贺兰县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

贺兰县民族中学2018-2019
学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的
1
2
，则圆锥的体积（ ） A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的16
2． 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为5，
则n =（ ）
A ．35
B ． 36
C ．120
D ．121
3． 函数2()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[]2,4 C ．(,2]-∞ D ．[]0,2 4． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =
--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 5． 函数2
1()ln 2
f x x x ax =+
+存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞
【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 6． 某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ）
A ．抽签法
B ．随机数表法
C ．系统抽样法
D ．分层抽样法
7． 某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如表几组样本数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5
0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）
A ． =0.7x+0.35
B ． =0.7x+1
C ． =0.7x+2.05
D ． =0.7x+0.45
8． 设复数z 满足z （1+i ）=2（i 为虚数单位），则z=（ ）
A ．1﹣i
B ．1+i
C ．﹣1﹣i
D ．﹣1+i
9． 已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．设集合S=|x|x ＜﹣1或x ＞5}，T={x|a ＜x ＜a+8}，且S ∪T=R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．﹣3＜a ＜﹣1 B ．﹣3≤a ≤﹣1 C ．a ≤﹣3或a ≥﹣1 D ．a ＜﹣3或a ＞﹣1 11．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面ABCD 上的动点．若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则E 点位于（ ）
A ．点A 处
B ．线段AD 的中点处
C ．线段AB 的中点处
D ．点D 处
12．设M={x|﹣2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下：
①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x
f x e -<的解集为(0,)+∞；
②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1
(2
)4(2),n n f f n N +*<∈；
④若()
()0f x f x x
'+
>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()x
e x
f x f x x
'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．
其中所有正确结论的序号是 ．
14．设a 抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为 ．
15．已知函数()ln a f x x x =+
，(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12
k ≤恒 成立，则实数的取值范围是 ．
16．已知实数x ，y 满足约束条，则z=
的最小值为 ．
17．已知函数f （x ）=
有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．
18．在△ABC 中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC 的形状是 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈. （1）若//a b ，求||a b -；
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
20．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且BC=2EF ，AE=AF ，点G 是EF 的中点． （Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为
，求AG 的长．
21．已知函数x
x x f --
-=713)(的定义域为集合A ，{x |210}B x =<<，{x |21}C a x a =<<+
（1）求A B ，B A C R ⋂)(；
（2）若B C B =，求实数a 的取值范围.
22．已知函数f （x ）=cos （ωx+），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x ∈R 且图象相邻两对称轴之间的距离为
；
（1）求f （x ）的对称轴方程和单调递增区间；
（2）求f （x ）的最大值、最小值，并指出f （x ）取得最大值、最小值时所对应的x 的集合．
23．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方
程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1＋sin t
（t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋23x ＝0.
（1）求C 1，C 2的极坐标方程；
（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．
24．如图，A 地到火车站共有两条路径
和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所
用时间落在个时间段内的频率如下表：
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望 。

贺兰县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为2
113
V r h π=，将圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的12，则体积为2
22111(2)326V r h r h ππ=⨯=，所以12
2V V =，故选A.
考点：圆锥的体积公式.1 2． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114
n n n n
a a a a ++-=
+得
2214n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴2
44(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得
n a =
111
2n n a a +==+，∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n
项和为
1111
1)(1)52222
n +++=
=，∴120n =，选C ． 3． 【答案】B 【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m 需从开始，要取得最大值为，由图可知m 的右端点为，故m 的取值范围是[]2,4.
考点：二次函数图象与性质． 4． 【答案】A 【解析】
考
点：二元一次不等式所表示的平面区域. 5． 【答案】D 【解析】因为1
()f x x a x
'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x >）有解，
因为1
2x x
+
?，所以1a £，故选D ． 6． 【答案】C
【解析】解：由题意知，这个抽样是在传送带上每隔10分钟抽取一产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多， ∴是系统抽样法， 故选：C ．
【点评】本题考查了系统抽样．抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．属于基础题．
7． 【答案】A
【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a ，由样本数据可得， =4.5， =3.5．
因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a ，解得a=0.35．
故选A ．
【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．
8． 【答案】A
【解析】解：∵z（1+i）=2，∴z===1﹣i．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
9．【答案】C
【解析】解：集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}={1，2}，P∩Q≠∅，可得b的最小值为：2．
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．
10．【答案】A
【解析】解：∵S=|x|x＜﹣1或x＞5}，T={x|a＜x＜a+8}，且S∪T=R，
∴，解得：﹣3＜a＜﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查并集及其运算，关键是明确两集合端点值间的关系，是基础题．11．【答案】A
【解析】解：如图，
E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，
对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，
面BCD1的面积为定值，
要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1的面积和最大，
而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，
∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．
故选：A．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
12．【答案】B
【解析】解：A 项定义域为[﹣2，0]，D 项值域不是[0，2]，C 项对任一x 都有两个y 与之对应，都不符．
故选B ．
【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．
二、填空题
13．【答案】②④⑤
【解析】解析：构造函数()()x
g x e f x =，()[()()]0x
g x e f x f x ''=+>，()g x 在R 上递增，
∴()x
f x e
-<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<，∴①错误； 构造函数()()x f x g x e =，
()()
()0x
f x f x
g x e '-'=>，()g x 在R 上递增，∴(2015)(2014)g g >， ∴(2015)(2014)f ef >∴②正确；
构造函数2()()g x x f x =，2
()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x >时，()0g x '>，∴1(2)(2)n n g g +>，∴1(2)4(2)n n f f +>，∴③错误；
由()()0f x f x x '+>得()()0xf x f x x '+>，即()()0xf x x
'>，∴函数()xf x 在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递
减，∴函数()xf x 的极小值为0(0)0f ⋅=，∴④正确；
由()()x e xf x f x x '+=得2
()()x e xf x f x x
-'=，设()()x
g x e xf x =-，则()()()x
g x e f x xf x ''=--(1)x x x e e e x x x
=-=-，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，∴当
0x >时，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，∴⑤正确．
14．【答案】 ．
【解析】解：∵a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，
∴试验发生包含的事件数6，
∵方程x 2+ax+a=0 有两个不等实根，
∴a 2﹣4a ＞0，
解得a ＞4，
∵a 是正整数，
∴a=5，6，
即满足条件的事件有2种结果，
∴所求的概率是=，
故答案为：
【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．
15．【答案】2
1≥
a 【解析】 试题分析：'
21()a f x x x =-，因为(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12
k ≤恒成立，2112a x x ∴-≤，(0,3]x ∈，x x a +-≥∴221，(0,3]x ∈恒成立，由2111,222x x a -+≤∴≥．1 考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点． （2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
16．【答案】 ．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z==32x+y ，
设t=2x+y ，
则y=﹣2x+t ，
平移直线y=﹣2x+t，
由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，
此时t最小．
由，解得，即B（﹣3，3），
代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．
∴t最小为﹣3，z有最小值为z==3﹣3=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
17．【答案】（，1）．
【解析】解：∵函数f（x）=有3个零点，
∴a＞0 且y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，
∴，
解得＜a ＜1，
故答案为：（，1）．
18．【答案】锐角三角形
【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C 是最大角
根据余弦定理，得cosC==＞0
∵C ∈（0，π），∴角C 是锐角，
由此可得A 、B 也是锐角，所以△ABC 是锐角三角形
故答案为：锐角三角形
【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】（1）2或2）(1,0)
(0,3)-．
【解析】
试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；
（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不共线，由此可得范围．
试题解析：（1）由//a b ，得0x =或2x =-，
当0x =时，(2,0)a b -=-，||2a b -=，
当2x =-时，(2,4)a b -=-，||25a b -=.
（2）与夹角为锐角，0a b ∙>，2230x x -++>，13x -<<， 又因为0x =时，//a b ，
所以的取值范围是(1,0)(0,3)-.
考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．
【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是0a b a b ⋅>且,a b 不同向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是
0a b a b ⋅<且,a b 不反向．
20．【答案】
【解析】（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：因为AE=AF ，点G 是EF 的中点，
所以AG ⊥EF ．
又因为EF ∥AD ，所以AG ⊥AD ．…
因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD=AD ，
AG ⊂平面ADEF ，
所以AG ⊥平面ABCD ．…
（Ⅱ）解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AG 、AD 、AB 两两垂直．
以A 为原点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系
则A （0，0，0），B （4，0，0），C （4，4，0），
设AG=t （t ＞0），则E （0，1，t ），F （0，﹣1，t ），
所以=（﹣4，﹣1，t ），=（4，4，0），=（0，1，t ）．…
设平面ACE 的法向量为=（x ，y ，z ），
由=0， =0，得，
令z=1，得=（t ，﹣t ，1）．
因为BF 与平面ACE 所成角的正弦值为
，
所以|cos ＜＞|==，…
即
=，解得t 2=1或．
所以AG=1或AG=．…
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21．【答案】（1）{}210A B x =<<U ，(){}2310R C A B x x x =<<≤<I 或7；（2）1a ≤-或922
a ≤≤。

【解析】
试题分析：（1）由题可知：3070x x -≥⎧⎨->⎩，所以37x ≤<，因此集合{}37A x x =≤<，画数轴表示出集合A ，集合B ，观察图形可求，{}210A B x =<<U ，观察数轴，可以求出{}
37R C A x x x =<≥或，则(){}2310R C A B x x x =<<≤<I 或7；（2）由B C B =U 可得：C B ⊆，分类讨论，当B φ=时，
21a a ≥+，解得：1a ≤-，当B φ≠时，若C B ⊆，则应满足2122110a a a a <+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，即1292
a a a ⎧⎪>-⎪≥⎨⎪⎪≤⎩，所以922a ≤≤，因此满足B C B =U 的实数a 的取值范围是：1a ≤-或922
a ≤≤。

试题解析：（1）：由3070
x x -≥⎧⎨->⎩得：37x ≤<
A={x|3x<7}≤ A B {x |2x 10}=<<， B A C R
⋂)(={x|2<x<3x<10}≤或7
（2）当B=φ时，21,a -1a a ≥+≤ 当B φ≠时，2122110a a a a <+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，922a ≤≤ 即-1a ≤或922
a ≤≤ 。

考点：1.函数的定义域；2.集合的运算；3.集合间的关系。

22．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）=cos （ωx+）的图象的两对称轴之间的距离为=，
∴ω=2，f （x ）=cos （2x+
）．
令2x+=k π，求得x=﹣，可得对称轴方程为 x=﹣，k ∈Z ．
令2k π﹣π≤2x+≤2k π，求得 k π﹣
≤x ≤k π﹣， 可得函数的增区间为，k ∈Z ．
（2）当2x+
=2k π，即x=k π﹣，k ∈Z 时，f （x ）取得最大值为1．
当2x+=2k π+π，即x=k π+，k ∈Z 时，f （x ）取得最小值为﹣1．
∴f （x ）取最大值时相应的x 集合为{x|x=k π﹣，k ∈Z}；
f （x ）取最小值时相应的x 集合为{x|x=k π+
，k ∈Z}．
23．【答案】
【解析】解：（1）由C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1＋sin t （t 为参数）得 x 2＋（y －1）2＝1，
即x 2＋y 2－2y ＝0，
∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C 1的极坐标方程，
由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0得
ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C 2的极坐标方程．
（2）由题意得A ，B 的极坐标分别为
A （2sin α，α），
B （－23cos α，α）．
∴|AB |＝|2sin α＋23cos α|
＝4|sin （α＋π3
）|，α∈[0，π）， 由|AB |＝2得|sin （α＋π3）|＝12
， ∴α＝π2或α＝5π6
. 当α＝π2时，B 点极坐标（0，π2）与ρ≠0矛盾，∴α＝5π6
，
此时l 的方程为y ＝x ·tan 5π6
（x ＜0）， 即3x ＋3y ＝0，由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0知圆心C 2的直角坐标为（－3，0），
∴C 2到l 的距离d ＝|3×（－3）|（3）2＋32
＝32， ∴△ABC 2的面积为S ＝12
|AB |·d ＝12×2×32＝32
. 即△ABC 2的面积为32
. 24．【答案】 【解析】（1）A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率可得
P （A 1）=0。

1+0。

2+0。

3=0。

6，P （A 2）=0。

1+0。

4=0。

5，
P （A 1） ＞P （A 2）,
甲应选择L i P （B 1）=0。

1+0。

2+0。

3+0。

2=0。

8，P （B 2）=0。

1+0。

4+0。

4=0。

9，
P （B 2） ＞P （B 1）, 乙应选择L 2。

（2）A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知
,又由题意知，A,B 独立，。