6-3 电位移 有介质时的高斯定理
介质的极化和介质中的高斯定理
部电都介产质生内附部加的电总场场E强'。E
E0
E'
E0
'
'
极化电荷所产生的附加电场不足以将介质中的外电
场完全抵消，它只能削弱外电场。称为退极化场。
介质内部的总场强不为零！ 在各向同性均匀电介质中： E
E0
r
r称为相对介电常数或电容率。
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
d
D2S 0S D1 D2 0 , D2 0
E2
D2
0r
0 0r
11
I区：D1
0,
E1
0 0
0
II区：D2 0 ,
②.求电容C
E2
0 0r
由C q U ab
与 U ab
Ed
高 斯
C q
0S
面
U ab E1(d d ' ) E 2d '
d' 0
D P1 P2
r
d
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用 介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电 位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
7
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介
质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。
解：在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
SD dS q0
荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介质。
求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。
解： ①. 过 P1 点作高斯柱面, 左右底面分别经过导体
和 P1 点。
D SD dS q0
有电介质的高斯定理
（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。
（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。 （4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
例1 平行板电容器上自由电荷面密度为 0 充满相对介电常数为 r 的均匀各向同 性电介质 求:板内的场 解:均匀极化 表面出现束缚电荷 故束缚电荷分布亦沿平面均匀分布 则：电场方向沿x方向
S1 S2 上底
0 0
r
S
S D d S D d S D d S D d
S
由高斯定理：
D 底 0 S 内 S
D 0
0 E 0 r
D
S3
下底 底
D 内 S 底
例2 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d 相对介电常数为r ，内部均匀分布体电荷密度为 0 的自由电荷 求：介质板内、外的 DEP 解： 面对称 取坐标系如图
o o
（2） U Q 2b r b r 1t Q C o S2 r b r 1t
问： Q左？ =Q右
例 . 平板电容器极板面积为S间距为d,接在电池上维持V 。 均匀介质r 厚度d，插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1、2两区域的 E 和 D ；(2)介质内的极化强度 P， 表面的极化电荷密度 ' ；(3)1、2两区域极板上自由 2。 电荷面密度 1 ， 解：（1）V E1d E2d
D 0d E 0 2 0 均匀场
2DS0 0 2 x S0 D 0 x 0 x D E 0 r 0 r
0
S
r
0x
x
x
2
P 0 r 1E 0
例3：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介 质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。 解：在介质球内、外各作半径为 r 的 高斯球面。 R D dS q
电位移、介质中的高斯定理复习
E'
q'
q0
E E0 E '
E0
S
1 ( E d S q ' ) q (1) 0 内 S 0 S
S
q ' P d S 内 (3) S
S
E'
q' 1 E d S q0 S
S （1）式 0 +（3）式
S S
得介质中的高斯定理
介质中的高斯定理： 穿出某一闭合曲面的电位移矢量的通量等于 这个曲面所包围的“自由电荷”的代数和。
D d S q 0
S S
注意：1）D 是一个辅助量，场的基本量仍是场 强 E 2） D 0 E P 是 D. E 关系的普遍式。 对各向同性的介质： P e 0 E D 0E P 0 E e 0 E (1 e ) 0 E 令： r 1 e 称为相对介电常数， 0 r 称为介电常数，则： D r 0 E E
dW 1 2 1 w E DE dV 2 2 一般地,推广到任意电场(非均匀,交变场).
dV体积中的电场能量为 : dW wdV 1 2 E dV 2
1 2 整个空间中的电场能量 : W wdV E dV V V 2
例 : 求均匀带电球体內外的电场能. 已知球体带电量为Q, 半径R,內外电容率分别为 1 , 2 .
E E0 E '
0
(q
S
S
0
q'内 ) (1)
E0
S
P dS q'内 (3)
电位移介质中的高斯定理复习课件
掌握高斯定理的应用步骤
确定高斯面
根据问题的对称性选择适当的高斯面 ，高斯面应包含所有需要求解的电荷 分布。
计算电位移矢量D的通量
根据电位移的定义和性质，计算高斯 面上各点电位移矢量的通量。
应用高斯定理
将电位移矢量的通量代入高斯定理公 式中，求解出电场强度E的值。
02
高斯定理表述为"通过任意闭合曲 面的电位移通量等于该闭合曲面 所包围的体积内所含电荷量"。
高斯定理的意义
总结：高斯定理揭示了电场与电荷之 间的内在关系，是理解电场分布和电 荷相互作用的基础。
高斯定理阐明了电场线从正电荷发出 ，终止于负电荷，总电位移线闭合的 事实，对于理解电荷分布与电场的关 系至关重要。
圆柱对称分布电场的高斯定理应用
总结词
圆柱对称分布电场的高斯定理应用是指将高 斯定理应用于圆柱对称分布的电场中，以求 解电场分布和电位移矢量的方法。
详细描述
在圆柱对称分布电场中，高斯定理的应用同 样可以简化计算过程。通过将圆柱面分割成 若干个圆环，并应用高斯定理计算每个圆环 内的电位移矢量，再求和即可得到整个圆柱 面的电位移矢量。这种方法可以用于求解圆 柱形电荷、带电导体等问题的电场分布。
平面分布电场的高斯定理应用
总结词
平面分布电场的高斯定理应用是指将高斯定 理应用于平面分布的电场中，以求解电场分 布和电位移矢量的方法。
详细描述
在平面分布电场中，高斯定理的应用同样适 用。通过将平面分割成若干个小区域，并应 用高斯定理计算每个小区域内的电位移矢量 ，再求和即可得到整个平面的电位移矢量。 这种方法可以用于求解平面电荷、带电导体
电位移介质中的高斯定 理复习课件
第8章-电学6-介质-高斯定理
+
+
+
1
D dS D1S D2 S 0
S
E1 + D 1
2 S E2 D
2
d1 d2
D1 D2
6
D1 1 E1 , D2 2 E 2
+
+ +
1
S’
E1 2 r2 E 2 1 r1
作另一高斯面S’，如右图虚线所 示。这一闭合面内的自由电荷等 于正极板上的电荷 S 。根据 D 的高斯定律可得：
3
例2：两块面积相等的大金属板平行放置，分别带有等 量异号的电荷。电荷面密度 8.85 10 8 C / m 2 ， 两板间平行插入一块 r 5.0 电介质板。试求： ' ' (1) 缝中的场强和电位移矢量；
(2) 电介质中的 D , E , P；
解: (1) 取柱面S,
24
8.5 静电场的能量
8.5.1 电容器的能量(Energy Stored in Capacitors)
K a C 充 电 放 电 b -dq +q -q
19
例2：半径为R1 的金属球电量为q，外面同心地放置 一内外半径分别为R3 和R4 的金属球壳，它本身带电 为Q。两者之间有一层内外半径分别为R2和R3的电介 质，相对介电常数为 r 。求： (1)内球电势； (2)内外球电势差； (3)把外球壳接地，求该电容器电容。
r R1 , E 0 q R1 r R2 , E e 2 r 4 π 0 r q R2 r R3 , E e 2 r 4 π 0 r r
腔内导体的表面 与壳的内表面的 形状及相对位置 2.电容：
电介质中高斯定理
1
r r 1 Q Q r 0 0
)
Q Q0 (1
1
)
⑤极化电荷密度 与
E 0 rE
1 0 P ( 1 ) ( r 1 ) 0 0 0E 0 ( r 1 ) 0E 0E
r
r
R2
R1
r
R2
解（1）
R1
d S l D
S
D 2 π rl l
D
E ( R r R ) 1 2 r 2 π rr 0 0
D 2π r
r
R2
R1
( R r R ) （2）由（１）可知 E 1 2 2π 0r r R R d r 2 U E d r ln R 2 π r 2 π 0r R 0 r 1
2.极化电荷与电极化强度之间的关系 （以位移极化为例） 电场中每个分子产生电矩：
++++-
++++-
++++-
++++-
均匀介质
E
++++-
pe ql
单位体积中分子电矩 的矢量和为：
p P V
nql
e
npe
式中 n 为介质中单位体积的分子数。
电极化强度和极化电荷面密度的关系
6 2 P ( ε 1 ) ε E 5 . 89 10 C m r 0 6 2 σ ε E 8 . 85 10 C m 0 00 6 2 σ ' P 5 . 89 10 C m 6 2 D ε ε E ε E σ 8 . 85 10 C m 0 r 0 0 0
物理 电磁学 第18讲 有电介质时的高斯定理
=
+0 - 0 - - + ++1 S- -+ + - -+ + - S e ˆn - d + ++2 + -
= 0
U E1d E2d
E1 E2
1 2 r
S S 1 2 0S 2 2 2 r 1 0 0 1 r 2 2 0 0 1 r
D 1 1 q P D 0E D 0 1 D 1 2 0 r r r 4 πR
可见，当带电体周围充满电介质时，场强减弱为真空 时的 1 r 倍。
[例] 两平行放置的金属板间原为真空，分别带等量异号电荷 +0、-0，板间电压为 U0，保持板上电荷不变，将板间 一半空间充入介质 (r)，求：板间电压。 解：作高斯面
解：利用 D 的高斯定理
q 2 ， S D d S q ， D 4 πr q ， D 2 4 πr q D q ˆ， E ˆ D r r 2 2 0 r 4 π 0 r r 4 πr
q q
D
n R
r
高 斯 面
P n P cos π P， q 4 πR 2 1 r 1q，q q
S
D1 dS D1 dS D1 dS D1 dS
左 右
S
D1 dS q0 int
S
D1 dS D1S 1S
0
侧
D1 1
1 E1 0 r
2 E2 0
* 静电场的边界条件 取矩形回路，由环路定理 E 的切向分量 E 1t E d l E Δl E Δl 0
有电介质时的高斯定理 电位移
内外筒电势差
U
R1
E
dl
R2
dr ln R2
R2
R1 20 r r
20 r R1
代入得到电场的分0布为： r R1
r ln( R2 / R1)
E
U
R1 r R2 沿半径向里
0 r R2
有电介质时的高斯定理 电位移
由 P 0(r 1)E0得电极r化强度R1矢量的分布
束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。
有电介质时的高斯定理 电位移
例2. 一平板电容器板间为真空时，两极板上所带电荷
的面密度分别为+和-，，电压U0=200V。撤去充 电电源，在板间按图示充以三种介质，介质1充满一
半空间，介质2和3的厚度相同。求介质表面的束缚
电荷。（忽略边缘效应）
解：忽略 边缘效应，板间各
容器两极板的表面相平行）。
有电介质时的高斯定理 电位移
（2）正、负两极板A、B间的电势差为
VA－VB＝E1d1
E2d2
d1
1
d2
2
q S
d1
1
d2
2
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为
q
S
C VA－VB d1 d 2
1 2
D dS D 2rl
S
0
q0
S内 r
D
R1
1
2rl
q0
S内
2r
D
0
R1 r R2
r R2
6-3 静电场中的电介质
R2
R1
解 (1)
D dS l
S
D 2 π rl l
D
2πr
D E ε0 ε r 2 π ε0 ε r r
( R1 r R2 )
r
e r 1 P (e r 1)e 0 E 2 π err
R2
R1
(2) E 2 π e 0e r r E1 (r R1 ) 2 π e 0e r R1 (r R2 ) E2 2 π e 0e r R2 (e r 1) 1 ' (e r 1)e 0 E1 2 π e r R1 (e r 1) 2 ' (e r 1)e 0 E2 2 π e r R2
p0
有极分子：分子的正负电荷中心在无 电场时不重合的，有固定的电偶极矩， 如H2O、HCl等。 p ql
2、无极分子的极化机理——位移极化
电介质
无极分子：位移极化 有极分子：取向极化
3、有极分子的极化机理——取向极化
电介质
无极分子：位移极化 有极分子：取向极化
4、极化现象
关于电位移矢量的说明 •电位移矢量是辅助量，电场 强度才是基本量； •描述电场性质的物理量是电 场强度和电势； •在电介质中，环路定理仍然 成立，静电场是保守场。
例1 把一块相对电容率er =3的电介质， 放在相距d=1 mm的两平行带电平板之间. 放入之前，两板的电势差是1 000 V . 试求 两板间电介质内的电场强度E ，电极化强 度P ，板和电介质 的电荷面密度， +++++++++++ 电介质内的电位 U εr d 移D.
6.3有电解质时的高斯定理
E
r ln( R2 / R1 ) U
沿半径向里
0
r R2
上页 下页
例3. 平行板电容器两板极的面积为S，两板极之 间充有两层电介质，介电常数分别为ε1 和ε2 ，厚 度分别为d1 和 d2，电容器两板极上自由电荷面密为 ±σ0，求各层电介质的电位移和场强。
+
解 （1）设场强分别为E1 和 E2 ，电位移分别为D1 和D2 ， E1和E2 与板极面垂直，都属 均匀场。先在两层电介质交 界面处作一高斯闭合面S1，在 此高斯面内的自由电荷为零。 由电介质时的高斯定理得
电场线
D、E、P 三矢量的关系
D ε0 E P P ε0 (εr 1)E
介电常数
D ε0 εr E εE
利用有电介质的高斯定理，可以由自由电荷的 分布求出电位移矢量的分布，再根据 D、E 之间 的关系求出场强的分布。 只有自由电荷和电介质的分布都具有特殊对称 性的系统，才能用有电介质时的高斯定理求解场 的分布。
上负下正 上负下正 上负下正
4 r（ 3 r 2 1) 0 ( r 2 1) E2 2 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3 4 r（ 2 r 3 1) 0 ( r 3 1) E3 3 r1 r 2 r1 r 3 2 r 2 r 3
可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和 介电常数（相对介电常数）成反比。
上页 下页
所以
D1＝D2
为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们 可另作一个高斯闭合面S2 ，如图中左边虚线所示， 这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按 有电介质时的高斯定理，得
D S D
2.5 介质中的高斯定理
r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
σ P |r = a = P ⋅ n |r = a 1
2）电荷q集中在球心时，电场分布为 电荷q集中在球心时，
4πε r q E2 = e 2 r 4πε 0 r
2
E1 =
q
er
(r < a)
(r > a)
在r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
∇× E = 0 真空中， 真空中， 自由电荷是激发静电场的源 ρ ⇒ 自由电荷是激发静电场的源 ∇⋅E = 1 ε0
ρ 自由电荷： 自由电荷： , E0
ρ 介质被极化－ 极化电荷： 介质被极化－>极化电荷： P , E '
介质空间中电场： 介质空间中电场：
E = E0 + E '
ρP
介质中的泊松方程
介质中的拉普拉斯方程
线性媒质：媒质参数不随电场的值而变化，反之， 线性媒质：媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为 非线性媒质； 媒 非线性媒质； 均匀媒质：媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为 均匀媒质：媒质参数不随空间坐标而变化，反之， 质 非均匀媒质； 非均匀媒质； 各向同性媒质：媒质特性不随电场的方向改变,反之，称 各向同性媒质：媒质特性不随电场的方向改变,反之， 为各向异性媒质。 8 为各向异性媒质。
1 d 2 K K ρ P = −∇ ⋅ P = − 2 (r ⋅ ) = − 2 r r dr r 的球面上， 在 r = a 的球面上，束缚电荷面密度为 K σ P = n ⋅ P |r =a = e r ⋅ P r =a = a
13
2)由于 2)由于 D = ε 0 E + P ，所以
大学物理第六章课后习题答案
第六章 静电场中的导体与电介质 6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。
6 －2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。
若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ）（A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地（C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关。
因而正确答案为（A ）。
6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。
设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ）（A ）d εq V E 0π4,0== （B ）dεq V d εq E 020π4,π4== （C ）0,0==V E（D ）R εq V d εq E 020π4,π4==分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。
点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。
因而正确答案为（A ）。
6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。
下列推论正确的是( )（A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷（B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷（D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。
9.5 有电介质时的高斯定理
ˆ r
r 4 r
ˆ r
P + - + E + r q' + q - D ^ -r + R -+ P(R) + + + -
-
球表面的油面上的极化电荷：
1 ˆ P ( R ) ( r ) (1 )
q
1 q 4 R 2 ( 1 )q
S
( 0 E P ) d S q 0内
定义(引入)电位移矢量： D 0E P
D 的高斯定理：
通过任意封闭曲面的电位移矢量的通量，等于该 封闭面所包围的自由电荷的代数和
S
D d S
q0
S
D d S
q0 ,
D 0E P
电位移线（D 线）发自正自由电荷，止于负自由 电荷。在闭合面上的通量只和闭合面内的自由电荷有
关。
, 其中E 是所有电荷共同产生的， 所以，D的分布一般也和束 P 与束缚电荷有关。 缚电荷（介质分布）有关。
因为 D 0 E P
只有当介质的分布满足一定条件时，D 才与束缚
电荷无关。
为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们 可另作一个高斯闭合面S2 ，如图中左边虚线所示， 这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按 有电介质时的高斯定理，得
S1
D S D 1 S＝ S
再利用 D 1＝ 1 E 1 , D 2＝ 2 E 2 可求得
E1
S1
所以
D 1＝ D 2
即在两电介质内，电位移 D 1 和 D 2 的量值相等。由于
介质中的高斯定理
v E
D
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+´0
DS 0S D 0
D +´
E
D
0r
0 0 r
- 0
0 0
E0
0 0
E 0
E E0 E
0 r 0 0
1
1
r
0
E
dS S
++++++
-q - - - - - -
移出S面
qi
留在S面内
介质中的高斯定理
v v E dS
S
1
0
qi
1
0
vv P dS
S
S 0E P dS qi
定义电位移矢量: D 0 E P C m2
介质中的高斯定理: 在任何静电场中，通过任意闭合曲面 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.
D S
dS
qi
说明:
D S
dS
qi
介质中的高斯定理
1. 介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推 导出，但它却有普适性.
2. 介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理.
真空中: P 0 所以: D 0E P 0E
v D dS
S
S 0E dS qi
vv E dS
S
1
0
qi
3. 电位移矢量D 是一个辅助量.描写电场的基本物理
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
大学物理之63电位移有介质时高斯定理
(2) E 2 π 0 rr
E1 2 π 0 r R1
E2
2
π 0 r R2
(r R1) (r R2 )
1'
( r
1) 0E1
( r 1) 2 π r R1
2'
( r
1) 0E2
( r 1) 2 π r R2
r
R2 R1
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
εE S
dS
Q0
电位移矢量
电位移通量
D 0 r E E
SD dS
有介质时的高斯定理
n
D dS S
Q0i
i 1
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
例1 把一块相对电容率r =3的电介质，
放在相距d=1 mm的两平行带电平板之间.
放入之前，两板的电势差是1 000 V . 试求
U=1 000 V
+++++++++++
U εr
d
-----------
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
例2 图中是由半径为R1的 长直圆柱导体和同轴的半径为
R2的薄导体圆筒组成，其间充
以相对电容率为r的电介质. 设
直导体和圆筒单位长度上的电
荷分别为+和- . 求(1)电介 质中的电场强度、电位移和极
6S
S
1 ε0
(Q0
Q')
Q'
εr εr
1
Q0
E dS
Q0
S
ε0εr
S 0r E dS Q0
电容率 ε ε0εr
S
' +- + +-+ +-+ +-+ + -+ +
6 有电介质时的高斯定理
于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和.
E dS
S 0r
Q
0i
i
自由电荷 代数和
讨论 电场中充满均匀各向同性电介质的情况下
1、定义：电位移矢量 D 0rE E
: 电容率,决定于电介质种类的常数
说明
(1)是描述电场辅助性矢量
(2) 对应电场线起始于正自由电荷，
(3)
终止于负自由电荷
电位移通量 Ψ D
二、电介质中的静电场环路定理
l E dl 0
D dl 0 l
电位移 有介质时的高斯定理
一、电介质中的高斯定理 电位移矢量 D
加入电介质(εr )
E dS
1
S
0
qi
i
1
0
(
0 )S
'(1 1r Nhomakorabea)
0
EdS Q
S 0r i
E
dS
0S
1
S
0 r 0 r
Q0i
i
0i
自由电荷的代数和
令： D0ErE
电位移矢量
DdS
S
Q0i
i
电介质中通过任一闭合曲面的电位移通量等
D
s
dS
电力线与电位移线的比较
E线
D线
+Q
+Q
r
r
2、电介质中电场 强度
E
、电极化强度
P
和电位移矢量D 之间的 关系
电位移
D 0rE E
电极化强度
P
(r1)0 E
D P 0E
3、电介质中的高斯定理
D dS Q0i
S
i
(自由电荷
电磁学课后习题答案
第五章 静 电 场5 －9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为2204π1L r QεE -=(2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为2204π21Lr r QεE +=若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为r r q εe E 20d π41d '=整个带电体在点P 的电场强度⎰=E E d接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，⎰=LE i E d(2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是⎰⎰==Ly E αE j j E d sin d证 (1) 延长线上一点P 的电场强度⎰'=L r πεE 202，利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则()220022204π12/12/1π4d π41L r QεL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰电场强度的方向沿x 轴.(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为E r εqαE L d π4d sin 2⎰'=利用几何关系 sin α＝r /r ′，22x r r +=' 统一积分变量，则()2203/22222041π2d π41Lr rεQrx L xrQ εE L/-L/+=+=⎰当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度rελL r L Q r εE l 0220π2 /41/π21lim=+=∞→此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B )］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量.分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即⎰⋅=SS d s E Φ方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理∑⎰==⋅0d 0q εSS E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S ′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而⎰⎰'⋅-=⋅=S SS E S E Φd d解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有⎰⎰'⋅-=⋅=S SS E S E Φd d依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，E R πR E 22πcos π=⋅⋅-=Φ解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为①()r θθθE e e e E sin sin cos sin cos ++=r θθR e S d d sin d 2=ER θθER θθER SS2ππ2222πdsin d sin dd sin sin d ===⋅=⎰⎰⎰⎰S E Φ5 －17 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为()()R r ρkr ρ>=≤≤= 0R r 0k 为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数关系.分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有2S π4d r E ⋅=⋅⎰S E根据高斯定理⎰⎰=⋅V ρεd 1d 0S E ，可解得电场强度的分布. (2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为r r ρq ''⋅=d π4d 2，每个带电球壳在壳内激发的电场0d =E ，而在球壳外激发的电场rrεqe E 20π4d d =由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布()()()()R r r r Rr>=≤≤=⎰⎰d R r 0d 0E E E E解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理⎰⎰=⋅V ρεd 1d 0S E 得球体内(0≤r ≤R ) ()4202πd π41π4r εk r r kr εr r E r==⎰()r εkr r e E 024=球体外(r ＞R )()4202πd π41π4r εk r r kr εr r E R==⎰()r εkR r e E 024=解2 将带电球分割成球壳，球壳带电r r r k V ρq '''==d π4d d 2由上述分析，球体内(0≤r ≤R )()r r rεkr r r r r k εr e e E 0222004d π4π41=''⋅'=⎰ 球体外(r ＞R )()r r Rr εkR r r r πr k πεr e e E 20222004d 441=''⋅'=⎰5 －20 一个内外半径分别为R 1 和R 2 的均匀带电球壳，总电荷为Q 1 ，球壳外同心罩一个半径为R 3 的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r 的连续函数？ 试分析.分析 以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而24d rπE ⋅=⎰S E .在确定高斯面内的电荷∑q 后，利用高斯定理∑⎰=0/d εq S E 即可求出电场强度的分布.解 取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析∑=⋅02/π4εq r Er ＜R 1 ，该高斯面内无电荷，0=∑q ，故01=E R 1 ＜r ＜R 2 ，高斯面内电荷()31323131R R R r Q q --=∑ 故 ()()23132031312π4r R R εR r Q E --= R 2 ＜r ＜R 3 ，高斯面内电荷为Q 1 ，故2013π4r εQ E =r ＞R 3 ，高斯面内电荷为Q 1 ＋Q 2 ，故20214π4r εQ Q E +=电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B )所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r ＝R 3 的带电球面两侧，电场强度的跃变量230234π4ΔεσR εQ E E E ==-=这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E 的变化成为一跃变.5 －21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1 和R 2 ＞R 1 )，单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r ＜R 1 ，(2) R 1 ＜r ＜R 2 ，(3) r ＞R 2 .分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且⎰⋅=rL E d π2S E ，求出不同半径高斯面内的电荷∑q .即可解得各区域电场的分布.解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理∑=⋅0/π2εq rL Er ＜R 1 ，0=∑q01=E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 R 1 ＜r ＜R 2 ，L λq =∑rελE 02π2=r ＞R 2，0=∑q03=E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变00π2π2ΔεσrL εL λr ελE ===这与5 －20 题分析讨论的结果一致.5 －22 如图所示，有三个点电荷Q 1 、Q 2 、Q 3 沿一条直线等间距分布且Q 1 ＝Q 3 ＝Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q 1 、Q 3 的情况下，将Q 2从点O 移到无穷远处外力所作的功.分析 由库仑力的定义，根据Q 1 、Q 3 所受合力为零可求得Q 2 .外力作功W ′应等于电场力作功W 的负值，即W ′＝－W .求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为l E d 02⎰∞=Q W其中E 是点电荷Q 1 、Q 3 产生的合电场强度. (2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有()0202V Q V V Q W =-=∞其中V 0 是Q 1 、Q 3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势). 解1 由题意Q 1 所受的合力为零()02π4π420312021=+dεQ Q d εQ Q 解得 Q Q Q 414132-=-=由点电荷电场的叠加，Q 1 、Q 3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为()2/322031π2yd εQ E E E yy y +=+=将Q 2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为()dεQ y y d εQ Q Q W y 022/322002π8d π241d =+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅-='⎰⎰∞∞l E 解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q Q 412-=，并由电势的叠加得Q 1 、Q 3 在点O 的电势dεQd εQ d εQ V 003010π2π4π4=+=将Q 2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功dεQ V Q W 0202π8=-=' 比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多. 5 －23 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为r rελe E 0π2=为电荷线密度.(1)求在r ＝r 1 和r ＝r 2 两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r →∞处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？ 试说明. 解 (1) 由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有12012ln π2d 21r r ελU r r =⋅=⎰r E (2) 不能.严格地讲，电场强度r e rελE 0π2=只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分布在无限空间，r →∞处的电势应与直线上的电势相等.5 －27 两个同心球面的半径分别为R 1 和R 2 ，各自带有电荷Q 1 和Q 2 .求：(1) 各区域电势分布，并画出分布曲线；(2) 两球面间的电势差为多少？分析 通常可采用两种方法(1) 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由⎰∞⋅=pp V l E d 可求得电势分布.(2) 利用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的球面，在球面外产生的电势为rεQV 0π4=在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势RεQV 0π4=其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布.解1 (1) 由高斯定理可求得电场分布()()()22021321201211π4π40R r r εQ Q R r R r εQ R r r r >+=<<=<=e E e E E 由电势⎰∞⋅=rV l E d 可求得各区域的电势分布.当r ≤R 1 时，有20210120212113211π4π4π411π40d d d 2211R εQ R εQ R εQ Q R R εQ V R R R R r+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰∞lE l E l E当R 1 ≤r ≤R 2 时，有202012021201322π4π4π411π4d d 22R εQ r εQ R εQ Q R r εQ V R R r+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅+⋅=⎰⎰∞lE l E当r ≥R 2 时，有rεQ Q V r02133π4d +=⋅=⎰∞l E(2) 两个球面间的电势差⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=⎰210121211π4d 21R R εQ U R R l E 解2 (1) 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r ≤R 1 ，则2021011π4π4R εQ R εQ V +=若该点位于两个球面之间，即R 1 ≤r ≤R 2 ，则202012π4π4R εQ r εQ V +=若该点位于两个球面之外，即r ≥R 2 ，则rεQ Q V 0213π4+=(2) 两个球面间的电势差()2011012112π4π42R εQ R εQ V V U R r -=-==第六章 静电场中的导体与电介质6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。
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-2
r =3，
d=1mm， U=1000V U
+++++++++++
εr
d
----------4
第六章 静电场中的导体和电介质
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
0 0 E 0 8 . 85 10
6
C m
2
2
' P 5 . 89 10
6
C m
D 0 r E 0 E 0 0 8 . 85 10
6
C m
-2
r =3，
d=1mm， U=1000V U
+++++++++++
εr
d
----------5
第六章 静电场中的导体和电介质
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
例2 图中是由半径为R1的 长直圆柱导体和同轴的半径为 R2的薄导体圆筒组成，其间充 以相对电容率为r的电介质. 设 直导体和圆筒单位长度上的电 荷分别为+和- . 求(1)电介 质中的电场强度、电位移和极 化强度； (2)电介质内外表面 的极化电荷面密度.
S
有介质时的高斯定理
D dS
S
Q
i 1
n
0i
第六章 静电场中的导体和电介质
2
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
例1 把一块相对电容率r =3的电介质， 放在相距d=1mm的两平行带电平板之间. 放入之前，两板的电势差是1000V . 试求 两板间电介质内的电场强度E ，电极化强 度P ，板和电介质 的电荷面密度， +++++++++++ 电介质内的电位 U εr d 移D.
1 ' ( r 1) 0 E 1
2 ' ( r 1) 0 E 2
r
R2
R1
( r 1) 2 π r R2
第六章 静电场中的导体和电介质
8
第六章 静电场中的导体和电介质
Байду номын сангаас
R2
R1
6
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
解 (1)
D dS l
S
D 2 π rl l
E D ε0εr
D
2πr
2 π ε0εrr
( R1 r R 2 )
r
R2
R1
P ( r 1) 0 E
r 1
2 π rr
第六章 静电场中的导体和电介质
7
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
(2)
E1
E2
E
2 π 0 r r
2 π 0 r R1
2 π 0 r R 2
( r R1 )
(r R2 )
( r 1) 2 π r R1
-----------
第六章 静电场中的导体和电介质
3
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
解
d E E 0 r 3 . 33 10 2 kV m 1
P ( r 1) 0 E 5 . 89 10
6
E0
U
10 kV m
3
1
C m
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
1 ' S E d S ε ( Q 0 Q ) 0
Q
'
εr 1 εr
S
Q0
Q0 S E d S ε ε 0 r
'
+++++++++++
- - - - + + +
r
' +
S
0 r E d S Q 0
-----------
+
电容率 ε ε 0 ε r
εE d S Q 0
S
1
第六章 静电场中的导体和电介质
物理学
第五版
6-3 电位移 有介质时的高斯定理
εE d S Q 0
S
电位移矢量
电位移通量
D 0 r E E
D dS