落实“三化” 提升素养——以一轮复习中“全等三角形”教学为例
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A′D′到 E′,使 D′E′＝A′D′,连
接 B′E′．
利用“
SAS”可 以 证 明 △ADC ≌ △EDB ,从
而 得 BE ＝AC ,同理 B′E′＝A′C
这样便将已知条件
′．
集中到一 对 三 角 形 中,利 用 “
SSS”可 以 证 明 △ABE ≌
△A′B′E′,从 而 ∠BAC ＝ ∠B′A′C
ï
线 角平分线 → 内心
ìï
ïï
î相关 ï 高线 → 高在形内或形外,面积
í
要素 ï
外角 → 外角与内角的关系
î角 外角和
,外角
外角和等于
{
{
→
３６０
°
和与内角和的关系
图１
∗ 课题信息:本文系江苏省“十四五”教学研究课 题 “尽 精 微:基 于 学 习 目 标 分 解 与 达 成 的 初 中 数 学 课 例 研 究 ”(课 题 编
直观和空间观念 ．
图４
(
这 里 判 断 △ABC 和 △A′B′C
２)独立 思 考 ．
′是 否
全等的难点是所给的三 个 条 件 不 在 同 一 对 三 角 形 中,
无法形成“合力”．
(
不 妨 以 AB ＝５,
３)实践 探 索 ．
AC ＝４,
AD ＝３ 为
例．
利用几何画板,我们先画线段 AB ＝５,再以点 A 为
关的问题,准备好分享的经验和疑问;
(
２)重 点 回 顾 与 三 边 关 系 有 关 的 “将 军 饮 马 ”模
型,利用多边形外角和解决内角和问题等;
(
３)突出 与 “三 线”有 关 的 内 心、重 心、垂 心、中 位
线等知识和方法 ．
设计意图:构建三角形知识内容结构 图(如 图 １),
通过联想发散,建立知 识 之 间 的 关 联,将 知 识 结 构 化;
(
２)独 立 思 考:先 作 哪 条 线 段? 再 作 哪 条 线 段?
最后作哪 条 线 段? 为 什 么 要 按 这 样 的 顺 序 作? 如 图
这
３,我们可以先作高 AD ,再 作 边 AB ,最 后 作 边 AC．
样作出的三角形唯一吗?
(
３)先同 组 之 间 比 较,再 与 其
他小 组 比 较,作 出 的 三 角 形 全 等
２０２３ 年 ５ 月下半月
活动 ２ 用 尺 规 作 符 合 条 件 的 三 角 形 (以 导 学 案
形式给出不同类型的条件),说明其作图原理 ．
活动程序:(
１)经 历 作 出 符 合 条 件 的 三 角 形 的 过
程,感受作图唯一性与三角形全等的一致性关系;
A′B′,
AC＝A′C
′,
AD 和 A′D′分别是 BC 和 B′C
意识地关注和组织学生 分 享,并 在 此 基 础 上 引 导 学 生
进入思维与 策 略 的 层 面,梳 理 知 识 结 构,绘 制 认 知 结
构流程图”．
活动 １ 绘 制 三 角 形 的 知 识 内 容 框 架 图 (或 思 维
导图),归纳自己熟悉的数学问题及思想方法 ．
活动程序:(
１)课 前 梳 理 三 角 形 中 与 线 段 和 角 有
教学研究
２０２３ 年 ５ 月下半月
落实 “ 三化 ” 提升素养
∗
———以一轮复习中“全等三角形”教学为例
◉ 南京育英第二外国语学校 吴丹丹
◉ 南 京 市 金 陵 汇 文 学 校 赵齐猛
«义 务 教 育 数 学 课 程 标 准 (
２０２２ 年 版)»指 出:“为
实现核心素养导向的教学 目 标,不 仅 要 整 体 把 握 教 学
通过观察,我们可以判断
存在某个位置,使 点 D 恰 好 为 线 段 BC 的 中 点,此 时
的 △ABC 就是 满 足 AB ＝５,
AC ＝４,
AD ＝３ 的 三 角
形．
那么 满 足 这 一 条 件 的 △ABC 是 否 唯 一 呢? 继 续 转
动点 C,我们不难发现,在关于直线 AB 对称的位置还
“
SAS“)则易于画三角形,但若所给的三个条件是 包 含
相关要素或其他要素时,如何化归条件是训练的 重 点 ．
我们常常先画一个假想 图,分 析 这 个 假 想 图 与 目 标 图
之间的关系,画出基础图形是突破口 ．
互帮互学和 思 维
延伸旨在考虑学生思维 水 平 的 差 异 性,让 每 个 学 生 的
必然性 ．
教学重点:在 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 过 程 中,感
受一般观 念 下 通 法 与 特 殊 方 法 的 思 维 价 值,在 落 实
“三化”的过程中发展核心素养 ．
２ 教学活动和程序设计
２．
１ 温故知新,实现知识技能重构
复习课任 务 之 一 是 重 构 认 知 框 架,“教 师 应 该 有
图８
思维都活跃起来 ．
活动 ６ 两边及第三边上对应的三等 分 线 分 别 相
等的两个 三 角 形 全 等 吗? 已 知 两 边 及 第 三 边 上 对 应
的三等分线的长度,你 能 画 出 这 个 三 角 形 吗? 你 还 能
提出其他问题吗?
图９
活动程序:根据学 生 实 际,营 造 思 维 多 元 化 氛 围,
′边上
的中线,且 AD ＝A′D′．
△ABC 和 △A′B′C
′是否全等?
(
２)利用尺规作图,说明“
SSA”不能作为两个 三 角
形全等 条 件 的 原 因 ．
从作图不唯一的事实说明满足
“
SSA”的三角形可能作出一个,也可能作出两个,还 可
能作不出,进 而 解 释 “HL”能 作 为 直 角 三 角 形 全 等 条
设计意图:活动 ４ 由“第 三 边 上 的 高 对 应 相 等”到
“第三边上的中线对应相 等”,体 现 知 识 内 容 的 结 构 性
转化,激发学生思考 ．
利 用 几 何 画 板 动 手 做 数 学,亲 历
探究“倍长中线法”的形成过程,知其然而知其所以然,
形式多样,可以生生互动,还可以课内课外相结合 ．
(
２)掌握基 本 事 实“
SAS”“ASA”“
SSS”,证 明 定 理
“
”
,
”
探索并掌握定理“
AAS
HL ．
(
３)理解 角 平 分 线 的 概 念,探 索 并 证 明 角 平 分 线
的性质定理 ．
立足整体 教 学 设 计,结 合 学 情,将 “全 等 三 角 形 ”
一轮复习教学目标分解如下:
(
１)从分 析 全 等 三 角 形 知 识 框 架 入 手,训 练 用 全
设计意图:这是一个衍生开放性问题 ．
由活 动 ４ 和
活动 ５ 引出活动 ６,水到渠 成 ．
由特殊的中线到三等分
线,解决问题的方法是可以迁移的 ．
这类富有弹性 的 探
提升抽象能 力;追 问 帮 助 学 生 厘 清 线 索,形 成 讲 道 理、
究不仅可以 让 学 生 养 成 善 于 发 现 问 题 和 提 出 问 题 的
地位,它既是 初 中 系 统 介 绍 命 题 证 明 的 开 端,又 是 研
究其他图 形 的 性 质 和 图 形 的 变 化 的 工 具,贯 穿 整 个
“图形与几何”板块 ．
对于“全等三角形”,课标的内容要求是:
(
１)理解 全 等 三 角 形 的 概 念,能 识 别 全 等 三 角 形
中的对应边、对应角 ．
等三角形证明命题的规范性 ．
(
２)掌握 常 见 尺 规 作 图 的 基 本 方 法,在 具 体 问 题
中感悟作图与全等三角形的关联 ．
(
３)通过 变 式 训 练,体 会 发 现 问 题 和 提 出 问 题 的
方法;感受转 化、类 比、迁 移 等 数 学 思 想 方 法,在 利 用
全等三角形综合解决问题的过程中领会方法形成的
边形 ．
(
５)启 发 反 思:你 能 将 图 ６
中蕴 含 的 方 法 梳 理 成 证 明
△ABC≌△A′B′C
′的思路吗?
基于几何 直 观,我 们 可 以 从
操作中抽 象 出 “倍 长 中 线 法 ”．
如
图７
Ｇ１,延 长 AD 到 E ,使 DE ＝
AD ,连 接 BE ．如 图 ７
Ｇ２,延 长
图６
内容之间的关联,还要把握 教 学 内 容 主 线 与 相 应 核 心
”数 学 课 程 内 容 具 有 整 体 性、结
素养发展之间的关 联 ．
构性和逻辑 性,因 此 教 学 要 突 出 单 元 整 体 教 学 设 计,
这样有利于学生从整体上 理 解 数 学,构 建 数 学 认 知 结
构,促进数学核心素养的形成 ．
号:
２０２１JY１４
ＧL５３),南京市教育科学规划第十二期 个 人 课 题 “基 于 学 情 的 初 中 数 学 学 习 目 标 分 解 的 实 践 研 究 ”(课 题 编 号:
Lc
１０１７)的阶段性研究成果 ．
２２
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教学研究
在一轮复习中,教师在 教 学 时 要 关 注 数 学 的 内 部
逻辑和学生 的 认 知 规 律,从 知 识 内 容 结 构 化、方 法 形
成过程化、评价标准差异 化(简 称“三 化”)三 个 方 面 着
手,帮助学生“既见树木又见森林”．
１ 教学内容和目标分析
全等三角 形 在 “图 形 与 几 何”中 具 有 无 可 替 代 的
吗? 不 难 发 现 图 ３ 与 活 动 ２ 中 的
“
SSA”不确定性的本质一样 ．
图３
设计 意 图:通 过 活 动 ３ 和 活
动 ２ 的对比训练,感受三 角 形 全 等 与 三 角 形 唯 一 确 定
的一致性,从本质上理解无 法 确 定 高 在 形 内 或 形 外 是
“
SSA”不能作为三 角 形 全 等 条 件 以 及 多 解 的 根 源,进
′,进 而 证 得
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２３
教学研究
２０２３ 年 ５ 月下半月
△ABC≌△A′B′C
′．
图７
Ｇ１ 图 ７
Ｇ２
(
６)经验反思:“倍长 中 线 法”告 诉 我 们,证 明 两 个
三角形பைடு நூலகம்等的关键是把相关的三个条件集中到一对
件的道理,并能用辩 证 的 观 点 认 识 “
SSA”的 不 确 定 性
和确定性 ．
设计意图:在动态操作 理 解 图 形 运 动 和 图 形 变 化
的过程中建立知识 内 容 之 间 的 关 联 (如 图 ２),这 种 关
联为后续探究活动 储 备 了 实 践 经 验 和 理 论 依 据 ．
通过
反例的构造,厘 清 不 唯 一 与 不 全 等 的 关 系,提 升 几 何
一步提升模型观念 ．
活动 ４ 两边及第三边上的中线对应相 等 的 两 个
三角形全等吗?
活动程序:(
１)尝试 画 图,用 符 号 语 言 写 出 相 应 的
条件 ．
如 图 ４,已 知,在 △ABC 和 △A′B′C
′中,
AB ＝
图５
Ｇ１
图５
Ｇ２
图５
Ｇ３
(
４)现 象 分 析:这 “两 解 ”能 否 说 明 满 足 条 件 的
落脚于“中 点 的 联 想”,突 出 重 点 和 难 点,提 升 应 用 意
识,为后续灵活运用三角形的基础知识解题奠定基础 ．
边:两边之和大于第三边 →“将军饮马”
ïì
组成 ï
问题
ìï要素 íï角:内角和等于 １８０° →n 边形的内角和
ï 为(
ï
î
n－２)１８０
°
ï
三角形 í
中线 → 重心、中位线、倍长中线
三角形中 ．
还有学生 根 据 中 点 想 到 构 造 中 位 线 DE 和
D′E′,还有同学想到 构 造 中 位 线 证 明,如 图 ８、图 ９ 所
示,证明略 ．
图 １３
(
在 作 图 的 过 程 中,可 能 会 遇 到 哪 些
４)思维延伸 ．
问题?
设计 意 图:若 直 接 根 据 三 角 形 的 三 个 要 素 (如
有一种情形,△ABC 同样满足该条件,如图 ５
Ｇ３．
图２
２．
２ 问题搭梯,实现思想方法再现
活动 ３ 两边及第三边上的高对应相等 的 两 个 三
角形全等吗?
活动程序:(
１)将学 生 分 为 ４ 人 一 组,要 求 每 位 学
生用尺规作一个三角形,使 所 作 的 三 角 形 有 两 边 分 别
为 ４ 和 ５,第三边上的高为 ３．
圆心,分别以 ３ 和 ４ 为 半 径 画 两 个 圆,如 图 ５
Ｇ１,在 大
圆上取一点 C,连 接 BC．
在 大 圆 上 调 整 点 C 的 位 置,
使 BC 与 小 圆 相 切 于 点 D ,此 时 BD ＞CD ;如 图 ５
Ｇ２,
将点 C 绕圆心 A 逆时针旋转,
BC 与小圆的交 点 D 随
之渐渐远离点C 并接近点 B ．
△ABC 不唯一呢? 仔细观 察 图 ５
Ｇ２ 和 图 ５
Ｇ３,由 于 对
称,这两个三 角 形 是 能 重 合 的;还 可 以 把 图 ５
Ｇ３ 中 的
△ABC 先沿直线 AB 翻折,再将图 ５
Ｇ３ 旋 转 一 定 的 角
度,使旋转后的 CB 边能与图 ５
Ｇ２ 中的 BC 边 重 合,如
图 ６,不 难 发 现 这 两 个 三 角 形 可 以 拼 成 一 个 平 行 四
接 B′E′．
利用“
SAS”可 以 证 明 △ADC ≌ △EDB ,从
而 得 BE ＝AC ,同理 B′E′＝A′C
这样便将已知条件
′．
集中到一 对 三 角 形 中,利 用 “
SSS”可 以 证 明 △ABE ≌
△A′B′E′,从 而 ∠BAC ＝ ∠B′A′C
ï
线 角平分线 → 内心
ìï
ïï
î相关 ï 高线 → 高在形内或形外,面积
í
要素 ï
外角 → 外角与内角的关系
î角 外角和
,外角
外角和等于
{
{
→
３６０
°
和与内角和的关系
图１
∗ 课题信息:本文系江苏省“十四五”教学研究课 题 “尽 精 微:基 于 学 习 目 标 分 解 与 达 成 的 初 中 数 学 课 例 研 究 ”(课 题 编
直观和空间观念 ．
图４
(
这 里 判 断 △ABC 和 △A′B′C
２)独立 思 考 ．
′是 否
全等的难点是所给的三 个 条 件 不 在 同 一 对 三 角 形 中,
无法形成“合力”．
(
不 妨 以 AB ＝５,
３)实践 探 索 ．
AC ＝４,
AD ＝３ 为
例．
利用几何画板,我们先画线段 AB ＝５,再以点 A 为
关的问题,准备好分享的经验和疑问;
(
２)重 点 回 顾 与 三 边 关 系 有 关 的 “将 军 饮 马 ”模
型,利用多边形外角和解决内角和问题等;
(
３)突出 与 “三 线”有 关 的 内 心、重 心、垂 心、中 位
线等知识和方法 ．
设计意图:构建三角形知识内容结构 图(如 图 １),
通过联想发散,建立知 识 之 间 的 关 联,将 知 识 结 构 化;
(
２)独 立 思 考:先 作 哪 条 线 段? 再 作 哪 条 线 段?
最后作哪 条 线 段? 为 什 么 要 按 这 样 的 顺 序 作? 如 图
这
３,我们可以先作高 AD ,再 作 边 AB ,最 后 作 边 AC．
样作出的三角形唯一吗?
(
３)先同 组 之 间 比 较,再 与 其
他小 组 比 较,作 出 的 三 角 形 全 等
２０２３ 年 ５ 月下半月
活动 ２ 用 尺 规 作 符 合 条 件 的 三 角 形 (以 导 学 案
形式给出不同类型的条件),说明其作图原理 ．
活动程序:(
１)经 历 作 出 符 合 条 件 的 三 角 形 的 过
程,感受作图唯一性与三角形全等的一致性关系;
A′B′,
AC＝A′C
′,
AD 和 A′D′分别是 BC 和 B′C
意识地关注和组织学生 分 享,并 在 此 基 础 上 引 导 学 生
进入思维与 策 略 的 层 面,梳 理 知 识 结 构,绘 制 认 知 结
构流程图”．
活动 １ 绘 制 三 角 形 的 知 识 内 容 框 架 图 (或 思 维
导图),归纳自己熟悉的数学问题及思想方法 ．
活动程序:(
１)课 前 梳 理 三 角 形 中 与 线 段 和 角 有
教学研究
２０２３ 年 ５ 月下半月
落实 “ 三化 ” 提升素养
∗
———以一轮复习中“全等三角形”教学为例
◉ 南京育英第二外国语学校 吴丹丹
◉ 南 京 市 金 陵 汇 文 学 校 赵齐猛
«义 务 教 育 数 学 课 程 标 准 (
２０２２ 年 版)»指 出:“为
实现核心素养导向的教学 目 标,不 仅 要 整 体 把 握 教 学
通过观察,我们可以判断
存在某个位置,使 点 D 恰 好 为 线 段 BC 的 中 点,此 时
的 △ABC 就是 满 足 AB ＝５,
AC ＝４,
AD ＝３ 的 三 角
形．
那么 满 足 这 一 条 件 的 △ABC 是 否 唯 一 呢? 继 续 转
动点 C,我们不难发现,在关于直线 AB 对称的位置还
“
SAS“)则易于画三角形,但若所给的三个条件是 包 含
相关要素或其他要素时,如何化归条件是训练的 重 点 ．
我们常常先画一个假想 图,分 析 这 个 假 想 图 与 目 标 图
之间的关系,画出基础图形是突破口 ．
互帮互学和 思 维
延伸旨在考虑学生思维 水 平 的 差 异 性,让 每 个 学 生 的
必然性 ．
教学重点:在 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 过 程 中,感
受一般观 念 下 通 法 与 特 殊 方 法 的 思 维 价 值,在 落 实
“三化”的过程中发展核心素养 ．
２ 教学活动和程序设计
２．
１ 温故知新,实现知识技能重构
复习课任 务 之 一 是 重 构 认 知 框 架,“教 师 应 该 有
图８
思维都活跃起来 ．
活动 ６ 两边及第三边上对应的三等 分 线 分 别 相
等的两个 三 角 形 全 等 吗? 已 知 两 边 及 第 三 边 上 对 应
的三等分线的长度,你 能 画 出 这 个 三 角 形 吗? 你 还 能
提出其他问题吗?
图９
活动程序:根据学 生 实 际,营 造 思 维 多 元 化 氛 围,
′边上
的中线,且 AD ＝A′D′．
△ABC 和 △A′B′C
′是否全等?
(
２)利用尺规作图,说明“
SSA”不能作为两个 三 角
形全等 条 件 的 原 因 ．
从作图不唯一的事实说明满足
“
SSA”的三角形可能作出一个,也可能作出两个,还 可
能作不出,进 而 解 释 “HL”能 作 为 直 角 三 角 形 全 等 条
设计意图:活动 ４ 由“第 三 边 上 的 高 对 应 相 等”到
“第三边上的中线对应相 等”,体 现 知 识 内 容 的 结 构 性
转化,激发学生思考 ．
利 用 几 何 画 板 动 手 做 数 学,亲 历
探究“倍长中线法”的形成过程,知其然而知其所以然,
形式多样,可以生生互动,还可以课内课外相结合 ．
(
２)掌握基 本 事 实“
SAS”“ASA”“
SSS”,证 明 定 理
“
”
,
”
探索并掌握定理“
AAS
HL ．
(
３)理解 角 平 分 线 的 概 念,探 索 并 证 明 角 平 分 线
的性质定理 ．
立足整体 教 学 设 计,结 合 学 情,将 “全 等 三 角 形 ”
一轮复习教学目标分解如下:
(
１)从分 析 全 等 三 角 形 知 识 框 架 入 手,训 练 用 全
设计意图:这是一个衍生开放性问题 ．
由活 动 ４ 和
活动 ５ 引出活动 ６,水到渠 成 ．
由特殊的中线到三等分
线,解决问题的方法是可以迁移的 ．
这类富有弹性 的 探
提升抽象能 力;追 问 帮 助 学 生 厘 清 线 索,形 成 讲 道 理、
究不仅可以 让 学 生 养 成 善 于 发 现 问 题 和 提 出 问 题 的
地位,它既是 初 中 系 统 介 绍 命 题 证 明 的 开 端,又 是 研
究其他图 形 的 性 质 和 图 形 的 变 化 的 工 具,贯 穿 整 个
“图形与几何”板块 ．
对于“全等三角形”,课标的内容要求是:
(
１)理解 全 等 三 角 形 的 概 念,能 识 别 全 等 三 角 形
中的对应边、对应角 ．
等三角形证明命题的规范性 ．
(
２)掌握 常 见 尺 规 作 图 的 基 本 方 法,在 具 体 问 题
中感悟作图与全等三角形的关联 ．
(
３)通过 变 式 训 练,体 会 发 现 问 题 和 提 出 问 题 的
方法;感受转 化、类 比、迁 移 等 数 学 思 想 方 法,在 利 用
全等三角形综合解决问题的过程中领会方法形成的
边形 ．
(
５)启 发 反 思:你 能 将 图 ６
中蕴 含 的 方 法 梳 理 成 证 明
△ABC≌△A′B′C
′的思路吗?
基于几何 直 观,我 们 可 以 从
操作中抽 象 出 “倍 长 中 线 法 ”．
如
图７
Ｇ１,延 长 AD 到 E ,使 DE ＝
AD ,连 接 BE ．如 图 ７
Ｇ２,延 长
图６
内容之间的关联,还要把握 教 学 内 容 主 线 与 相 应 核 心
”数 学 课 程 内 容 具 有 整 体 性、结
素养发展之间的关 联 ．
构性和逻辑 性,因 此 教 学 要 突 出 单 元 整 体 教 学 设 计,
这样有利于学生从整体上 理 解 数 学,构 建 数 学 认 知 结
构,促进数学核心素养的形成 ．
号:
２０２１JY１４
ＧL５３),南京市教育科学规划第十二期 个 人 课 题 “基 于 学 情 的 初 中 数 学 学 习 目 标 分 解 的 实 践 研 究 ”(课 题 编 号:
Lc
１０１７)的阶段性研究成果 ．
２２
Copyright©博看网. All Rights Reserved.
教学研究
在一轮复习中,教师在 教 学 时 要 关 注 数 学 的 内 部
逻辑和学生 的 认 知 规 律,从 知 识 内 容 结 构 化、方 法 形
成过程化、评价标准差异 化(简 称“三 化”)三 个 方 面 着
手,帮助学生“既见树木又见森林”．
１ 教学内容和目标分析
全等三角 形 在 “图 形 与 几 何”中 具 有 无 可 替 代 的
吗? 不 难 发 现 图 ３ 与 活 动 ２ 中 的
“
SSA”不确定性的本质一样 ．
图３
设计 意 图:通 过 活 动 ３ 和 活
动 ２ 的对比训练,感受三 角 形 全 等 与 三 角 形 唯 一 确 定
的一致性,从本质上理解无 法 确 定 高 在 形 内 或 形 外 是
“
SSA”不能作为三 角 形 全 等 条 件 以 及 多 解 的 根 源,进
′,进 而 证 得
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２３
教学研究
２０２３ 年 ５ 月下半月
△ABC≌△A′B′C
′．
图７
Ｇ１ 图 ７
Ｇ２
(
６)经验反思:“倍长 中 线 法”告 诉 我 们,证 明 两 个
三角形பைடு நூலகம்等的关键是把相关的三个条件集中到一对
件的道理,并能用辩 证 的 观 点 认 识 “
SSA”的 不 确 定 性
和确定性 ．
设计意图:在动态操作 理 解 图 形 运 动 和 图 形 变 化
的过程中建立知识 内 容 之 间 的 关 联 (如 图 ２),这 种 关
联为后续探究活动 储 备 了 实 践 经 验 和 理 论 依 据 ．
通过
反例的构造,厘 清 不 唯 一 与 不 全 等 的 关 系,提 升 几 何
一步提升模型观念 ．
活动 ４ 两边及第三边上的中线对应相 等 的 两 个
三角形全等吗?
活动程序:(
１)尝试 画 图,用 符 号 语 言 写 出 相 应 的
条件 ．
如 图 ４,已 知,在 △ABC 和 △A′B′C
′中,
AB ＝
图５
Ｇ１
图５
Ｇ２
图５
Ｇ３
(
４)现 象 分 析:这 “两 解 ”能 否 说 明 满 足 条 件 的
落脚于“中 点 的 联 想”,突 出 重 点 和 难 点,提 升 应 用 意
识,为后续灵活运用三角形的基础知识解题奠定基础 ．
边:两边之和大于第三边 →“将军饮马”
ïì
组成 ï
问题
ìï要素 íï角:内角和等于 １８０° →n 边形的内角和
ï 为(
ï
î
n－２)１８０
°
ï
三角形 í
中线 → 重心、中位线、倍长中线
三角形中 ．
还有学生 根 据 中 点 想 到 构 造 中 位 线 DE 和
D′E′,还有同学想到 构 造 中 位 线 证 明,如 图 ８、图 ９ 所
示,证明略 ．
图 １３
(
在 作 图 的 过 程 中,可 能 会 遇 到 哪 些
４)思维延伸 ．
问题?
设计 意 图:若 直 接 根 据 三 角 形 的 三 个 要 素 (如
有一种情形,△ABC 同样满足该条件,如图 ５
Ｇ３．
图２
２．
２ 问题搭梯,实现思想方法再现
活动 ３ 两边及第三边上的高对应相等 的 两 个 三
角形全等吗?
活动程序:(
１)将学 生 分 为 ４ 人 一 组,要 求 每 位 学
生用尺规作一个三角形,使 所 作 的 三 角 形 有 两 边 分 别
为 ４ 和 ５,第三边上的高为 ３．
圆心,分别以 ３ 和 ４ 为 半 径 画 两 个 圆,如 图 ５
Ｇ１,在 大
圆上取一点 C,连 接 BC．
在 大 圆 上 调 整 点 C 的 位 置,
使 BC 与 小 圆 相 切 于 点 D ,此 时 BD ＞CD ;如 图 ５
Ｇ２,
将点 C 绕圆心 A 逆时针旋转,
BC 与小圆的交 点 D 随
之渐渐远离点C 并接近点 B ．
△ABC 不唯一呢? 仔细观 察 图 ５
Ｇ２ 和 图 ５
Ｇ３,由 于 对
称,这两个三 角 形 是 能 重 合 的;还 可 以 把 图 ５
Ｇ３ 中 的
△ABC 先沿直线 AB 翻折,再将图 ５
Ｇ３ 旋 转 一 定 的 角
度,使旋转后的 CB 边能与图 ５
Ｇ２ 中的 BC 边 重 合,如
图 ６,不 难 发 现 这 两 个 三 角 形 可 以 拼 成 一 个 平 行 四