高考数学一轮总复习 13.5 独立性、二项分布及其应用题组训练 理 苏教版

第5讲 独立性、二项分布及其应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫6，12，则P (X ＝3)的值是________． 解析 P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516.
答案
516
2．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________．
解析 由题意知，甲、乙都不被录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88. 答案 0.88
3．(2014·湖州调研)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1
3，乙、丙去北京旅游的概率分别
为14，1
5
.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
解析 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，1
5
.因此，他们不去北京旅游的概率
分别为23，34，45，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35.
答案 35
4．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为________．
解析 设目标被击中为事件B ，目标被甲击中为事件A ，则由P (B )＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，又因为A ⊆B ，所以P (AB )＝P (A )＝0.6，得P (A |B )＝P AB P B ＝0.6
0.8
＝
0.75. 答案 0.75
5．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是1
2.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是
________．
解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为
C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123
·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝516
. 答案
5
16
6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16
25，
则该队员每次罚球的命中率为________． 解析 设该队员每次罚球的命中率为p (0<p <1)， 则依题意有1－p 2
＝1625，又0<p <1，∴p ＝35.
答案 3
5
7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
解析 依题意，该选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题回答正确与否均有可能，由相互独立事件概率乘法，所求概率P ＝1×0.2×0.82
＝0.128. 答案 0.128
8．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗)． 依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.
根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.72 二、解答题
9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率； (2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 解 (1)设“购买甲种保险”事件为A ，“购买乙种保险”事件为B 由已知条件P (A )＝0.5，P (B A )＝0.3， ∴P (B )P (A )＝0.3，P (B )＝
0.3
P A
＝0.6，
因此，1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为 1－P (A B )＝1－P (A )P (B ) ＝1－(1－0.5)(1－0.6) ＝0.8.
(2)一位车主两种保险都不购买的概率为P ＝P (A B )＝0.2.
因此3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为C 1
3×0.2×0.82
＝0.384. 10．某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：
人数 0～6 7～12 13～18 19～24 25～30 31人及以上
频率
0.10
0.15
0.25
0.20
0.20
0.10
(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？ 解 (1)由表知，乘客人数不超过24人的频率是0.10＋0.15＋0.25＋0.20＝0.70， 则从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是0.70.
(2)由表知，从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率约为1
2
，设途经10个停靠
站，乘车人数超过18人的个数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12， ∴P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1) ＝1－C 010⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1210－C 110⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－129
＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1210－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝
1 0131 024
>0.9，
故该线路需要增加班次．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1. 一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的概率都是1
2，且是相互独
立的，则灯亮的概率是________．
解析 设A 与B 中至少有一个不闭合的事件为T ，E 与F 至少有一个不闭合的事件为R ， 则P (T )＝P (R )＝1－12×12＝34
，
所以灯亮的概率P ＝1－P (T )P (R )P (C )P (D )＝55
64.
答案
5564
2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：
a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1，第n 次摸取红球，
1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为
____________(不必化简)．
解析 S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为2
3，
摸到白球的概率为13.故所求概率为P ＝C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭
⎪⎫135
.
答案 C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭
⎪⎫135
3．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是1
2
，则小球落入A 袋中的概率为________．
解析 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫123＝14
，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34. 答案 3
4
二、解答题
4．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2
3.假设各局
比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．
解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶
2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，
故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝8
27
，
P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232
⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1－23
×23＝827
， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－23
2
×12＝4
27
. 所以，甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为4
27.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427
.
由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得
P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627
，
又P (X ＝1)＝P (A 3)＝4
27
，
P (X ＝2)＝P (A 4)＝427
，
P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327
，
∴X 的分布列为
∴E (X )＝0×1627＋1×427＋2×27＋3×27＝9.。