备战2020年高考数学一轮复习第5单元解三角形单元训练B卷理含解析

单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）
第5单元 解三角形
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在ABC △
中，若BC ，2AC =，45B =︒，则角A 等于（ ） A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =2，b =3，c =4，则cos C =（ ） A ．14
-
B ．
14 C ．23
-
D ．
23
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，已知a =，4b =，120A =︒， 则△ABC 的面积为（ ） A ．2
B
C ．4
D
．4．△ABC 中，60B =︒，2b ac =，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
5．钝角△ABC 中，若1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是（ ） A
．
)
B ．()2,3
C
．
)
D
．
6．如图，在△ABC 中，45B =︒，D 是BC
边上一点，AD =6AC =，4DC =，则AB 的长为（ ）
A
B
． C
．D
．7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度是（ ）
A
．)
2401m
B
．)
1801m
C
．)30
1m
D
．)
120
1m
8．已知ABC △
的面积为AB AC ⋅，则角A 的大小为（ ） A ．60︒
B ．120︒
C ．30︒
D ．150︒
9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC △的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，面积为S
，则“三斜求积”公式为
S =2sin 2sin a C A =，22()6a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC △的面积为（ ）
A
B
C ．
12
D ．1
10．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为角A 的角平分线，交BC 于D ，π
4
B =
，AD =2BD =，则b =（ ） A
．B
C ．3 D
11．已知在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，60A ∠=︒，2a =，则ABC △周长的取值范围是（ ）
A ．(0,6)
B
．(
2⎤⎦
C ．(4,6]
D
．2⎡⎤⎣⎦
12．在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是（ ）
A
．
B
．(2
C
．
D
．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角C 等于60︒，若4,2a b ==，则c 的长为_______．
此
卷
只
装
订不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
14．在ABC △中，π
3
A =
，1b =
，a ABC △的面积为______． 15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，
，
，
，则，两
点的距离为______．
16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若s i n c
o s c o s s i n s i n s i n a b C
a B
b A a A b B
c C +=+-，
且3a b +=，则c 的取值范围为_______．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC V
中，45,B AC ∠=︒=
cos C ． （1）求BC 边长；
（2）求AB 边上中线CD 的长．
18．（12分）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin 2sin sin B A C =． （1）若2a b ==，求cos B ；
（2）若90B ∠=︒且2a =，求ABC V 的面积．
19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒
．已知AD =
BD
（1）求sin ABD ∠的值；
（2）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．
20．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC V 内角A ，B ，C 的对边．角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，
sin C 成等比数列．
（1）求sin sin A C 的值；
（2
）若a ABC V 的周长．
21．（12分）某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，
，
（单位：百米），记
，且已知圆的
内接四边形对角互补，如图所示．请你为规划部门解决以下问题：
（1）如果
，求四边形
的区域面积；
（2）如果圆形公园的面积为28π
3
万平方米，求的值．
22．（12分）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π02B <<
，b ，22a c +-1
sin sin tan 12
A C
B =
． （1）求内角B 的大小；
（2）求(2)(2)a c b a c b +++-的最大值．
单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ） 第5单元 解三角形 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的． 1．【答案】A
【解析】由正弦定理可得sin sin BC AC A B =
=
1sin 2
A =， 因BC AC <，所以45A
B <=︒，故A 为锐角，所以30A =︒，故选A ． 2．【答案】A
【解析】a =2，b =3，c =4，根据余弦定理得到22294161
cos 2124
b a
c C ab +-+-=
==-， 故答案为A ． 3．【答案】D
【解析】
因为a =，4b =，120A =︒，所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2c =， 所以△ABC
的面积为1
sin 2
bc A =．故选D ．
4．【答案】D
【解析】△ABC 中，60B =︒，2
b a
c =，()2222
221cos 20022
a c
b B a
c ac a c ac +-=
=⇒+-=⇒-=，故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形为等边三角形．故答案为D ． 5．【答案】A
【解析】因为钝角△ABC ，所以222
cos 02a b c C ab +-=<，2140c \+-<
，c >
，
又因为3c a b <+=
，3c <，故选A ． 6．【答案】B
【解析】
由余弦定理可得1
cos 2
C =，60C \=?，
sin sin AB AC C B
=
，得到6
sin sin C AC AB B ×=
=，故选B ． 7．【答案】D
【解析】由题意可知：105ABC ∠=︒，45BAC ∠=︒，),2(m A ，
6060120sin sin30AC C ∴=
==︒
，由正弦定理sin sin BC AC
BAC ABC =∠∠，
得)
sin 120sin 45120
1sin sin105AC BAC BC ABC ∠︒=
===∠︒
，
即河流的宽度)
1201m ，本题正确选项D ．
8．【答案】D
【解析】
cos AB AC c b A ⋅=⋅，又ABC
△的面积为AB AC ⋅，
1sin cos 2S bc A b c A ∴==
⋅，则tan A =， 又(0,π)A ∈，150A ∴=︒，故选D ． 9．【答案】A
【解析】2sin 2sin a C A =，22a c a ∴=，2ac =，
因为22()6a c b +=+，所以22226a c ac b ++=+，22262642a c b ac +-=-=-=，
从而ABC △
A ． 10．【答案】
A
【解析】因为AD =，2BD =，π4B =
，由正弦定理得sin sin AD BD
B BAD
=∠，
2
sin sin 4
BAD =
∠，解得1sin 2BAD ∠=， 又由π0,2BAD ⎛⎫
∠∈ ⎪⎝⎭
，所以π6BAD ∠=，则π3BAC ∠=，所以ππ5ππ3412C =--=，
又因为5π
12
ADC B BAD ∠=+∠=，所以ADC
△为等腰三角形，所以b AD ==，故选A ． 11．【答案】C
【解析】
根据三角形正弦定理得到sin sin sin a b c A B C ===，
变形得到,,2b B c C l B C ===， 因为2
π3
B C +=
，
2π2π22cos 24sin 36l B B B B B ⎛⎫⎛
⎫∴=-=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
2ππ5ππ10,π,,sin ,1366662B B B ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎤∈+∈∴+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，
(]4,6l ∴∈，故答案为C ．
12．【答案】D 【解析】
由题意，平面四边形ABCD 中，延长BA 、CD 交于点E ， ∵∠B ＝∠C ＝75°，∴△EBC 为等腰三角形，∠E ＝30°， 若点A 与点E 重合或在点E 右方，则不存在四边形ABCD ，
当点A 与点E 重合时，根据正弦定理sin sin AB BC
ECB BEC =∠∠，
算得AB =+
，∴AB <+，
若点D 与点C 重合或在点C 下方，则不存在四边形ABCD ， 当点D 与点C 重合时∠ACB ＝30°， 根据正弦定理
sin sin AB BC
ACB BAC
=∠∠
，算得AB
，∴AB ，
综上所述，AB
AB -<<D ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．
【答案】【解析】因为角C 等于60︒，4,2a b ==，
所以由余弦定理可得2
2
2
1
2cos60164242122
c a b ab =+-︒=+-⨯⨯⨯=，
所以c =
． 14．
【解析】
π
3
A =，1b =
，a =，
∴
1
sin B =
，解得1
sin 2
B =，
b a <，B A ∴<，π6B ∴=
，可得π
π2
C A B =--=，
11πsin 1sin 222ABC S ab C ∴==⨯=
△
． 15．【答案】
【解析】由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC =15°，
由正弦定理得80sin15040
sin15AC ︒
=
=︒
，
△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，∴∠DBC =30°， 由正弦定理，
sin sin CD BC
CBD BDC
=
∠∠，
所以sin 80sin15160sin1540
1sin 2
CD BDC BC CBD
⋅∠⨯︒
=
==︒=∠，
△ABC 中，由余弦定理，2222cos AB AC BC AC BC ACB +=∠-⋅⋅
(
(
1160081600821600
2
=++-+⨯⨯
⨯
16001616004160020=⨯+⨯=⨯，
解得AB = 则两目标A ，B 间的距离为，故答案为．
16．【答案】3,32⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=， 又因为sin cos cos sin sin sin ab C
a B
b A a A b B
c C +=
+-，
所以由正弦定理可得222
abc
c a b c =
+-，
即222a b c ab +-=，所以2222()3c a b ab a b ab =+-=+-， 因为3a b +=，所以293c ab =-，因为2
924a b ab +⎛⎫
≤= ⎪⎝⎭
， 当且仅当32a b ==时取等号，所以27
304
ab -≤-<， 所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1
）（2
【解析】（1）(0,π)C ∈
，sin C ∴=，
sin sin(π)sin cos cos sin A B C B C B C =--=⋅+⋅=
，
由正弦定理可知中：
sin sin sin sin BC AC AC A
BC A B B
⋅=⇒== （2）由余弦定理可知：
2AB ==，D 是AB 的中点， 故1BD =，
在CBD △中，由余弦定理可知：
CD === 18．【答案】（1）
1
4
；（2）2． 【解析】2sin 2sin sin B A C =，由正弦定理可得22b ac =，
（1）21a b c ==∴=，，由余弦定理222
cos 2a c b B ac +-=，可得1cos 4B =．
（2）90B ∠=︒，由勾股定理可得22222()02b a c ac a c a c =+=⇒-=⇒==，
11
22222
ABC S ac ∴==⋅⋅=△．
19．【答案】（1
（2）1BC =． 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AD BD
ABD A
=∠∠．
因为60,
A AD BD ∠=︒==
所以sin sin sin 60AD ABD A BD ∠=
⨯∠=︒=． （2）由（1
）可知，sin ABD ∠=
， 因为90ABC ∠=︒，所以(
)cos cos 90sin CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠．
因为2,CD BD ==
2462BC BC =+- 即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =． 又CD BC >，则1BC =．
20．【答案】（1）3
sin sin 4
A C
?；（2）ABC V
的周长为 【解析】（1）角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，即60B =︒，
sin ,sin sin A B C ，
成等比数列，2
2
3sin sin sin 4
A C
B \?==
桫
． （2）由（1）可知2sin sin sin A C B ?，即2ac b =，
由余弦定理可得2222cos60b a c ac =+-?， 化简得2()0a c -=
，即a c ==
b
a b c \++=ABC V
的周长为．
21．【答案】（1）；（2）
12或1
7
． 【解析】（1）∵πcos cos ADC ABC ADC θ∠+∠=∠=-，， 在
和
中分别使用余弦定理得：
，得1
cos 7
θ=
，
∴sin sin ADC θ∠== ∴四边形的面积()1
sin 2
ABC ADC S S S BA BC DA DC θ=+=
⋅+⋅△△ (
)126442=
⨯+⨯=． （2）∵圆形广场的面积为28π
3
，∴圆形广场的半径R =，
在
中由正弦定理知：2sin AC R θθ==， 在
中由余弦定理知：
，
∴2
4024cos θθ⎫=-⎪⎪⎝⎭
，化简得，
解得1cos 2θ=
或1
cos 7
θ=． 22．【答案】（1）π6B =（2
【解析】（1）3b =
，22
1sin sin tan 12a c A C B +-=，
222sin sin tan a c A C B b ∴+-=，即222sin sin tan a c b A C B +-=，
由余弦定理得2cos sin sin tan ac B A C B =，2tan sin sin cos ac B A C B
∴
=，
由正弦定理得222tan cos sin b B
B
B =，即222cos sin tan b B B B =，
231
cos sin 6B B ∴=，231sin 6sin B B ∴-=，即326sin sin 10B B +-=， 变形得2(2sin 1)(3sin 2sin 1)0B B B -++=，解得1sin 2
B =
， π02
B <<
，∴π6B =．
（2）3b =
，π6B =，∴由余弦定理得22
π12cos 612a c ac +-=，
化简得22112a c +=
，2
1()(212
a c ac ∴+-=，
2()4a c ac +
≤
，(2ac ∴-
+≥
2
()(2a c ac ∴+-
≥
， 112
≤
，2()a c ∴+
≤ 22(2)(2)()4a c b a c b a c b ∴+++-=+-≤
，当且仅当a c =时等号成立， ∴(2)(2)a c b a c b ++
+-。