≤x ()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦＝1121)(log 2log 2-=-=-x x f x
，
令01=-x ，解得1=x .因此函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为２.
三、解答题
17．17、解:（1）当n=1时11122a S a ==-，12a =，
当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 得12n n a a -=
∴数列{n a }是以2为首项，公比为2的等比数列，
∴数列{n a }的通项公式为2n
n a =． ……3分
112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，
得2
(22)2(210)d d +=⨯+， 解得0d =（舍去）或3d =
∴数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． ……6分 （2）)231
131(31)23)(13(111+--=+-==
+n n n n b b c n n n
……8分
则1111111()325583132n T n n =-+-+⋅⋅⋅+--+)23121(31+-=n
……10分
∵16
n T <, ∴61
≥t ……12分
18．解：（1）证明：⊥PC Θ平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴，
2=AB ，1==CD AD ，2==∴BC AC
222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴又C PC BC =I ，⊥∴AC 平面PBC ，
∵⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC ……6分 （2）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0） 设P （0，0，a ）（0>a ），则E （
21，21-，2a
）， )0,1,1(=CA ，),0,0(a CP =，)2
,21,21(a
CE -=，
取m =（1，－1，0） ……8分
则0=⋅=⋅CA m CP m ，∴m u r
为面PAC 的法向量
设),,(z y x n =为面EAC 的法向量，则0=⋅=⋅CE n CA n ，
即⎩
⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则)2,,(--=a a n ，
依题意，3
6
2
,cos 2=
+=
⋅=
><a a n
m n m n m ，则2=a 于是)2,2,2(--=n P
A
B
C
D
E x
y
z
设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则3
2,cos sin =
⋅=
><=n
PA n PA n PA θ， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为
3
2
……12分 （或设CA 为x 轴，CB 为y 轴，CP 为z 轴，请酌情给分） 19．（Ⅰ）16
25
；（Ⅱ）见解析. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用分步原理可得概率为44165525
⨯=；（Ⅱ）根据题意得出ξ的可能取值为1，2，3，4，列出分布列计算期望.
试题解析：（Ⅰ）连续取两次都是红球的概率 4416
;5525
P =
⨯= 3分 （Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4， . 4分
1(1)5P ξ==，414
(2)5525P ξ==⨯=，
24116(3)()55125
P ξ==⨯=，3464
(4)()5125P ξ===． . 8分
ξ的概率分布列为
ς
1 2 3 4
P
51 254 12516 125
64 10分 E ξ=1×
15＋2×425＋3×16125＋4×64125=369125
． 12分 考点：分步计数原理、离散型随机变量的分布列和数学期望. 20．(Ⅰ) 2
2
21y x +=;(Ⅱ)1
1(1,)(,1)22
m ∈--⋃ 【解析】
试题分析：（1）设C ：12222=+b x a y （A ＞b ＞0），由条件知A-C=22,2
2
=a c 由此能导出C 的
方程．(Ⅱ)由题意可知λ=3或O 点与P 点重合．当O 点与P 点重合时，m=0．当λ=3时，直线
l 与y 轴相交，设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），⎩⎨⎧=++=1
22
2y x m
kx y 得,0)1(2)2(222=-+++m kmx x k 再由根的判别式和韦达定理进行求解．
试题解析：（1）设C ：12222=+b x a y （a ＞b ＞0），设C ＞0，222b a c -=，
由条件知4a =4，22
=a c ，∴a=1，b=C=2
2,故C 的方程为：22
21y x +=; 4分
(Ⅱ)设l ：y=kx+m 与椭圆C 的交点为A(1x ，1y )，B(2x ，2y )。

将y=kx+m 代入22
21y x +=
得222
(2)210k x kmx m +++-=,所以2
2
4(22)0k m ∆=-+>①,
212122221
,22km m x x x x k k --+==++...............................6分
因为AP PB λ=u u u r u u u r ，4OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r ，所以3AP PB =u u u r u u u r ,
所以2
1221222,3x x x x x x +=-=-, ........................... 8分
消去2x 得2
12123()40x x x x ++=,所以222
221
3()4()022km m k k --+=++,....9分 即22224220k m m k +--=,当2
14
m =时,22224220k m m k +--< ...10分
所以214m ≠,222
2241m k m -=-由①得22
22k m >-,解得11(1,)(,1)22
m ∈--⋃ 12分 考点：1、直线与圆锥曲线的综合问题；2、向量在几何中的应用．
21．(Ⅰ) 1a =; (Ⅱ) max 3k =.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)利用导数等于零的点为极值点求出a ，注意复合函数求导方法，防止出错；
(Ⅱ) 当1x >时，令()ln ()11
f x x x x
g x x x +=
=
--，然后求()g x 得最小值，只有k 小于()g x 的最小值就满足题意，然后根据k Z ∈求出最大值.
试题解析：（Ⅰ）'()1ln f x a x =++，令1'()0a f x x e -->⇒>，令1
'()00a f x x e --<⇒<<
故()f x 的极小值为1
12()a a f e
e e -----=-=-，得1a =． 6分
（Ⅱ）当1x >时，令()ln ()11
f x x x x
g x x x +==--，2
2ln '()(1)x x g x x --∴=-， 令()2ln h x x x =--，11
'(010x h x x x
-∴=-=>，故()y h x =在(1,)+∞上是增函数
由于'(3)1ln30,'(4)2ln 40h h =-<=->， 存在0(3,4)x ∈，使得0'()0h x =．
则0(1,),'()0x x h x ∈<，知()g x 为减函数；0(,),'()0x x h x ∈+∞>，知()g x 为增函数．
000
min 000ln ()()1
x x x g x g x x x +∴==
=-，0k x ∴<，又0(3,4),x k Z ∈∈所以max 3k = 12分
考点：1.利用导数求函数单调区间；2.利用导数求函数最值.3.复合函数求导. 22．解析：选修4—1：几何证明选讲 解：（I ）连结OC ，∴∠OAC =∠OCA ，又∵CA 是∠BAF 的角平分线， ∴∠OAC =∠FAC ，
∴∠FAC =∠ACO ，∴OC ∥AD .………………3分 ∵CD ⊥AF ，
∴CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线.…………5分
（Ⅱ）连结BC ，在Rt△ACB 中，
CM ⊥AB ，∴CM 2=AM ·MB .
又∵DC 是⊙O 的切线，∴DC 2=DF ·DA .
易知△AMC ≌△ADC ，∴DC =CM ，
∴AM ·MB =DF ·DA …………10分
23选修4-4：参数方程和极坐标。

(Ⅰ) 28y x =；（Ⅱ）32||3AB =. 【解析】
试题分析：本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长. 试题解析：（Ⅰ）由2sin 8cos ρθθ=，得22
sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程为28y x =．
5分 （Ⅱ）将直线l 的方程代入28y x =，并整理得，2316640t t --=，12163t t +=
，12643t t =-． 所以212121232||||()43AB t t t t t t =-=+-=． 10分
考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理.
24．解:(Ⅰ)当x 4≥时f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0
得x >-5，所以x 4≥成立
当42
1<≤-x 时,f (x )=2x +1+x -4=3x -3>0 得x >1,所以1<x <4成立 当21-
<x 时f (x )=-x -5>0得x <-5所以x <-5成立， 综上,原不等式的解集为{x |x >1或x <-5} ------------5分
（Ⅱ）f (x )+43-x =|2x +1|+2|x -4|9|)82(12|=--+≥x x
当时等号成立421≤≤-x
所以m≤9 ------------10分。