哈尔滨工程大学-场论学习

• 二阶张量的坐标变换
e B bij eie j bkl k el
eke bij ei (bkl l ) e j bkl (ei ek )(e j el ) bklik jl
( i, j 1,2,3 ) ( k , l 1,2,3 )
ek (bij ei e j ) el bij (ek ei )(el e j ) bij kilj bkl
eg.
b1111 21 b1211 22 b1311 23 b12 b2112 21 b2212 22 b231223 b3113 21 b3213 22 b3313 23
a (b c) (a b) c c (a b) (c a) b
a (b c) (a c)b (a b)c
（4） （5） （6）
(a b) (c d) (a c)(b d) (b c)(a d)
0.2.3 向量分量的坐标转换 讨论新、老坐标轴中单位向量及向量分量之间的转换关系。 单位向量之间的转换关系： 1 i j e i e j ei ej ij 0 i j
a bc (a b)c (b a)c c(b a)
ab cd a(b c)d (b c)ad ad(c b)
c ab d (c a)(b d) (d b)(c a) (d b)(a c)
ab c a(b c)
0·3 标量场的方向导数和梯度
剃度表示物理量在一点邻域内的变化。 （1）梯度的定义
方向导数：
M0 dl M
l 方向单位向量 el cos i cos j cos k
l lim
M0
(M ) (M 0 )
M 0M
0
cos cos cos x y z
或
aij aik jk
表0.1 坐标轴间方向余弦
向量分量之间的转换关系： a与坐标系无关，有
e1
e2
e3
a aiei aj ej
ai aj (ei ej ) ai ij (i, j 1, 2,3) ai ai (ej ei ) ai ji
1 3 2
置换法则： • 3个自由指标顺时针排列为正，否则为负。
123 231 312 1 ， 132 213 321 1
• 任意2个自由指标对换后差一个负号，如 123 213 231
ijk 和δ符号之间有关系 ijk klm il jm im jl
y
(i, j=1,2,3)
y
a
x
又
e 1 11e1 12 e 2 13 e 3 e e e e 2 21 1 22 2 23 3 e e e e 3 31 1 32 2 33 3
z
o
z
x
e1
e1
式中ei e j 是二阶张量的基 (eie j e j ei ) • 二阶对称张量
bij b ji
bij －b ji
各元素关于主对角线对称，只有六个独立分量。 • 二阶反对称张量
主对角线分量为零，只有三个独立分量。
• 二阶张量及其基本运算规则
① ② ③ ④ ⑤
ab cd (ai b j ci d j )ei e j
(r, t ) const (t )
（c值不同对应不同等值面）
c1
c2
c3
等值线
等值面
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
• 向量场的向量线：描述向量在场中的分布。
向量线上每一点处曲线与对应于该点的向量 a axi ay j azk 相切。
向量线连续分布， 一般互不相交。
i j k cos i cos j cos k y z x
( i j k ) (cosi coaj cosk ) e l l x y z
记
G i j k grad 梯度(Gradient) x y z
pressure velocity stress strain
( x, y, z, t )
p p( x, y, z, t )
v v( x, y, z, t )
P＝P （x, y, z, t )
向量场（函数） 张量场（函数）
( x, y, z, t )
r r ( x, y, z )
space point
z r
物理量作为空间点位置M和时间t 的函数， t 作为参变量。
o
x
y
0.1 标量、向量、张量
（1）概念 标量（scalar）：1个元素表示的只有大小没有方向的量
＝（r, t )
向量 ( vector ) ：3个元素表示的既有大小又有方向的量
B B(r, t )＝B1i＋B2 j＋B3k
i j k ei x y z xi
dl M0
M
Hamilton算子（ Nabla）


则
e l cos( , e l ) l
当 ( , el ) 0,即 e l 与 方向一致时, l 为最大。
l
n
el
2 1
注：算子 具有微分和向量双重运算 性质，适用于任意正交坐标系，在不 同坐标系中表达形式不同。推导或证 明公式时用直角坐标系简便。
1
剃度、方向导数与等面
（2） 梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个向量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加方向. 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度
el l
计算增量
d = d l
由梯度可计算物理量φ沿l方向经过dl距离的增量。 ② 梯度 垂直于标量φ的等值面，且指向φ增大的方向。
n n n

l
计算曲面法线 n
n
el
2 1
1
剃度、方向导数与等值面
第0章 场论（ FIELD ）
目的：场论是描述物理流动的数学工具。
内容：介绍力学中常用的场论知识。 场： 具有物理量的空间。 流场：充满流体物理量的空间。
z
y
x
流体力学中常见的物理量
temperature
T T ( x, y, z, t )
field 1:1 func. 标量场（函数）
density
δ 参与表达式运算的结果：
aijbklil aijbik
冲掉一个自由指标
(3) Ricci（置换）符号：任意两个正交单位向量的叉积
ei e j ijk ek
式中i,j是自由指标， ijk 称为置换符号。
ijk
0 两个自由指标相同，如 113 233 0 1 自由指标偶次置换，如 123 231 1 1 自由指标奇次置换，如 213 123 1
e 3
e2
e3
或
点乘
e i ij e j
e k kmem
ei jiej
ek mk e m
11 12 13
31 32 33
21 22 23 e 2
表0.1 坐标轴间方向余弦
得
ik ijkj ik ji jk
（4）梯度运算的基本公式
①
c 0
（ c 为常数） （ c为常数）
② (c ) c ③ ④ ⑤
( )
( )
f ( ) f ' ( )
（5）向量的梯度 V 是一个二阶张量
Example 0.1：求曲面
d l a 0
d la 0
0.2向量及张量的基本运算
0.2.1 向量运算符号规定 (1) Einstein求和符号：式子中成对出现的哑指标。
ai e i a1e1 a 2 e 2 a3 e 3 a
e j e j e1e1 e2e2 e3e3 3
k1ai bi k2e j e j k1 (a1b1 a2b2 a3b3 ) 3k 2
图0.1.2 向量线
M z o y
a
l
x
r
• 向量线微分方程：
r xi yj zk M点位置 向量线l 微段 dl dr dxi dyj dzk 向量（场） a ax i ay j az k dx dy dz a x ( x, y, z, t ) a y ( x, y, z, t ) a z ( x, y, z, t )
(2) Kronecker δ符号： 任意两个正交坐标轴单位向量的点积
1 ei e j ij 0
i j i j
(i, j 1, 2, 3)
式中i, j 是自由指标，表示坐标方向。可写作:
11 22 33 1
23 32 12 21 13 31 0
0.2.2 向量运算的常用公式
（1） （2）
a b aiei biei (ai bi )ei
a b aiei bje j ab i j ei e j ab i j ij ab i i
e1 e2 e3
（3）
a b aiei b j e j ai b j ei e j ai b j ijk ek a1 a2 a3 b1 b2 b3
即可得如下六个关系式
11 12 21 22 31 32 0 12 13 22 23 32 33 0 13 11 23 21 33 31 0 2 2 2 11 21 31 1 2 2 2 12 22 32 1 2 2 2 13 23 33 1
e1
e 2
e 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
0.2.4二阶张量及其基本运算
• 二阶张量是两个向量的并积。表示为
b11 B ac ai ei c j e j ai c j ei e j bij ei e j bij b21 b (i, j 1, 2,3) 31 b12 b22 b32 b13 b23 b33
图
三维高度场的梯度
图
电位场的梯度
高度场的梯度 • 与过该点的等高线垂直；
• 数值等于该点位移的最大变化率； • 指向地势升高的方向。
电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
（3）梯度的应用（性质） ①梯度 在 e l 方向的投影等于标量φ在该方向的方向导数
二阶张量（tensor of 2nd order）：9个元素表示的量 n阶张量（tensor of nth order）：3n个元素表示的量
（2）场的几何描述
• 标量场的等值线（面）：表示标量在场中的分布。 t 时刻场 (r ,t) 中数值相同的点组成的曲面。 其方程为
h ( x, y, z ) const